Sistemi d equazioni lineari

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1 Introduzione Introduzione Sia dato il seguente sistema d equazioni: S S S S Come si risolve un sistema... come si risolve? Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 1 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 2 Introduzione S S S S La soluzione esiste se non c è parallelismo fra le varietà corrispondenti; il parallelismo lo si rileva se esiste una dipendenza lineare fra i coefficienti e non fra i termini noti; la dipendenza lineare si accerta attraverso il rango delle matrici; la soluzione s ottiene con il calcolo matriciale. Sia dato il sistema Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 3 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 4

2 Si risolve la prima equazione per x e si sostituisce nelle altre..... e si risolve per y Si riordina... Si sostituisce l y trovata nelle precedenti equazioni... Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 5 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 6 Sia dato il sistema... e si trova la soluzione 1) Si porta tutto al primo membro col segno cambiato Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 7 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 8

3 2) Si portano al secondo membro i termini noti, col segno cambiato 4) Si sommano i termini simili e s incolonnano secondo le incognite 3) S'aggruppano i termini relativi alle stesse incognite e si sommano i termini noti Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 9 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV ) Si risolve per x la prima equazione e si sostituisce alla x nelle altre due 6) Si riordina Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 11 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 12

4 7) Si risolve la seconda equazione rispetto ad y e si sostituisce nella terza 8) Si riordina Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 13 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV ) Si risolve la terza equazione rispetto alla z e si sostituisce nelle precedenti 10) Si risolve la seconda equazione rispetto ad y e si sostituisce nella prima Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 15 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 16

5 11) Si risolve per x e si termina In sintesi: 1) s organizza il sistema mettendo tutti i termini noti a destra, tutti termini con le incognite a sinistra, raggruppandoli ed ordinandoli per colonna; 2) si risolve ogni equazione per un incognita e si sostituisce nelle equazioni successive; 3) alla fine, dall ultima, si riportano i valori trovati nelle equazioni precedenti e si risolvono una ad una. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 17 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV perché il sistema non ha soluzioni... ma le cose possono andare strane... perché non si possono isolare le incognite... e la soluzione resta funzione di z. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 19 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 20

6 Sia dato il sistema d equazioni A partire dal sistema si costruisce la matrice dei coefficienti Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 21 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 22 Siano rispettivamente B ed X le matrici colonna (dunque vettori) dei termini noti e delle incognite: Il sistema può essere allora scritto come prodotto tra matrici A. X = B da cui, supponendo A invertibile, risulta X = A -1. B. Per questo però occorre che A sia quadrata e con determinante non zero (Regola di Cramer). Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 23 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 24

7 Nota: Questo corrisponderebbe a dire che il sistema ha tante equazioni quante incognite e che non esistono relazioni lineari fra i sottospazi corrispondenti alle varietà lineari considerate. Dunque la soluzione dovrebb essere un punto.... ma in tutti gli altri casi? Per risolvere un sistema qualunque, occorre innanzitutto verificare se il sistema ammette soluzioni, cioè se 1) Non esistono parallelismi fra le varietà corrispondenti alle equazioni; 2) le equazioni prive di relazioni lineari siano in numero non superiore a quello delle incognite. Come si possono verificare queste condizioni? Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 25 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 26 Verifica della condizione 1). Due varietà qualunque son parallele se i due sottospazi corrispondenti son uno contenuto nell altro, o coincidenti. Allora esiste una relazione lineare fra i coefficienti d alcune equazioni (linee della matrice A dei coefficienti). L esistenza di tale relazione s appura cercando il rango r(a) di A. Naturalmente, r(a) min (p,n). Se la stessa relazione sussiste anche per i termini noti (linee corrispondenti della matrice B), anche le varietà son una contenuta nell altra o coincidenti. Allora... le equazioni corrispondenti alla varietà contenente l altra possono essere ignorate, salvo attribuire ad esse le stesse soluzioni che saranno trovate. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 27 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 28

8 La matrice Poiché A è una sottomatrice di S, allora r(a) r(s) min (p,n+1) Se le stesse relazioni lineari esistenti in A esistono anche in B, allora esistono anche in S, dunque A ed S hanno lo stesso rango. si chiama matrice del sistema, perché ne sintetizza tutti i valori numerici. Se non esistono in B, allora r(a) < r(s), ci sono varietà parallele, dunque non esistono soluzioni. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 29 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 30 A partire dal sistema d equazioni Teorema (di Rouché-Capelli). Un sistema d equazioni lineari ammette soluzioni se e solo se la matrice dei coefficienti e quella del sistema hanno lo stesso rango.... ma come si trovano le soluzioni quando esistono? si calcoli il rango r delle matrici A ed S. Nota: se n p e r(a) = p, non occorre calcolare il rango di S. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 31 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 32

