Analisi di Reti in Regime Stazionario

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1 nalisi di eti in egime Stazionario

2 ata una rete con l elementi bipolari, identifico un sistema di l tensioni e l correnti descrittive (ad ex, usando la.u.). l incognite Le l incognite devono soddisfare: le relazioni costitutive le leggi di Kirchhoff (indipendenti dalla natura dei componenti) Le relazioni costitutive sono l occorrono l equazioni di Kirchhoff indipendenti L individuazione di tali equazioni, essendo basata sulle LK, non dipende dalla natura degli elementi ma solo dal numero e dal modo in cui essi sono connessi grafo del circuito

3 rafo di una rete Sostituisco a ciascun ramo della rete un segmento grafo ssegno ad ogni lato il verso della corrente grafo orientato nformazioni topologiche Proprietà geometriche della rete che non vengono alterate da una deformazione continua Nodo e amo Sottografo rafo complementare Ordine di un nodo Percorso Maglia e Taglio lbero e oalbero Maglia fondamentale e Taglio fondamentale ausilio alla scrittura delle LK

4 rafo di una rete rafo rafo orientato componenti

5 Un ramo è un segmento del grafo che rappresenta un singolo elemento (ad ex. Una resistenza o un generatore) (l rami) Un nodo connette due o più rami Un unico nodo!!! n nodi ramo nodo Un grafo è un insieme di nodi ed un insieme di rami ciascuno delle quali termina alle estremità con un nodo

6 Un sottografo è il grafo ottenuto da un sottoinsieme degli elementi del grafo l grafo complementare è il grafo che resta dopo l estrazione del sottografo. L ordine di un nodo è dato dal numero di rami incidenti nel nodo Un percorso è un sottografo aventi tutti i nodi di ordine e ad eccezione di nodi che hanno ordine Un grafo è connesso se scelti nodi P e Q è sempre possibile trovare un percorso che ha P e Q come estremi

7 Una maglia è un insieme di rami del grafo ognuno dei quali ha un nodo in comune con i due rami adiacenti. Un taglio T è è costituito dai lati del grafo che attraversano una superficie chiusa. La superficie deve tagliare ogni lato solo una volta. imuovendo T, il grafo risultante è sconnesso 7

8 ete di n nodi e l rami lbero: sottografo connesso che include tutti i nodi e non contiene percorsi chiusi n- rami oalbero: grafo complementare l-n rami rafo Orientato l, n lbero l n- oalbero l l-n 8

9 lbero Maglie fondamentali - oalbero - l c l-n solo ramo di coalbero 9

10 oalbero lbero Tagli fondamentali l n- solo ramo di albero

11 Osservazioni Per una rete piana (non contiene rami che si incrociano) sono maglie fondamentali tutte quelle elementari (non contengono rami all interno) e contigue nelli o finestre Per un grafo con albero a stella (tutti i nodi connessi ad un unico nodo (, (oppure )) le superfici che individuano i tagli fondamentali includono un solo nodo. Nodi

12 ete non piana Non è possibile individuare le maglie fondamentali come nelli

13 possibile svincolare il concetto di albero da quello di sottografo Ḃ Non c e un albero a stella lbero a stella del circuito aumentato con un ramo con tagli fondamentali includono un solo nodo. Le n- equazioni LK ai nodi costituiscono un insieme di equazioni indipendenti.

14 Per risolvere un problema di analisi interessa avere un metodo per l individuazione delle equazioni delle LKT e delle LK indipendenti. Le l-n equazioni LKT alle maglie indipendenti costituiscono un insieme di equazioni indipendenti (in ognuna di esse compare la tensione di un ramo di coalbero che non compare nelle altre).. Ogni altra equazione LKT, scritta per quella rete, risulta inutile perché combinazione lineare di quelle scritte per le maglie fondamentali Le n- equazioni LK ai tagli indipendenti costituiscono un insieme di equazioni indipendenti (in ognuna di esse compare la corrente di un ramo di albero che non compare nelle altre). Ogni altra equazione LK, scritta per quella rete, risulta inutile perché combinazione lineare di quelle scritte per i tagli fondamentali

15 Le n- tensioni dei rami dell albero costituiscono un insieme di tensioni indipendenti e completo. non esistono legami tra loro (non esiste una maglia di soli rami di albero) le tensioni dei rami di coalbero sono esprimibili in funzione di esse (LKT alle maglie fondamentali) -

16 Le ml-n correnti dei rami di coalbero costituiscono un insieme di correnti indipendenti e completo. non esistono legami tra loro (non esiste un taglio di soli rami di coalbero) le correnti dei rami di albero sono esprimili in funzione di esse (LK ai tagli fondamentali) - -

