Cosa c è nell unità. Matrice di incidenza Teorema di Tellegen

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1 1 Cosa c è nell unità Introduzione ai metodi generali Prime definizioni della Teoria dei Grafi Definizioni Cammino e grafi connessi Maglie Taglio Albero e coalbero Grafi orientati Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodi Generalità del tableau e dei nodi Esempi di applicazione del metodo dei nodi Metodo dei nodi modificato Matrice di incidenza Teorema di Tellegen 2

2 Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen 3 Metodi generali I metodi generali per il calcolo di reti elettriche di bipoli lineari sono il: metodo dei potenziali ai nodi metodo degli anelli o delle correnti cicliche (applicabile solo allo studio di reti con grafi planari) metodo delle corde o delle maglie fondamentali metodo dei rami o dei tagli fondamentali Noi considereremo solo il Metodo dei potenziali ai nodi (il primo in elenco) 4

3 Metodi generali I metodi generali sono di solito formulati per reti di bipoli Questo non limita la loro applicabilità a reti contenenti multipoli o multiporta, in quanto utilizzando generatori pilotati o controllati è sempre possibile ricondurre tali reti a reti di bipoli I generatori pilotati (o controllati) verranno trattati in seguito in questo stesso modulo di Elettrotecnica I La formulazione dei metodi generali viene facilitata utilizzando la Teoria dei Grafi 5 Metodi generali Una rete di bipoli costituita da generatori ideali di tensione, di corrente e resistori, come ad esempio quella di figura a, verrà simbolicamente indicata come in figura b figura a figura b 6

4 Metodi generali Se la rete è costituita da l bipoli il vettore di uscita avrà al massimo 2l componenti, cioè le l tensioni e le l correnti sui bipoli 7 Metodi generali Per determinare queste 2l incognite abbiamo a disposizione le l relazioni costitutive degli l bipoli Le rimanenti l equazioni debbono essere ottenute tenendo in conto le connessioni dei bipoli E questo conduce a considerare le leggi di Kirchhoff 8

5 Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen 9 Cosa c è nella lezione Definizioni Grafi Grafi irriducibili Grafi planari Cammino e grafi connessi Maglie Taglio Albero e coalbero Tagli e maglie fondamentali Foresta e coforesta Grafi orientati 10

6 Prime definizioni della Teoria dei Grafi 11 Prime definizioni della Teoria dei Grafi Consideriamo una rete di bipoli ed ad ogni bipolo sostituiamo una linea, come indicato in figura. In tal modo otteniamo un grafo 12

7 Prime definizioni della Teoria dei Grafi Consideriamo una rete di bipoli ed ad ogni bipolo sostituiamo una linea, come indicato in figura. In tal modo otteniamo un grafo Le linee del grafo vengono chiamate lati, mentre i loro punti di intersezione vengono chiamati nodi 13 Prime definizioni della Teoria dei Grafi Quando si disegna il grafo di una rete conviene eliminare i lati costituiti da cortocircuiti e da circuiti aperti Un grafo si dice irriducibile se in esso non sono presenti lati in serie e/o in parallelo 14

8 Grafi planari e non planari Un grafo si dice planare quando si riesce a disegnare in modo da avere lati che non si intersechino Una rete è planare se il grafo ad essa associato è planare Esempio di grafo planare 15 Esempio di grafo non planare esempio di grafo non planare 16

9 Prime definizioni della Teoria dei Grafi 17 Cammino 18

10 Cammino Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi V j e V k un insieme di lati b 1, b 2,..., b r tali che: 1. i lati consecutivi b i, b i+1 hanno sempre un punto in comune 2. nessun nodo di Gè punto terminale di più di due lati di C 3.V j e V k sono nodi terminali di un solo lato di C 19 Cammino: esempi I lati d, h, i, b formano un cammino tra i nodi 1 e 2 Definizione di CAMMINO: Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi V j e V k un insieme di lati b 1, b 2,..., b r tali che: 1. i lati consecutivi b i, b i+1 hanno sempre un punto in comune 2. nessun nodo di G è punto terminale di più di due lati di C 3.V j e V k sono nodi terminali di un solo lato di C 20

