D. METODI DI ANALISI CIRCUITALE

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1 D. METODI DI ANALISI CIRCUITALE Generalità (problema fondamentale della Teoria dei Circuiti) Schema concettuale dell analisi circuitale Metodo basato sui Tagli (equilibrio delle correnti) Metodo dei Nodi e sue estensioni Estensione del metodo dei Nodi Metodo delle Maglie Estensione del metodo delle Maglie BIBLIOGRAFIA M. SALERNO - G. COSTANTINI: Cap. 4 G. MARTINELLI - M. SALERNO: Vol. I - pp R. PERFETTI: Cap. G. RIZZONI: pp DANIELE - LIBERATORE - GRAGLIA - MANETTI: pp D-0

2 GENERALITÀ L Analisi Circuitale, o calcolo di una rete elettrica, può essere considerata come il PROBLEMA FONDAMENTALE DELLA T.d.C., in analogia con ciò che era stato definito problema fondamentale dell e.m. CAUSE/ECCITAZIONI V 0, I 0 ( cond. iniz.) CIRCUITO Noti: parametri costitutivi dei componenti e grafo di connessione Vt, I t EFFETTI/USCITE ( ramo, o un opportuno sottoinsieme) Per un grafo con R rami: 2R incognite (V ed I ramo) Relazioni costitutive note: R equazioni (una ramo = bipolo) Per la chiusura del problema occorrono altre R equazioni Leggi di Kirchhoff: R equazioni K1: (N-1) K2: (R-N1) D-1

3 GENERALITÀ (continua ) Le nozioni e le proprietà topologiche utilizzate, grazie all individuazione dei sottoinsiemi di variabili indipendenti, garantiscono la corretta chiusura del problema (sistemi risolventi né ridondanti, né sottodimensionati). IMPORTANTE: poiché K1 e K2 sono legate tra loro da B, A T basta applicare una delle due leggi ed ottenere un numero di equazioni di equilibrio sufficienti alla chiusura del problema minore di R: Se si applica K1) I a AI c 0 N-1 equazioni Se si applica K2) V c BV a 0 R-N1 equazioni SISTEMA RISOLVENTE: Si ottiene applicando K1 o K2 e sostituendo le relaz. costitutive dei componenti I metodi organizzati di analisi circuitale dipendono dalla scelta delle incognite (variabili ausiliarie), ovvero dalla legge di Kirchhoff applicata D-2

4 SCHEMA CONCETTUALE DELL ANALISI CIRCUITALE DATI: INCOGNITE: LEGGI: LEGAME TRA K.: K1 GRAFO del circuito REL. COST. degli elementi (incluse le eccitaz. I o e V o ) [V] ed [I] di tutti i rami (escluse le eccitaz.) V a a I a V c c I c Relazioni costitutive albero: K1) Relaz. costitutive co-albero: K2) MAGLIE/ANELLI Legge: K2 Var. aux.: [I c ] N. equaz.: R-N1 I c c V c Costitutive co-albero (K2 K1) A A T D- K2 Costitutive albero I a A V c A I a I c T B A T V a Lo schema rende bene l idea della dualità nel mod. circuitale, che si riflette nella dualità dei metodi d analisi a V a TAGLI/NODI Legge: K1 Var. aux.: [V a ] N. equaz.: N-1

5 METODO BASATO SUI TAGLI (equilibrio delle correnti) Scelto un albero, le [V a ] costituiscono un sottoinsieme di variabili indipendenti VARIABILI AUSILIARIE Le [V c ] si ricavano da esse grazie alla K2: V c A T V a Deve essere possibile dedurre le correnti dalle tensioni per ciascun componente: per l albero V a a I a ; per il co-albero V c c I c Lo scopo del metodo basato sui Tagli è quello di costruire un sistema risolvente che abbia come incognite le [V a ], applicando l equilibrio delle correnti K1 ed utilizzando le relazioni costitutive (N-1 equaz.). D-4

6 METODO BASATO SUI TAGLI (continua ) Esempio (circuito resistivo con generatore di corrente): 1 G 2 2 G 4 I g 2 A I g G 1 G G 5 G 1 1/ R 1 2 W 1 G 2 G 4 G 5 1 W 1 4 G 1/ R W grafo circuitale albero scelto (rami: 2,4,5) D-5

7 METODO BASATO SUI TAGLI (continua ) a 2 2 b 4 K1: equilibrio delle correnti ai 1 tagli fondamentali: 1 a) i 1 i 2 i b) i 1 i i 4 i c c) i 1 i i 5 i Nota: si possono scegliere alberi diversi e quindi insiemi di tagli fondamentali diversi (cioè sistemi risolventi diversi). i 2 i 4 i I a A i 1 i i 6 0 I c 0 Si vuole un metodo, sempre basato sull equilibrio delle correnti (K1), in cui la scelta dell albero (e di conseguenza la scrittura del sistema risolvente) sia meno arbitraria. Questo è il metodo dei Nodi. D-6

