Introduzione a MATLAB

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Gilberta Fontana
5 anni fa
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1 Università degli Studi di Napoli Federico II CdL Ing. Elettrica Corso di Laboratorio di Circuiti Elettrici Introduzione a MATLAB Parte 4 Dr. Carlo Petrarca Dipartimento di Ingegneria Elettrica Università di Napoli FEDERICO II

2 Numeri complessi In MATLAB è possibile fare operazioni con numeri complessi L unità immaginaria ( -1) i oppure j è assegnata per default >> i ans = i Attenzione perchè, se si assegna un valore diverso a queste variabili, esse perdono il loro valore di default!! >> i=5; >> i i = 5 2

3 Operazioni con i numeri complessi Assegnazione (forma cartesiana o algebrica): x=5+i4 Coniugato: >> x=5+i*4 x = i >> conj(x) ans = i Parte reale e parte immaginaria: >> real(x) ans = 5 >> imag(x) ans = 4 3

4 Operazioni con i numeri complessi Assegnazione (forma esponenziale o polare): y=8e i(π/6) >> y=8*exp(i*pi/6) y = i Modulo: >> abs(y) ans = 8 Argomento (in radianti): >> angle(y) ans =

5 Esercizi con i numeri complessi 1. Convertire i seguenti numeri dalla forma algebrica a quella polare 3 + 4j 5 5 3j 6 6j 2. Convertire i seguenti numeri dalla forma polare a quella algebrica 7 2 e j / 6 6 e π jπ / 4 j2π / 10 e 3 3. Eseguire le seguenti operazioni: ( 7 3j)( 4 + 6j) ( 2 + 4j) /( 1 3j) ( j ) ( 5 + j) 5

6 Esercizi con i numeri complessi 4. Esprimere la corrente i(t) in termini di fasore i () t π = 50sin t A; 4 ω i() t 5. Dati i seguenti fasori: π = 10 2 cos t A; 3 ω i() t π = 50 2 cos ωt + A; 4 V = e 1 10 jπ / 6 V2 = 10e jπ / 6 V = e 3 5 jπ /3 rappresentare su grafico le tensioni corrispondenti ai fasori V 1 + V 2 1 V2 V V1 V3 utilizzando la seguente trasformazione fasoriale: V ( t) = V sin( + α ) jα = V e v M t M 500 6

7 Esercizio La rete di figura è a regime sinusoidale. Ricavare l intensità di corrente nell induttore, tracciarne il grafico in un intervallo di tempo pari a 2 volte il periodo T, calcolare la potenza media erogata dal generatore di tensione e 1 π R1 = R2 = 5Ω; L = 2mH; C = 0.4mF; e1 () t = 40sin( ωt) A; e2() t = 50sin ωt V ; ω = 6 A rad 800 s R2 C R1 e2(t) + - il(t) + - e1(t) L B 7

8 Adottiamo il metodo simbolico: A IE2 ZR2 ZC ZR1 IE1 E E1 ZL IL B E risolviamo il sistema: I Z Z E1 R2 R1 + I I I E2 E1 E2 + I L = 0 ( Z + Z ) C ( Z + Z ) C L L I I L L = = E E 1 2 8

9 Assegniamo i dati del problema: % Assegnazione dati R1=5; R2=5; L=2e-3; C=0.4e-3; w=800; E1=40*exp(j*0); E2=50*exp(-j*pi/6); ZR1=R1; ZR2=R2; XL=w*L; ZL=j*XL; XC=1/(w*C); ZC=-j*XC; Scriviamo il sistema da risolvere: % Scrittura sistema di equazioni % Matrice A dei coeff. delle incognite A=[1 1 1;0 ZR2 -(ZC+ZL);ZR1 0 -(ZC+ZL)]; % Vettore colonna dei termini noti Noti=[0;E2;E1]; 9

10 Ricaviamo la corrente i L (t) I=inv(A)*Noti; % Calcolo del fasore della corrente IL IL=I(3); % Valore massimo di IL ILmax=abs(IL) % Fase di IL ILfase=angle(IL) i L (t)=14.8 sin(800t-2.88) A Ricaviamo la potenza media erogata da E1 % Calcolo della potenza complessa erogata da E1 IE1=I(1); PcE1=0.5*E1*conj(IE1); % Potenza media erogata da E1 PE1=real(PcE1) P E1 =137 W 10

11 Grafico di i L (t): % Tracciamo il grafico di il(t) % Calcolo del periodo T=2*pi/w; % Definizione dell'asse dei tempi t=[0:t/100:2*t]; % Calcolo della il(t) il=ilmax*sin(w.*t+ilfase); % Grafico di il(t) plot(t,il); xlabel('tempo [s]'); ylabel('corrente [A]'); title('corrente nell''induttore'); 11

12 Grafico della corrente nell induttore: 15 Corrente nell'induttore 10 5 corrente [A] tempo [s] 12

13 Metodo sistematico La matrice di incidenza completa A C definisce univocamente il grafo della rete Dato un grafo orientato con N nodi e L lati la matrice A C ha N righe e L colonne e il generico elemento a ik della matrice di incidenza completa è così definito: a ik + 1 se il lato k esce dal nodo i = 1 se il lato k entra nel nodo i 0 se il lato k non interessa il nodo i 13

14 Indicato con I il vettore colonna delle correnti di lato,la matrice di incidenza completa ci permette di scrivere in forma compatta matriciale le LKC a tutti gli N nodi della rete: [ A ]{ I} = { 0} a a.... a C i L i 2 0 a21 a a 2L.. = aii aik an1 an2.... anl i L 0 Eliminando una qualsiasi delle N equazioni ai nodi, le (N-1) equazioni rimanenti sono linearmente indipendenti. 14