11 Cammino: esempi I lati e, g, j, f non formano un cammino perché è violata la condizione 2 Definizione di CAMMINO: Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi V j e V k un insieme di lati b 1, b 2,..., b r tali che: 1. i lati consecutivi b i, b i+1 hanno sempre un punto in comune 2. nessun nodo di G è punto terminale di più di due lati di C 3.V j e V k sono nodi terminali di un solo lato di C 21 Cammino: esempi I lati e, f, h, i, c non formano un cammino perché è violata la condizione 1 Definizione di CAMMINO: Dato un grafo G, si definisce cammino C tra due nodi V j e V k un insieme di lati b 1, b 2,..., b r tali che: 1. i lati consecutivi b i, b i+1 hanno sempre un punto in comune 2. nessun nodo di G è punto terminale di più di due lati di C 3.V j e V k sono nodi terminali di un solo lato di C 22

12 L importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connesso Grafi connessi 23 Grafi connessi L importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connesso Un grafo è connesso se fra due nodi arbitrari di esso esiste un cammino 24

13 Grafi connessi L importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connesso Un grafo è connesso se fra due nodi arbitrari di esso esiste un cammino Un grafo sconesso è l insieme di più grafi connessi 25 Grafi connessi L importanza della definizione di cammino è legata al concetto di grafo connesso Un grafo è connesso se fra due nodi arbitrari di esso esiste un cammino Un grafo sconnesso è l insieme di più grafi connessi Esempi di grafi connessi e di grafi sconnessi 26

14 Prime definizioni della Teoria dei Grafi 27 Maglia 28

15 Maglia Un sottografo G m di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà: 29 Maglia Un sottografo G m di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà: 1. G m è connesso 30

16 Maglia Un sottografo G m di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà: 1. G m è connesso 2. ogni nodo di G m ha esattamente due lati incidenti su di esso 31 Maglia: esempi I lati (a, b, c, d) insieme ai nodi (1, 2, 6, 5) formano una maglia Definizione di MAGLIA: Un sottografo G m di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà: 1. G m è connesso 2. ogni nodo di G m ha esattamente due lati incidenti su di esso 32

17 Maglia: esempi I lati (a, e, f, g, j ) insieme ai nodi (1, 2, 3, 4) non formano una maglia perché è violata la condizione 2 Definizione di MAGLIA: Un sottografo G m di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà: 1. G m è connesso 2. ogni nodo di G m ha esattamente due lati incidenti su di esso 33 Maglia: esempi I lati (a, e, f, h, i, c ) insieme ai nodi (1, 2, 3, 4, 5, 6) non formano una maglia perché è violata la condizione 1 Definizione di MAGLIA: Un sottografo G m di un grafo G si dice che è una maglia se gode delle seguenti proprietà: 1. G m è connesso 2. ogni nodo di G m ha esattamente due lati incidenti su di esso 34

18 La legge di Kirchhoff delle tensioni si può scrivere ed è valida su qualsiasi maglia di una rete elettrica Maglia 35 Maglia Metodo per trovare un set di maglie indipendenti (reti a grafo connesso): 1. definisco una maglia relativa al grafo GE in esame 2. elimino da GE un solo lato (arbitrariamente scelto) della maglia appena definita; il grafo così ottenuto definisce un nuovo grafo GE 3. ripeto i passi 1 e 2 fino a che non riesco più a definire maglie (il grafo GE risultante è privo di maglie) 36

19 GE: 6 nodi, 10 lati Maglie indipendenti: Esempio Maglie a, b, c, d Elimino a Maglie e, j, h, d 37 Maglie indipendenti: Esempio Maglie e, j, h, d Elimino j Maglie e, g, h, d 38

20 Maglie indipendenti: Esempio Maglie e, g, h, d Elimino h Maglie e, g, i, c, d 39 Maglie indipendenti: Esempio Maglie e, g, i, c, d Elimino g Maglie e, f, b, c, d 40

21 Maglie indipendenti: Esempio Maglie e, f, b, c, d Elimino f Ho trovato 5 maglie indipendenti 5 = l n Prime definizioni della Teoria dei Grafi 42

