1.1 Assenza di generatori di corrente ideali.

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1 ANALISI AGLI ANELLI Questa dispensa presenta un metodo alternativo a quello presentato nel libro Circuiti Elettrici di C.K. Alexander, M.N.O.Sadiku - seconda edizione - traduzione a cura del Prof. P.Gubian nel capitolo 3 paragrafo 4 per l applicazione della Analisi agli ANELLI per i circuiti che presentano generatori di corrente. Prof. Paolo Gubian - Ing. Giuseppe VOGLINO 1.1 Assenza di generatori di corrente ideali. L analisi agli Anelli, al pari dell Analisi Nodale, è un procedimento sistematico per analizzare i circuiti che, utilizzando le correnti di anello 1 come incognite al posto delle correnti dei singoli elementi circuitali, permette di ridurre il numero di equazioni simultanee da risolvere. L obiettivo dell analisi agli anelli è, allora, la determinazione delle correnti di anello. R 1 R 3 5Ω 10Ω E 2 10 V 6Ω Figura 1.1: Circuito 1 - lezione del 09 maggio 2005 In pratica, dato un circuito con n anelli, l analisi agli anelli consiste di 4 passi: 1 Un anello è una maglia che non contiene maglie al suo interno. 1

2 2 ANALISI AGLI ANELLI Dispensa 2 Procedura per determinare le tensioni di nodo: 1. Assegnare le correnti di anello i 1, i 2,..., i n agli n anelli. Solitamente le correnti di anello hanno segno positivo se in senso orario ( esempio di fig. 1.2.) 2. Applicare la KVL a ciascuno degli n anelli. 3. Applicare la legge di Ohm per esprimere le tensioni in termini delle correnti di anello. 4. Risolvere le equazioni ottenute così da calcolare appunto le correnti di anello. PASSO 1 Il circuito di fig. 1.1 ha due anelli; si assegneranno, quindi, due correnti di anello, i 1 e i 2 2. Il circuito di fig. 1.1 si ridisegna come: v R 1 R 1 5Ω v R2 v R 3 R 3 6Ω i 1 10Ω i 2 E 2 10 V v R4 Figura 1.2: Circuito 1 con assegnate le correnti di anello. PASSO 2 Si applichi la KVL ai due anelli; le equazioni sono le seguenti: Anello 1 v R1 v R2 = E 2 Anello 2 v R2 v R3 v R4 = E 2 (1.1) PASSO 3 Si applichi la legge di Ohm per esprimere le tensioni in termini delle correnti i 1 e i 2 di anello; le equazioni diventano 2 : 2 Si sono volute evidenziare le correnti di anello i 1 e i 2 usando il carattere grassetto.

3 1.2. PRESENZA DI GENERATORI DI CORRENTE IDEALI. 3 Anello 1 R 1 i 1 (i 1 i 2 ) = E 2 Anello 2 (i 2 i 1 ) R 3 i 2 i 2 = E 2 (1.2) che, in termini dei valori dei componenti riportati in fig. 1.1, si riscrivono come: Anello 1 5 i 1 10 (i 1 i 2 ) = Anello 2 10 (i 2 i 1 ) 6 i 2 4 i 2 = 10 (1.3) PASSO 4 Si lascia al lettore la risoluzione del sistema di 2 equazioni in 2 incognite (appunto le due correnti di anello). 1.2 Presenza di generatori di corrente ideali. Si consideri come la formulazione dell analisi agli anelli venga influenzata dalla presenza di generatori di corrente ideali. Caso 1 Il generatore di corrente risulta appartenere ad un solo anello. v R 1 R 1 5Ω i 1 v R2 i 2 10Ω v R 3 R 3 6Ω A 1 V x Figura 1.3: Circuito per il caso 1. Soluzione Se il generatore di corrente risulta parte di un solo anello, è ovvio che la corrente di quell anello risulterà pari alla corrente imposta da quel generatore di corrente. A tal proposito, si veda l esempio di fig. 1.3.

4 4 ANALISI AGLI ANELLI Dispensa 2 A tale proposito, per il circuito di figura 1.3, l analisi agli anelli può essere sempre affrontata seguendo i passi descritti nel paragrafo precedente (1.1). PASSO 1 Gli anelli presenti nel circuito di fig. 1.3 sono due per ognuno dei quali si avrà un corrente di anelli incognita, i 1 e i 2. PASSO 2 Il passo 2 richiede di scrivere la KVL per entrambi gli anelli; la difficoltà risiede nella impossibilità di poter conoscere la tensione ai capi del generatore di corrente A 1. Anello 1 v R1 v R2 = Anello 2 v R2 v R3 = V x (1.4) PASSO 3 Tuttavia, da una semplice ispezione del circuito di fig. 1.3 si nota che in realtà se il generatore di corrente appartiene solo ad un ramo, la corrente di quell anello sarà proprio pari alla corrente impressa da quel generatore di corrente. Quindi, nel caso di fig. 1.3 la corrente di anello i 2 è uguale a quella imposta dal generatore di corrente A 1. Le equazioni sono: Anello 1 R 1 i 1 (i 1 i 2 ) = Anello 2 i 2 = A 1 (1.5) L analisi agli anelli risulta, in questo caso, in un certo senso semplificata perchè si conosce a priori la corrente di anello. Caso 2 Il generatore di corrente risulta appartenere a più di un anello. Soluzione Anche in questo caso l analisi agli anelli si applica seguendo i passi descritti nella procedura di cui al paragrafo 1.1.

5 1.2. PRESENZA DI GENERATORI DI CORRENTE IDEALI. 5 R 1 R 3 6Ω 2Ω A 1 6 A 10Ω Figura 1.4: Circuito per il caso 2. PASSO 1 Gli anelli presenti nel circuito di fig. 1.4 sono due per ognuno dei quali si avrà un corrente di anello incognita: siano queste i 1 e i 2. R 1 R 3 6Ω 2Ω A 1 6 A 10Ω i 1 i 2 Figura 1.5: Circuito ridisegnato dopo il passo 1. PASSO 2 Il passo 2 richiede di scrivere la KVL per entrambi gli anelli; la difficoltà risiede nella impossibilità di poter conoscere la tensione ai capi del generatore di corrente A 1. v R 1 R 1 6Ω v R2 v R 3 R 3 10Ω i 1 2Ω i 2 V x 6 A A 1 v R4 Figura 1.6: Circuito ridisegnato per il passo 2

6 6 ANALISI AGLI ANELLI Dispensa 2 Anello 1 v R1 v R2 = V x Anello 2 v R2 v R3 v R4 = V x (1.6) che rappresenta un sistema di 2 equazioni in 3 incognite, per la presenza del termine V x : occorre aggiungere una terza equazione. PASSO 3 Una semplice ispezione del circuito di fig. 1.3 evidenzia che in realtà la corrente nel ramo costituito dalla resistenza e dal generatore di corrente Q 1 è imposta dallo stesso generatore di corrente A 1, di valore 6 A. Ma la corrente di questo ramo espresso in termini delle due correnti di anello vale i 2 i 1, poichè la corrente i 2 è concorde con il generatore di corrente A 1 mentre la corrente di anello i 1 risulta discorde in segno con A 1. Le equazioni sono: i 1 (R 3 ) i 2 = i 2 i 1 = A 1 (1.7) che rappresenta un sistema di 2 equazioni nelle 2 correnti di anello incognite i 1 e i 2.