8 METODO DEI NODI O DEI POTENZIALI NODALI È una particolarizzazione del metodo basato sui tagli dove si fanno alcune considerazioni topologiche per effettuare la scelta dell albero CIRCUITO AUMENTATO: si aggiungono rami fittizi a G = 0 (circuiti aperti) in modo che tutte le coppie di nodi siano connesse (grafo a maglie complete ) Scelto un nodo di riferimento (terra o massa) è univocamente determinato l albero: insieme dei rami, fittizi e non, che collegano il riferimento a tutti gli altri nodi I tagli fondamentali sono tali che la K1 si applica alle correnti uscenti da ciascun nodo (escluso quello di riferimento). Le variabili ausiliarie [E] coincidono quindi con le tensioni dei nodi rispetto al riferimento (sono a tutti gli effetti tensioni di rami di albero [V a ], in numero di N-1). D-7

9 METODO DEI NODI (continua ) Esempio (circuito resistivo con generatori di corrente): a 1 I g2 b I g1 2 G c 1 2 G 1 G = 0 G 2 Grafo aumentato RIFE. ALBERO 1 2 RIFE. Può non coincidere con nessun albero del circuito iniziale. Come avviene in questo caso per la presenza del ramo fittizio che va dal nodo al riferimento. 2 NOTA: Le nozioni topologiche sono ridotte al minimo ed il metodo può essere applicato direttamente per ispezione visiva. D-8

10 PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO DEI NODI per circuiti resistivi con solo generatori di corrente 1) Scegliere un nodo di rife. è univocamente determinato l albero (del circuito aumentato); 2) Considerare come var. ausiliarie le N-1 tens. nodali rispetto al rife. [E]; ) Si determina il sistema risolvente: [G NODI ] [E] = [I NODI ] (matr. coeff. simmetrica (N-1)x(N-1) ) G NODI (k,k) = somma conduttanze rami resistivi connessi al nodo k (escl. rife.) G NODI (k,i) = somma cambiata di segno di tutte le conduttanze dei rami resistivi che congiungono i nodi k ed i escl. il rife. (nulla se connessi solo da ramo fittizio); il segno - è dovuto al fatto che un ramo che congiunge due nodi, qualunque sia l orientazione, risulta sempre uscente da uno ed entrante nell altro. I NODI (K) = somma algebrica correnti dei I g, positive se entranti nel nodo k-mo (escluso il rife.) o negative se uscenti. 4) Si determinano le incognite [E] risolvendo il sistema. 5) Si determinano tutte le tensioni [V] come differenza delle [E], e tutte le correnti [I] tramite le relazioni costitutive. D-9

11 PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO NODI (continua ) Esempio: a I g1 2 G 1 G 1 I g2 b c G 2 ALBERO 1 2 RIFE. E E 1 E 2 E G NODI G G G 0 G G 2 G I NODI I g1 I g2 I g1 I g2 G 1 G 2 G 1 W 1 I g1 A I g2 2 A E 1 E 2 E 5 2 E 1 5 Volt E 2 8 Volt E 5 Volt v g1 E 2 E 1 1 v g2 E E 1 10 v g E 2 E i 1 G 1 E 1 5 i 2 G 2 E 5 i G v G D-10

12 PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO NODI (continua ) Esempio (segue): a I g1 2 G 1 G 1 I g2 b i i 2 i 1 i ca =0 c G 2 ALBERO 1 2 RIFE. applicazione diretta equilibrio correnti ai tagli nodali: i 1 I g1 I g 2 0 i ca i I g1 0 i 2 i I g2 0 G 1 E 1 I g1 I g2 G E 2 E I g1 G 2 E G E 2 E I g2 NOTA: il sistema risolvente finale è ovviamente lo stesso ottenuto tramite applicazione del procedimento per ispezione visiva effettuata in precedenza. D-11

13 PROCEDIMENTO GENERALE DEL METODO NODI (continua ) VALIDITÀ DEL SISTEMA RISOLVENTE: a) Num. equaz. = num. incognite Il numero di equazioni coincide con il numero dei nodi (N-1) e quindi con il numero delle incognite (tensioni nodali escluso il riferimento) b) Le equaz. sono indipendenti Ciascuna equazione esprime l equilibrio delle correnti su un nodo. Per ciascun nodo è definito uno specifico potenziale nodale, quindi in ogni equazione è presente almeno una incognita che sicuramente non è presente nelle altre c) Le [E] sono le uniche incognite Ciascuna corrente facente parte di una equaz. di equilibrio o è un termine noto (se il ramo corrispondente è un gen. ind. di corr.) o è una combinazione lineare di variabili ausiliarie [E] con coefficienti noti (conduttanze G a e G c ) D-12