22 Taglio 43 Taglio Un insieme di lati T di un grafo connesso G è detto taglio od insieme di taglio se sono verificate le seguenti condizioni: 44

23 Taglio Un insieme di lati T di un grafo connesso G è detto taglio od insieme di taglio se sono verificate le seguenti condizioni: 1. rimuovendo da G tutti i lati dell insieme T (ma non i nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso 45 Taglio Un insieme di lati T di un grafo connesso G è detto taglio od insieme di taglio se sono verificate le seguenti condizioni: 1. rimuovendo da G tutti i lati dell insieme T (ma non i nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso 2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di T rimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T, ed uno solo 46

24 I lati (a, e, d ) costituiscono un taglio Taglio: esempi Definizione di Taglio: 1. rimuovendo da G tutti i lati dell insieme T (ma non i nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso 2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di T rimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T, ed uno solo 47 Taglio: esempi I lati (e, g, h, f, b ) non formano un taglio perché è violata la condizione 1 Definizione di Taglio: 1. rimuovendo da G tutti i lati dell insieme T (ma non i nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso 2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di T rimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T, ed uno solo 48

25 Taglio: esempi I lati (a, e, d, c ) non formano un taglio perché è violata la condizione 2 Definizione di Taglio: 1. rimuovendo da G tutti i lati dell insieme T (ma non i nodi terminali perché questi non appartengono a T ) si ha un grafo che risulta sconnesso 2. se si considera il grafo che si ottiene da quello originale G con i lati di T rimossi si ha un grafo che in base ad (1) è sconnesso. Tale grafo ritorna però connesso se ad esso si ripristina un qualsiasi lato del taglio T, ed uno solo 49 Taglio La legge di Kirchhoff delle correnti si può scrivere ed è valida su qualsiasi insieme di taglio di una rete elettrica (connessa) 50

26 Taglio La legge di Kirchhoff delle correnti si può scrivere ed è valida su qualsiasi insieme di taglio di una rete elettrica (connessa) Anche se non risulta evidente dalla loro definizione, i concetti di maglia e di taglio sono, in un certo senso, duali 51 Prime definizioni della Teoria dei Grafi 52

27 Albero (di un grafo connesso) L albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà: 53 Albero (di un grafo connesso) L albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà: 1. B è connesso 54

28 Albero (di un grafo connesso) L albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà: 1. B è connesso 2. contiene tutti i nodi del grafo G 55 Albero (di un grafo connesso) L albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà: 1. B è connesso 2. contiene tutti i nodi del grafo G 3. B non ha maglie 56

29 Albero (di un grafo connesso) L albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà: 1. B è connesso 2. contiene tutti i nodi del grafo G 3. B non ha maglie I lati di un albero di un grafo vengono chiamati rami 57 Albero (di un grafo connesso) L albero di un grafo connesso G è un sottografo B che soddisfa le seguenti proprietà: 1. B è connesso 2. contiene tutti i nodi del grafo G 3. B non ha maglie I lati di un albero di un grafo vengono chiamati rami Il numero di alberi che si possono costruire per un dato grafo connesso può essere notevole 58

30 Albero: esempi La figura riporta due alberi (B 1, B 2 ) relativi al grafo connesso G di 5 nodi ed 8 lati Grafo connesso G Albero B 1 Albero B Non è connesso Non contiene tutti i nodi Contiene una maglia 59 Coalbero (di un grafo connesso) Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che: 60

31 Coalbero (di un grafo connesso) Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che: risulta privo di nodi 61 Coalbero (di un grafo connesso) Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che: risulta privo di nodi e quasi sempre sconnesso 62

32 Coalbero (di un grafo connesso) Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che: risulta privo di nodi è quasi sempre sconnesso Tale insieme di lati prende il nome di coalbero C 63 Coalbero (di un grafo connesso) Se si considera quello che rimane togliendo un albero da un grafo connesso, si ottiene un sottografo che: risulta privo di nodi è quasi sempre sconnesso Tale insieme di lati prende il nome di coalbero C I lati di un coalbero di un grafo vengono chiamati corde 64