17 Metodi di analisi Metodo completo Metodi abbreviati 7

18 Metodo completo (o di tableau sparso ) ata una rete elettrica con n nodi e l lati, consideriamo come incognite le l correnti di lato e le l tensioni. (l incognite) Occorrono l equazioni indipendenti l n m relaz. costitutive LK ai tagli fondamentali LKT alle maglie fondamentali (ex., nodi) (ex., anelli) l n m l n l n l Metodo complesso molte equazioni La matrice del sistema risolvente ha molti zeri da qui il nome tableau sparso 8

19 SMP a) f a e d b h c Scrivere le equazioni topologiche g b) u(t) Scrivere le equazioni topologiche e dei componenti c) a(t) L Scrivere le equazioni topologiche e dei componenti 9

20 isoluzione delle reti con metodi abbreviati Metodo delle correnti di maglia eti piane di generatori indipendenti di tensione e resistenze ncognite : correnti di maglia, ml-n quazioni: l-n LKT Termini noti: tensioni dei generatori Metodo dei potenziali di nodo eti di generatori indipendenti di corrente e resistenze ncognite : potenziali di nodo, n- quazioni: n- LK Termini noti: correnti dei generatori

21 Metodo delle correnti di maglia a b icerca delle m maglie fondamentali elementari contigue (facile per rete piana) oppure formate coi lati di coalbero c a b c. ndividuare una corrente di maglia in ogni maglia, di verso arbitrario ma uguale in tutte le maglie.

22 . sprimere le correnti dei lati in funzione delle correnti di maglia. Nei lati esterni la corrente di lato coincide a mano del segno con la corrente di maglia. - a b - c Nei lati interni la corrente di lato coincide con la differenza tra tra le corrente delle maglie a cui il lato appartiene. c a b a b - c a b c

23 a b a b c c LK al taglio fondamentale in figura a - a b - b ata la natura ciclica delle correnti di maglia, le equazioni ai tagli fondamentali (LK) in funzione delle correnti di maglia risultano delle identità è sufficiente considerare le restanti equazioni (LKT)

24 . Scrivere le LKT per ogni maglia c b a. Far comparire le correnti di maglia. c b a c cc b cb a ca c bc b bb a ba c ac b ab a aa c b a c b a c b a ) ( ) ( ) (

25 aa Ma ab Mb am MM a M a M onsiderazioni ii > autoresistenza somma delle resistenze presenti nella maglia i ij ji < resistenza mutua o transresistenza somma delle resistenze comuni alla maglie i e j i Somma algebrica delle f.e.m dei generatori di tensione presenti nella maglia i i > se concorde col verso della corrente di maglia

26 SMPO Ω Ω Ω Ω Ω Trovare la potenza fornita dal generatore da 9 [ ] 9 W P

27 7 SO N U SONO PSNT NTO di corrente ( ) x x x La matrice dei coefficienti nel metodo delle maglie non è più simmetrica l metodo si destruttura x eq.ni e incognite

28 lternativa: conviene porre il generatore di corrente in un ramo di coalbero (maglie fondamentali anelli) ( ) x ) ( ) ( ) ( 8 x ( ) x ) ( ) ( ) ( e concordi e discordi iduco le variabili ( ) x ) ( ) ( eq.ni e incognite / eq.ni e incognite

29 Metodo dei potenziali di nodo. ndividuazione degli n- nodi indipendenti,, lbero a stella Nodo n: nodo di riferimento n- potenziali indipendenti,, 9

30 . sprimere le tensioni dei lati in funzione dei potenziali dei nodi indipendenti Le equazioni alle maglie fondamentali (LKT), se si sostituiscono alle tensioni di lato le loro espressioni in funzione dei potenziali dei nodi indipendenti, risultano delle identità è sufficiente considerare le restanti equazioni (LK)

31 . sprimere le correnti dei lati in funzione dei potenziali dei nodi indipendenti Scrivere le LK per ogni nodo indipendente

32 . Far comparire le tensioni di nodo ) ( ) ( ) (

33 n, n,, n n, n n n onsiderazioni ii > autoconduttanza somma delle conduttanze dei lati facenti capo al nodo i ij < conduttanza mutua o transconduttanza somma delle conduttanze facenti capo a entrambi i nodi i e j i Somma algebrica delle correnti dei generatori di corrente facenti capo al nodo i i > se entrante nel nodo i

34 SO N U SONO PSNT NTO di tensione onviene prendere il nodo come nodo di riferimento (porre il generatore di tensione sull albero) x x iduco il numero di variabili x

35 lternativa / Trasf. ei generatori /

36 ualità Scopo della dualità è quello, noto un qualsiasi principio o equazione per una rete, di poter dedurre il principio o l equazione duale (corrispondente) per la parte duale. iò è possibile scambiando i termini duali. serie maglia parallelo nodo sempi ± ± ; ;