9 Perché? Le equazioni corrispondenti alle righe l 1, l 2,..., l p-r si ignorano, le colonne delle incognite k 1, k 2,...,k n-r vanno a far parte dei termini noti col segno cambiato. Il sistema diventa quindi: Si fissi l attenzione su una sottomatrice M di A d ordine r, tale che det(m) 0. Siano i 1, i 2,..., i r le righe di A che compongono M, j 1, j 2,..., j r le colonne di M, l 1, l 2,..., l p-r le righe restanti e k 1, k 2,..., k n-r le colonne restanti. ovvero Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 33 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 34 Come si risolve un sistema Come si risolve un sistema la cui soluzione è La soluzione è una varietà lineare di dimensione n - r corrispondente al numero delle incognite poste dal lato dei termini noti. 1) Ordinare il sistema e scriverlo in forma matriciale AX = B 2) Verificare che rango A = rango S, (ovvero per quali condizioni questo succede) Se il rango è diverso, non ci son soluzioni, dunque STOP. Se il rango è uguale 3) Si cerca una sottomatrice M di A di rango massimo 4) Si ignorano le equazioni esterne ad M 5) Si riduce X a X 1 composto dalle sole incognite con coefficienti in M Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 35 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 36

10 Come si risolve un sistema 6) Si sottraggono da A e B le parti d'equazione corrispondenti alle incognite non in X 1 ottenendo B 1 Il sistema è allora MX 1 = B 1 7) Si risolve X 1 = M -1 B 1 o 1: Sia dato il sistema di equazioni: Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 37 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 38 si scrive la matrice dei coefficienti e se ne calcola il determinante Siano la matrice delle incognite X Poiché il determinante di A vale -18, e quindi anche il rango di S è 3, è diverso da zero, il sistema quindi è compatibile e si può calcolare l'inversa A -1. la matrice dei termini noti B Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 39 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 40

11 quindi A. X = B si scrive Si costruisce la matrice trasposta di A e la sua matrice aggiunta A a Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 41 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 42 Pertanto l'inversa A -1 è: Da essa, moltiplicandola per B s ottiene che è la matrice colonna soluzione del sistema, corrispondente ad un punto. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 43 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 44

12 o 2: Sia dato di avere il sistema di equazioni: Occorre ora verificare che il sistema sia compatibile. Le matrici A e B sono Esso innanzitutto va riordinato: Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 45 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 46 Si trova una sottomatrice M di rango 3 della matrice A e la S è dunque, essendo M sottomatrice anche di S, A ed S hanno rango massimo ed uguale a 3. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 47 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 48

13 Il sistema diventa allora: si può scrivere il sistema come M X 1= B 1, da cui X1 = M -1 B 1 Considerando la matrice si calcola M -1. La matrice M t è Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 49 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 50 L'aggiunta (M t ) a è La soluzione pertanto è e quindi l'inversa è corrispondente ad una varietà lineare di dimensione 1 (una retta). Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 51 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 52

14 o3: Sia dato il sistema d equazioni: Le matrici A e B sono Occorre verificare che il sistema è compatibile. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 53 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 54 e la S è Anche S ha rango 2, perché e le ultime due equazioni si ignorano. Risulta non nullo, dunque A ha rango 2. Il sistema si riduce quindi a Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 55 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 56

15 Risulta o 4: Discutere ed eventualmente risolvere il seguente sistema lineare: e dunque la soluzione del sistema è corrispondente ad un punto. Il sistema è definito a meno del parametro k. Pertanto la risolubilità del sistema dipende dal valore che il parametro assume. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 57 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 58 Le matrici A e B sono risulta 2k - 3 = 0 k² - 1 = 0 3k - 2 = 0 da cui dunque si deve vedere se il rango di A è 2: da Poiché la matrice dei coefficienti ha rango 2, perché il sistema sia risolubile occorre che sia Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 59 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 60

16 Sviluppando il determinante di S, Per k = 1, il sistema diventa Per avere det S = 0 dev'essere k = 1. Pertanto il sistema ammette soluzioni solo in questo caso. con la terza equazione uguale alla prima, che quindi si può ignorare. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 61 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 62 Il sistema M X = B 1 diventa con det M = -1 e la soluzione è corrispondente ad un punto. Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 63