33 Albero e Coalbero: esempi Dato il grafo connesso G di 5 nodi ed 8 lati, la figura riporta due alberi (B 1, B 2 ) ed i relativi coalberi In figura le corde sono individuate come lati ondulati Grafo connesso G Albero B 1 + coalbero Albero B 2 + coalbero 65 Albero e coalbero: proprietà Alcuni teoremi fondamentali dimostrati nella Teoria dei Grafi assicurano che, considerando un grafo connesso G di l lati e n nodi: 1. il numero b di rami di un albero è lo stesso per tutti gli alberi, ed è uguale al numero dei nodi del grafo diminuito di un unità b= n 1 2. il numero c delle corde di tutti i possibili coalberi è dato da c = l n

34 Albero e coalbero: proprietà 3. Tagli fondamentali: considerato un albero B di un grafo connesso G e scelto un ramo b i di esso, esiste uno ed un solo taglio T i che ha come lato quel ramo e come altri lati solo corde 67 Albero e coalbero: proprietà Ad ogni ramo corrisponde un taglio fondamentale ed il numero di tagli fondamentali è uguale al numero dei rami 4 tagli fondamentali 1, C2 3, C2, C4, C5 7, C5, C6 8, C4, C5, C6 Grafo connesso G Albero B 1 + coalbero 5 nodi, 4 rami, 4 corde 68

35 Albero e coalbero: proprietà 4. Maglie fondamentali: considerato un coalbero C di un grafo connesso Ge scelta una corda c i di esso, esiste una ed una sola maglia M i che ha come uno dei suoi lati quella corda e come altri lati solo rami 69 Albero e coalbero: proprietà Ad ogni corda corrisponde una maglia fondamentale ed il numero di maglie fondamentali è uguale al numero di corde c = l-n+1 Grafo connesso G Albero B 1 + coalbero 5 nodi, 4 rami, 4 corde 4 maglie fondamentali C C C C

36 Foresta e coforesta Consideriamo un grafo sconnesso S, costituito da più grafi connessi. Per ogni sottografo connesso si può definire un albero ed il relativo coalbero L insieme di tutti gli alberi (uno per sottografo) si chiama foresta La coforesta (insieme di tutti i coalberi) è il nome che si dà all insieme di lati ottenuti togliendo dal grafo S la foresta 71 Prime definizioni della Teoria dei Grafi 72

37 Grafi orientati Un grafo è orientato quando su tutti i lati del grafo è indicato un verso arbitrario Tale verso viene utilizzato per misurare le tensioni sui lati e scrivere le KVL misurare le correnti sui lati e scrivere le KCL Così facendo su ogni lato si adotta la convenzione dei generatori 73 Grafi orientati Esempio: 74

38 Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen 75 Cosa c è nella lezione Generalità sul metodo dei Tableau sparso e dei nodi Metodo del tableau sparso Metodo dei potenziali ai nodi Esempi di applicazione del metodo dei nodi Metodo dei nodi modificato modificazione topologica modificazione basata sul principio di sostituzione 76

39 Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodi 77 Metodo del Tableau Sparso Rete di bipoli: considera come incognite tutte le l tensioni di lato e tutte le l correnti di lato Scrive: n-1 equazioni KCL (indipendenti) l -n+1 equazioni KVL (indipendenti) tutte le l equazioni costitutive Ordina le 2l equazioni in un sistema lineare che risulta con matrice dei coefficienti sparsa 78

40 Metodo dei nodi Rete di bipoli: intende ottenere un sistema di ordine ridotto: inferiore a 2l 79 Metodo dei nodi Rete di bipoli: intende ottenere un sistema di ordine ridotto: inferiore a 2l l ordine del sistema di equazioni è (n-1) 80

41 Metodo dei nodi Rete di bipoli: intende ottenere un sistema di ordine ridotto: inferiore a 2l l ordine del sistema di equazioni è (n-1) si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCL 81 Metodo dei nodi Rete di bipoli: intende ottenere un sistema di ordine ridotto: inferiore a 2l l ordine del sistema di equazioni è (n-1) si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCL questo implica si debbano scegliere ed utilizzare solo (n-1) incognite 82