15 La matrice che si ottiene dalla matrice di incidenza completa eliminando la generica k-esima riga è la matrice di incidenza ridotta A Le (N-1) equazioni indipendenti esprimenti la LKC verranno pertanto espresse in forma matriciale come: [ A]{ I} = { 0} Per la LKT, basta ricordare che essa è identicamente soddisfatta se si esprimono le tensioni di lato in funzione dei potenziali nodali. Per semplicità è opportuno fissare un nodo a potenziale zero di riferimento. La scelta più semplice è quella di adottare come nodo di riferimento il nodo k-esimo per il quale non si è scritta la LKC 15

16 Detto V il vettore delle tensioni di lato e v il vettore degli (N-1) potenziali nodali, è possibile scrivere la relazione: [ A] T { v} = { V} In conclusione le equazioni topologiche della rete sono: T [ A] v = { V} e [ A]{ I} = { 0} Per completare il sistema di equazioni non rimane ora che esprimere le caratteristiche di lato 16

17 Al fine di rendere sistematica e automatizzata le scrittura delle equazioni di lato è necessario che le equazioni caratteristiche assumano la forma più generale possibile Per bipoli controllabili in tensione, ci viene incontro il teorema del generatore equivalente di Norton I k G k J k I V k = Jk + GV k k k 17

18 In simboli matriciali, le caratteristiche di lato possono essere espresse dalla relazione: { I} = { J} + [ G]{ V} in cui il vettore J di dimensione L è rappresentativo dei generatori di corrente e la matrice G è detta matrice della conduttanze di lato ed è una matrice diagonale (G ii 0) di dimensione L L. Moltiplichiamo a sinistra l espressione per la matrice A: [ A]{ I} = [ A]{ J} + [ A][ G]{ V} 18

19 Per la LKC si ha: [ A]{ J} = [ A][ G]{ V} Utilizzando i potenziali nodali otteniamo: [ A]{ J} = [ A][ G][ A] T { v} da cui: [ G ] = [ A][ G][ A] T N { J } = [ A]{ J} N { J } = [ G ]{ v} N N è la matrice conduttanza di nodo è il vettore delle correnti impresse di nodo 19

20 Il vettore incognito dei potenziali di nodo si ottiene da: { v} [ G ] 1 { J } = N N Proprietà della matrice G N : 1. Il termine diagonale g ii è la somma delle conduttanze di tutti i lati collegati al nodo i, ed è detta autoconduttanza del nodo i; 2. Il termine g ik è la cosiddetta mutua ammettenza tra il nodo i ed il nodo k; essa è l opposto della somma di tutte le conduttanze di tutti i lati che collegano il nodo i al nodo k. 20

21 Proprietà del vettore J N : Il generico elemento J N (i) del vettore J N è pari alla somma algebrica delle correnti impresse nel nodo i. Le correnti sono pesate con il segno + se il riferimento di corrente è entrante nel nodo i, altrimenti sono pesate con il segno -. Noto il vettore dei potenziali di nodo, si ricavano le tensioni di lato: E, infine, anche le correnti: [ A] T { v} = { V} { I} = { J} + [ G]{ V} 21

22 Esercizio Risolvere con Matlab la rete di figura: J1 J2 R1 I R2 I R4 R1 R2 J4 R4 IV J6 E4 + - III J5 II IV J6 III J5 R5 II R5 J3 R3 R3 22

23 Procedere secondo i seguenti passi: 1) Trasformare ogni lato nel suo equivalente di Norton 2) Assegnare i dati del problema 3) Scrivere la matrice di incidenza Ac e A 4) Scrivere la matrice delle conduttanze di lato G 5) Scrivere il vettore delle correnti impresse di lato J 6) Ricavare la matrice delle conduttanze di nodo G N 7) Ricavare il vettore delle correnti impresse di nodo J N 8) Risolvere il sistema: { v} [ G ] 1 { J } = N N 9) Ricavare le tensioni di lato: 10) Ricavare le correnti di lato: [ A] T { v} = { V} { I} = { J} + [ G]{ V} 23

24 % Forma matriciale delle equazioni nei potenziali ai nodi clear all; clc; N=4; %numero di nodi L=6; % numero di lati % resistenze di lato R1=10; R2=5; R3=8; R4=10; R5=5; % sorgenti J5=10; J6=4; E=100; % Matrice di incidenza completa Ac Ac=[ ; ; ; ]; 24

25 % Matrice di incidenza ridotta A A=Ac(1:N-1,1:L); % Matrice delle conduttanze di lato G G=zeros(L,L); G(1,1)=1/R1; G(2,2)=1/R2; G(3,3)=1/R3; G(4,4)=1/R4; G(5,5)=1/R5; G(6,6)=0; % Vettore delle correnti impresse di lato J J=zeros(L,1); J(1,1)=0; J(2,1)=0; J(3,1)=0; J(4,1)=E/R4; J(5,1)=J5; J(6,1)=J6; 25

26 % Matrice delle conduttanze di nodo Gn Gn=A*G*A'; % Vettore delle correnti impresse di nodo Jn Jn=A*J; %%%%%%%% RISOLUZIONE DEL SISTEMA %%%%%%%%%%%%%% % Vettore dei potenziali di nodo v v=-inv(gn)*jn; % Vettore delle tensioni di lato V=A'*v; % vettore delle correnti di lato I=J+G*V; 26

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