14 ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI 1) PRESENZA DI GEN. INDIP. DI TENSIONE: Si aggiungono come incognite le correnti che scorrono nei gen. ind. di tensione. Per ogni incognita aggiuntiva si aggiunge una equazione che è data dal vincolo imposto dal gen. ind. di tens.: il problema è chiuso ma aumenta l ordine del sist. risolvente (una equaz. in più per ogni gen. di tens. presente). Si può scegliere il riferimento in modo che l albero contenga il maggior numero di gen. ind. di tens. presenti. In tal modo alcune tensioni nodali E sono note fin dall inizio: infatti se il gen. di tens. è in un ramo tra un nodo ed il riferimento allora la rispettiva tensione nodale risulta nota (diminuisce il numero delle incognite) D-1

15 ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI (continua ) 1) Presenza di gen. ind. di tens.: R 1 R 5 1 R 1 2 R 4 1 I g7 V g2 1 V g 2 V g I g7 G G G G G G 4 G G 4 G 4 G 5 G G 5 G 5 6 R E 1 E E 4 E 5 E 6 I x RIFE. Vg V g2 I x2 R 5 5 R 4 I x6 V g6 I g7 I x2 I x6 I x I g7 I x6 R 4 incognite aggiuntive E V g2 1 Eq. di vincolo: E 5 V g 2 E 4 E 6 V g6 Non è stato possibile scegliere il rife. in modo che tutte le V g coincidessero con variabili ausiliarie (soltanto due) D-14

16 ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI (continua ) Valori numerici: R 1 R 5 1 W R 1 2 R 4 1 W I g7 A V g2 V g 6 1 V g 2 V vincolo: E 4 E 6 1 E 1 2 2E 4 I x 2 2 5E 4 6 Ix 6 E 4 8 E 6 Ix 2 E 6 I x 6 E 1 E 4 4 E 6 7 I x 2 14 I x 5 I x 6 8 (Il sist. risolvente finale è di 6 equaz.) Dalle [E] e dalle rel. cost. si ricavano tutte le altre grandezze di interesse D-15

17 ESTENSIONI DEL METODO DEI NODI (continua ) 2) PRESENZA DI GENERATORI CONTROLLATI: Si amplia notevolmente la classe e l interesse dei circuiti analizzabili 1) Ipo. provvisoria: Si applica il metodo dei nodi considerando i gen. contr. alla stregua di gen. indip. NOTA: mentre i gen. indip. introducono termini noti, i gen. contr. introducono grandezze in funzione delle incognite del problema e quindi contribuiscono alla matrice dei coefficienti e non alla colonna dei termini noti, rendendola non simmetrica. 2) Per ogni gen. contr. presente si aggiunge la relativa eq. di vincolo. ) Si risolve il sist. risolvente complessivo. D-16

18 ESTENSIONE DEL METODO DEI NODI (continua ) 2) presenza di due gen. di corrente controllati in corrente: 1 R 4 i 1 i 2 R i x V R 6 R 4 1 R R 6 1 V 1 i 1 2v R5 i 2 i R6 Si considerano i 1 e i 2 come gen. ind. di corr.: vincolo dovuto al gen. di tens.: 1 2 E E 2 V 1 2 G 4 G 5 G 4 G 5 G 4 G 4 0 G 5 0 G 5 G 6 E 1 E 2 E vincoli dovuti alle rel. cost. dei gen. controllati.: i 1 i 2 i x i x i 1 2 E 1 E i 2 G 6 E G 4 G 5 2 G 4 G 5 2 G 4 G 4 G 6 G 5 0 G 5 G 6 E 1 E 2 E 0 i x i x La [G T ] non è più simmetrica ecc... D-17

19 METODO DELLE MAGLIE Si può ricavare dal metodo dei tagli/nodi per dualità (vedi schema concettuale ) Variabili ausiliarie: I c correnti rami co-albero (R-N1) Legge applicata: K2 equilibrio tensioni Sistema risolvente: R M I c V M, con: Simmetrica per circuiti di soli Matrice dei coefficienti: R M R N1 R N1 resistori e gen. ind. di tens. No maglie di soli V g R M k,k somma delle resistenze sui rami resistivi della maglia k-ma R M k,i Vettore termini noti: V M k V M somma algebrica resistenze su rami resistivi in comune tra la maglia k-ma e la maglia i-ma; segno se il verso delle correnti di maglia è concorde, altrimenti -. RN11 somma algebrica delle tensioni dei gen. indip. di tens. presenti sulla maglia k-ma; segno se la corrente di maglia esce dal morsetto positivo, altrimenti -. NOTA: il metodo delle maglie si può applicare per ispezione visiva, introducendo la nozione di corrente fittizia di maglia : le m.f. sono percorse da tali correnti e le correnti dei rami sono determinate dalla combinazione lineare di esse D-18

20 ESTENSIONE METODO DELLE MAGLIE 1) PRESENZA GEN. INDIP. DI CORRENTE: Aggiunta delle tensioni dei gen. di corr. come incognite: si può fare in modo che essi coincidano con i rami co-albero (in tal modo diminuisce il numero delle incognite). 2) PRESENZA DI GENERATORI CONTROLLATI: Si considerano i gen. contr. come gen. indip. e si utilizzano le eq. di vincolo: perdita della simmetria della matrice R M D-19