42 Metodo dei nodi Rete di bipoli: intende ottenere un sistema di ordine ridotto: inferiore a 2l l ordine del sistema di equazioni è (n-1) si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCL questo implica si debbano scegliere ed utilizzare solo (n-1) incognite le incognite scelte debbono implicitamente garantire le (l -n+1) equazioni KVL 83 Metodo dei nodi Rete di bipoli: intende ottenere un sistema di ordine ridotto: inferiore a 2l l ordine del sistema di equazioni è (n-1) si scrivono esplicitamente solo le (n-1) equazioni KCL questo implica si debbano scegliere ed utilizzare solo (n-1) incognite le incognite scelte debbono implicitamente garantire le (l -n+1) equazioni KVL le equazioni scritte esplicitamente debbono tenere (implicitamente) conto delle l equazioni costitutive 84

43 Metodo dei nodi Si numerano i nodi da 0 ad n-1 Il nodo 0 è il nodo di riferimento per misurare le tensioni ai nodi vˆ vˆ = v 1 10 = v vˆ = v 5 50 Le tensioni nodali sono in tutto (n-1) e sono le incognite del problema 85 Metodo dei nodi Una tensione di lato si può sempre esprimere come la differenza di due tensioni nodali Per esempio la tensione v ij sul lato che unisce il nodo j al nodo i è espressa da v ˆ ˆ ij = vi vj v ij vˆ j vˆi 86

44 Metodo dei nodi Il set delle tensioni nodali soddisfa implicitamente le KVL: d c a b Esempio: maglia a, b, c, d v + v + v-v = a b c d v ˆ + (vˆ -v ˆ ) + (vˆ -v ˆ )-vˆ = Metodo dei nodi Ricavate le tensioni di lato come differenza di tensioni nodali, se tutti i lati sono comandati in tensione (ossia, nel caso lineare, tutti i lati abbiano rappresentazione Norton) è possibile, attraverso le relazioni costitutive, calcolare le correnti di lato e poi imporre le KCL agli (n-1 ) nodi 88

45 Metodo dei nodi KCL 0 = i + i + i ; ik jk lk Gv + G v + Gv = a + a + a ik ki jk kj lk kl ik jk lk da cui introducendo le tensioni nodali v = vˆ ˆv ; v = vˆ vˆ ; v = vˆ vˆ ; ki k i kj k j kl k l risulta: ( Gik Gjk Glk) vˆk Gv ikˆi Gjkvˆj Gv lkˆl + + = = a + a + a ik jk lk 89 Metodo dei nodi In termini di resistenze, l equazione al nodo k diviene: vˆ vˆ vˆ vˆ = a + a + a Rik Rjk R lk Rik Rjk Rlk k i j l ik jk lk 90

46 Metodo dei nodi In termini di resistenze, l equazione al nodo k diviene: vˆ vˆ vˆ vˆ = a + a + a Rik Rjk R lk Rik Rjk Rlk k i j l ik jk lk Se per esempio il nodo i coincide con quello di riferimento 0, l equazione diviene: vˆ vˆ vˆ = a + a + a R R R R R ik jk lk jk lk k j l ik jk lk 91 Metodo dei nodi Se una coppia di nodi non è collegata da nessun lato questo si può fittiziamente aggiungere con un circuito aperto Il circuito aperto ha una rappresentazione Norton che è data da un generatore di corrente con corrente nulla, in parallelo ad un resistore di conduttanza nulla 92

47 Metodo dei nodi L equazione ad un nodo generico ha un secondo membro che è costituito dalla somma algebrica dei valori dei generatori di corrente relativi ai lati (rappresentati Norton) che congiungono il nodo a tutti gli altri nodi della rete Il primo membro è costituito invece da tanti termini che hanno a fattore le diverse tensioni ai nodi vˆ vˆ vˆ vˆ = a + a + a Rik Rjk R lk Rik Rjk Rlk k i j l ik jk lk 93 Metodo dei nodi Il termine più importante è quello che ha come fattore la tensione al nodo per il quale si sta scrivendo l equazione; l altro fattore di questo termine è costituito dalla somma di tutte le conduttanze dei lati tra il nodo di cui si sta scrivendo l equazione e tutti gli altri nodi vˆ vˆ vˆ vˆ = a + a + a Rik Rjk R lk Rik Rjk Rlk k i j l ik jk lk 94

