1 3 La reiterazione della legge di Kirchhoff delle tensioni. corrente I 2 con la relazione seguente:

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1 PM PO N TNEE MGGO 008 ECZO E..: Del circuito mostrato in figura, si desidera determinare: a) la corrente ; b) la potenza elettrica erogata dai tre generatori. Sono assegnati: Ω, 4 Ω, 6 Ω; ; E S 6 ; E S 8. a) Calcolo della corrente. E S E S α (figura - ) Σ γ (figura - a) ı E S Si nominano, onde realizzare utili punti di riferimento per la successiva analisi, con le lettere α, β, e γ tre dei quattro nodi presenti nella rete di figura a mentre con ed si indicano, dotate dei rispettivi versi, le due correnti che circolano, rispettivamente, nelle due resistenze ed. isulta poi particolarmente utile impostare la soluzione della rete considerando che il lato di morsetti α-γ, del quale si vuole conoscere la corrente che circola in esso, realizza il bipolo corto circuito, cioè, come evidenzia l ispezione diretta, si deve considerare: αγ 0. L applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia individuata dal generatore E S e dal lato αγ consente di relazionare come segue: E ( ) S 3 3 da cui si evince la scrittura che fornisce la corrente : 6 8 ( ) ( 6) 8 3 La reiterazione della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia (αβγα), consente di calcolare la corrente con la relazione seguente: 8 4 Non resta altro che applicare ora la legge di Kirchhoff delle correnti alla superficie Σ (supernodo di corrente) per impostare la relazione che lega la corrente alle correnti degli altri lati; più precisamente si ottiene la scrittura di seguito esplicitata: S S ı E S β S ( ) 3 Operando le sostituzioni numeriche alle relative grandezze elettriche si conclude come segue: E S S 3 OSSEZONE La relazione () altro non è che la legge di Kirchhoff delle correnti applicata al supernodo Σ della figura a bis in cui si sono evidenziate le sorgenti trasformate equivalenti in corrente per i lati caratterizzati dalle originarie sorgenti in tensione come riportato nella iniziale figura. n siffatto contesto l corto circuito realizzato dal bipolo di morsetti α-γ consente di affermare che sono nulle le due correnti ed poiché, come in precedenza osservato, risulta αγ 0. tteso quanto premesso, si evince che al supernodo di corrente Σ concorrono soltanto le correnti erogate dai tre generatori indipendenti di corrente che costituiscono appunto i soli lati attivi della

2 rete in esame. Le trasformazioni fra le sorgenti di tensione in corrente sono regolate dalle relazioni seguenti (figura - a bis) α 6 6 G G ( G 3) ( 6) 8Ω 8 G 4 Ω γ G 4 Per quanto attiene alle correnti ed, di seguito si desidera esplicitare quanto già premesso, cioè verificare che: ( ) 8 4 αγ αγ αγ αγ G 3 G L applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo Σ consente di relazionare così come di seguito riportato: G S G G S G Sostituendo le espressioni delle correnti G ed G in precedenza calcolate si perviene alla scrittura conclusiva seguente: G Σ ( ) S 3 b) Calcolo della potenza elettrica erogata dai tre generatori. Dato che si richiedono le potenze erogate dai tre generatori, si ritiene particolarmente utile il ricorso alla convenzione dei generatori per il calcolo delle potenze medesime. Esplicitando la relazione costitutiva afferente la potenza elettrica ai morsetti di un bipolo e tenendo in considerazione che αγ 0, si perviene alle scritture di seguito esplicitate: P W S αγ S 0 P E W S 6 3 potenza erogata P E W S 8 6 potenza erogata Come conferma dei risultati conseguiti verifichiamo che è soddisfatto il teorema di Tellegen. Calcoliamo a tale riguardo, con la convenzione degli utilizzatori, le tre potenze assorbite dai bipoli passivi costituiti dalle resistenze, ed. Si esplicitano le seguenti relazioni: P 4 8W potenza assorbita P W potenza assorbita 3 G P W potenza assorbita l teorema di Tellegen postula la tesi di seguito esplicitata: k PK 0 j Pjass ( k j) P( K j) erog j Pjass P P P W 3 P P P W ( k j) ( k j) erog G che nel nostro caso assume la forma:

3 ECZO E..: Del bipolo mostrato in figura si determini il circuito equivalente di Thévenin ai morsetti -. Si colleghi quindi il bipolo al resistore. n questa condizione, si determini la corrente 3. Sono assegnati: µ 0; β /0; ; 0 Ω; 0 Ω. l bipolo, di natura attivo, si caratterizza per la presenza di un generatore dipendente di tensione pilotato dalla tensione ai capi di, dal generatore dipendente di corrente pilotato dalla corrente circolante nella resistenza e nel generatore pilotato in tensione citato in precedenza, nonché dalla sorgente indipendente di corrente. Si richiede di determinare il più semplice bipolo che sia elettricamente equivalente ai morsetti e del bipolo originario, così come mostrato in figura a. n sostanza bisogna determinare il generatore equivalente di Thevenin relativo al circuito di figura. Si osservi, poi, che la conoscenza del bipolo di figura a consente di individuare la formulazione controllata in corrente tramite la relazione che di seguito si riporta: E TH TH. Si deve procedere, pertanto al calcolo dei parametri E TH ed TH del bipolo equivalente di Thevenin. E TH 3 µ µ (figura b) a) Calcolo di E TH. È noto che la tensione equivalente di Thevenin E TH corrisponde alla tensione a vuoto del bipolo, ovvero con la tensione che si manifesta fra i morsetti e del bipolo quando esso è posto a vuoto, come mostrato in figura b. Mediante ispezione diretta si evince che 0 (bipolo a vuoto) e che quindi anche la tensione ai capi di è nulla, atteso che 0. Ne deriva essere parimenti immediato asserire che: essendo nulla la grandezza elettrica di comando rappresentata dalla corrente è pure nullo l effetto del corrispondente generatore dipendente di corrente pilotato dalla stessa corrente, che pertanto va considerato spento, ovvero: β 0 ; l applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di ingresso non può che confermare la posizione che di seguito si esplicita: E µ E µ TH TH l applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo δ consente di esplicitare, per altra via, quando fornito dalla legge di Ohm per la resistenza, ovvero la scrittura seguente: β ( ) S S S icordando l espressione della tensione E TH ricavata in precedenza, si può concludere come segue: E µ µ TH S (figura - ) β β δ b) Calcolo della resistenza TH. l circuito da esaminare è quello mostrato in figura c in cui viene evidenziata la presenza del generatore test T e lo spegnimento della sorgente interna. TH E TH (figura a)

4 Per ispezione diretta si osserva immediatamente che: T e quindi anche che β T.. l generatore test T garantisce la presenza del comando che attesta, così, l efficacia del relativo generatore di corrente pilotato β ; questi, a sua volta, abilita il comando espresso dalla tensione, sia l efficacia del relativo generatore pilotato µ. Ne consegue che i due generatori dipendenti sono da ritenersi entrambi attivi e, pertanto, influenti nel calcolo della resistenza equivalente TH. Sempre per ispezione diretta si evince quanto segue: β β T. tteso ciò che è stato premesso, l applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia d ingresso consente di relazionare come segue: µ µ T T icordando l espressione già ricavata di e la relazione di congruità T, si può modificare la scrittura precedente nella forma di seguito evidenziata: µ µβ ( µβ ) T T T T icordando che la esistenza Equivalente di Thevenin TH sentita fra i morsetti e è definita dal rapporto seguente: N N T T T 0 T µ β (figura c) ; si ottiene la scrittura di seguito riportata: ( µβ ) T ( µβ ) Ω 0 T T l bipolo equivalente di Thevenin, a cui corrisponde la formulazione controllata in corrente, per il bipolo di figura è, pertanto, espressa dalla seguente relazione costitutiva: ETH TH µ S ( µβ ) 00 0 c) Calcolo diretto. n ossequio alla definizione costitutiva per un bipolo controllato in corrente, si collega fra i morsetti e una sorgente esterna indipendente di corrente e si δ ricerca, se esiste, il modello costitutivo del bipolo esplicitandolo con la relazione ƒ(). l circuito da esaminare viene mostrato in figura d dal quale si evince per ispezione diretta che. Poi la µ β legge di Kirchhoff delle tensioni che si applica alla maglia d ingresso del bipolo consente di relazionare come segue: (figura d) µ ( ) L applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo δ porge la scrittura seguente: β β β Sostituendo l espressione di ora trovata nella precedente relazione (), si perviene alla scrittura: µ ( β ) µβ µ δ S S