48 Metodo dei nodi Gli altri addendi al primo membro sono tutti preceduti dal segno - (meno) e sono costituiti dal prodotto della tensione di un generico nodo (diverso da quello per il quale si scrive l'equazione) e la conduttanza di collegamento diretto tra il nodo di cui si scrive la tensione ed il nodo di cui si scrive l equazione vˆ vˆ vˆ vˆ = a + a + a Rik Rjk R lk Rik Rjk Rlk k i j l ik jk lk 95 Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodi 96

49 Metodo dei nodi: Esempio Scrivere le equazioni ai nodi per la rete in figura 97 Metodo dei nodi: Esempio Numero i nodi e rappresento Norton tutti i lati: R 1 = R a // R b ; a 1 = e a /R a a 3 = e 3 /R 3 Scrivo le equazioni ai nodi, nodo 0 (zero) escluso 98

50 Metodo dei nodi: Esempio Ordino equazioni ed incognite (da 1 ad n ) come i nodi ,, 0 vˆ 1 a + a + a R1 R2 R , + +, vˆ = a a R1 R1 R3 R5 R ,, + vˆ 3 a a 3 6 R3 R3 R 4 99 Metodo dei nodi: Esempio Ottengo una matrice di sistema simmetrica, con diagonale (dominante) positiva, generalmente sparsa La matrice di sistema ed il vettore dei termini noti (generatori di corrente Norton) si scrivono per ispezione 100

51 Metodo dei nodi: Esempio Risolto per le tensioni nodali il sistema, è facile ricavare altre uscite, per esempio, la corrente i a vale: v21+ ea e a + vˆ2 vˆ1 i a = = R a R a 101 Metodo del Tableau sparso e Metodo dei nodi 102

52 Metodo dei nodi modificato Vedremo due versioni del metodo dei nodi modificato per risolvere reti con lati non rappresentabili Norton: metodo topologico metodo modificato basato sul principio di sostituzione 103 Metodo dei nodi modificato Metodo topologico la parte di rete ha un lato generatore ideale di tensione 104

53 Metodo dei nodi modificato questa parte di rete viene topologicamente modificata (fig. a destra) in modo da non alterare il comportamento globale della rete (la nuova rete ha le stesse equazioni KCL e KVL della rete di partenza), ed in modo da avere tutti i lati rappresentabili Norton 105 Metodo dei nodi modificato è possibile trovare altre trasformazioni topologiche che portano a reti di topologia più semplice 106

54 Metodo dei nodi modificato Metodo modificato basato sul principio di sostituzione il lato non Norton della rete di sinistra viene sostituito da un generatore di corrente ideale, che eroga la stessa corrente erogata dal generatore di tensione e nella rete di sinistra 107 Metodo dei nodi modificato Le equazioni ai nodi per la rete di destra sono: ˆ +,, 0 vˆ 1 a+ i R2 R4 R , + +, vˆ = 0 2 R4 R3 R4 R5 R ,, + vˆ ˆ 3 i R5 R1 R 5 108

55 La corrente i è incognita nel vettore delle incognite, a sinistra del segno di uguaglianza Metodo dei nodi modificato ˆ +,, 0 vˆ 1 a+ i R2 R4 R , + +, vˆ 2 = 0 R4 R3 R4 R5 R ,, + vˆ ˆ 3 i R R R vˆ 1 +,, 0, 1 R R R a vˆ 2, + +,, 0 R4 R3 R4 R5 R 5 0 = vˆ 3 0,,, R5 R1 R 5 0 ˆ i 109 Metodo dei nodi modificato Per bilanciare il numero di equazioni ed incognite si deve aggiungere e scrivere l equazione costitutiva del bipolo non Norton (generatore di tensione e) ,, 0, 1 R R R vˆ 1 a , + +,, 0 R R R R R vˆ ,, +, + 1 = R R R vˆ , 0, 1, 0 ˆ i e 110