5 ( µβ ) ovvero, dopo i dovuti passaggi algebrici: µ S µβ 3 ( ) ( ) l legame analitico espresso dalla (3) definisce la relazione costitutiva del bipolo equivalente mostrato in figura e, del tutto coincidente con l iniziale figura a per la quale proprio come già asserito vale il modello matematico E TH TH. Dal confronto si evince che: E µ 00 ( µβ ) 0Ω TH S TH Quanto di anzi ottenuto attesta la correttezza dei risultati in precedenza conseguiti. Per quanto si riferisce alla richiesta del calcolo della corrente 3, il circuito da esaminare è quello mostrato con la figura f in cui il bipolo equivalente di Thevenin viene connesso ai morsetti e β (figura e) TH E TH (figura f) 3 con la resistenza. L applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla unica maglia costituente la rete, consente di relazionare come segue: E E ( ) TH TH TH TH 3 3 Per tanto, la corrente 3 viene definita con la seguente relazione: 3 E TH TH ECZO E.3.: Del circuito riportato in figura 3, si determini la tensione con il metodo dell analisi nodale (eventualmente modificata), considerando il minore numero possibile di incognite e quindi di equazioni. E S 4 ; 6 ; Ω; 4 Ω; Ω; r m.ω (figura - 3) (figura 3a) C E S ı r m ı ı E S ı Γ La traccia impone, come procedura risolutiva, il ricorso al principio dei potenziali di nodo. Si nominano, onde realizzare utili riferimento per la successiva analisi, con le lettere,, e C tre dei quattro nodi presenti nella rete di figura 3 i cui potenziali, e C si intendono riferiti al nodo connesso a terra, cioè a potenziale zero. n conformità a tale impostazione, per ispezione diretta della rete di figura 3a si evince quanto segue: E r S C m La legge di Ohm applicata ai morsetti della resistenza, consente di concludere come di seguito esplicitato: ( ) 3 3 Stabiliti i versi delle correnti ed, come mostrato in figura 3a, è possibile esplicitare le relazioni che danno le correnti dei lati di interesse della rete, ottendo quanto di seguito riportato: ( ) E C S Sostituendo le espressioni di e di C si ottiene: ( rm ) r m relazione che può esprimersi, per comodità, nella forma che di seguito si esplita:

6 ( rm ) E r S m 3 L applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo Γ di tensione consente poi di relazione come segue: S Procedendo con le dovute sostituzioni ed operando i relativi necessari passaggi algebrici si perviene alle seguenti scritture: E r E S m S S 3 3 r E m S S 3 3 ( ) E ( r ) 3 S 3 S 3 3 m n conclusione si perviene alla relazione richiesta e che di seguito si esplicita: ( E ) 3 S 3 S ( r ) 3 3 m La sostituzione dei valori forniti dalla traccia per i singoli bipoli consente di determinare il potenziale, ovvero il potenziale del nodo ; si ottiene quanto segue: ( E ) 3 S 3 S [( 4) 4] ( 4 6) ( 3 3 rm ) ( 4 ) ( ) ( 4) ( 4) Noto il potenziale del nodo, cioè la tensione, il calcolo della corrente, come già constatato in precedenza, viene effettuato mediante la scrittura seguente: 4 3 3