56 Metodo dei nodi modificato La matrice di sistema risulta ancora simmetrica se ciascuna corrente incognita dei lati non rappresentabili Norton (corrente erogata da lati generatori di tensione) viene misurata secondo la convenzione degli utilizzatori (positiva entrante nel morsetto + convenzionale) ,, 0, + 1 R R R vˆ 1 a , + +,, 0 R R R R R vˆ ,, +, 1 = R R R vˆ , 0, 1, 0 iˆ e 111 Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen 112

57 Matrice di incidenza La matrice di incidenza serve a tradurre in forma numerica l informazione sulla topologia di una rete, quando questa deve essere analizzata da calcolatori, impiegando opportuni codici di calcolo 113 Matrice di incidenza La matrice di incidenza serve a tradurre in forma numerica l informazione sulla topologia di una rete, quando questa deve essere analizzata da calcolatori, impiegando opportuni codici di calcolo La matrice di incidenza A di un grafo orientato G con n nodi ed l lati è una matrice rettangolare di b=(n-1) righe ed l colonne 114

58 Matrice di incidenza I coefficienti a rs (r=1,n-1; s=1, l ) di A hanno valore 0, +1, oppure -1 a rs =0 se il lato s non incide sul nodo r a rs =+1 se il lato s è entrante sul nodo r a rs =-1 se il lato s è uscente dal nodo r 115 Matrice di incidenza - esempio A = Grafo orientato di 4 nodi e 6 lati a rs =0 se il lato s non incide sul nodo r a rs =+1 se il lato s è entrante sul nodo r a rs = -1 se il lato s è uscente dal nodo r 116

59 Proprietà della matrice di incidenza Con riferimento al grafo orientato, definiamo due vettori colonna di dimensione l (numero dei lati): il vettore v delle tensioni di lato il vettore i delle correnti di lato v i v1 i1 v 2 i 2 = ; = vl il 117 Proprietà della matrice di incidenza Sempre con riferimento al grafo (orientato), definiamo inoltre il vettore colonna delle tensioni nodali ˆ, di dimensione n-1 (= numero dei nodi-1): v vettore delle tensioni nodali v ˆ vˆ vˆ 1 2 = vˆn 1 118

60 Proprietà della matrice di incidenza La legge di Kirchhoff per le correnti e la teoria dei grafi assicurano che il prodotto della matrice di incidenza A per il vettore delle correnti i è nullo A i =0 119 Proprietà della matrice di incidenza La legge di Kirchhoff per le correnti e la teoria dei grafi assicurano che il prodotto della matrice di incidenza A per il vettore delle correnti i è nullo A i =0 i i2 A i = = ; Ai -i1+ i-i 2 5 = 0 + i1 i3 + i6 = 0 -i2 + i3 + i4 = 0 i6 120

61 Proprietà della matrice di incidenza La teoria dei grafi assicura che il vettore v delle tensioni sui lati è uguale al prodotto della trasposta della matrice di incidenza A t per il vettore delle tensioni nodali 121 Proprietà della matrice di incidenza Av t v 1 vˆ v 2 vˆ 2 ˆ = = + vˆ v vˆ1 + ˆv2 = v1 ˆ ˆ v1 v3= v2 -vˆ2 + vˆ3= v3 vˆ 3 = v4 -vˆ 1 = v5 vˆ 2 = v6 122

62 t Proprietà della matrice di incidenza L equazione ˆ = sintetizza, anche se in modo ridondante, tutte le equazioni di Kirchhoff indipendenti delle tensioni Av v Av t ˆ v5 + v6 = v1 v5 v4 = v2 -v6 + v4 = v3 123 Metodo dei nodi e Teorema di Tellegen 124

63 Teorema di Tellegen Il teorema di Tellegen è di importanza fondamentale in quanto esprime il principio di conservazione delle potenze istantanee La dimostrazione del teorema di Tellegen, se svolta sfruttando la matrice di incidenza e le sue proprietà, risulta di molto semplificata 125 Teorema di Tellegen Avendo introdotto la matrice di incidenza A si ha: = ; Ai 0 t ˆ = il trasporto della seconda equazione t t porge = ˆ = 0 v Av vi t Il risultato = vi 11 + vi vi ll = 0 definisce il teorema di Tellegen, che assicura l annullarsi della potenza istantanea uscente da tutti i bipoli di una data rete vi ( ) v t = ( ˆ ) t 126