Campi Armonici e Onde Piane

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1 Campi Armonici e Onde Piane 1

2 Campi Armonici Le funzioni temporali relative alle grandezze che definiscono un campo dipendono dalle funzioni delle sorgenti e. In ingegneria le funzioni sinusoidali nel tempo hanno una larga applicazione, infatti: tutte le funzioni periodiche nel tempo possono essere sviluppate in serie di Fourier di componenti armoniche sinusoidali le funzioni transitorie non periodiche possono essere espresse come integrali di Fourier. Poiché le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali lineari, le variazioni sinusoidali nel tempo delle funzioni sorgenti per una data frequenza, produrranno variazioni sinusoidali di തE e ഥH con la stessa frequenza in regime permanente. J

3 Campi Armonici Per le funzioni sorgenti con una dipendenza dalla variabile tempo arbitraria, i campi elettrodinamici possono essere determinati in funzione di quelli generati dalle componenti alle diverse frequenze delle funzioni sorgenti. Per i sistemi lineari, l applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti consentirà di determinare il campo totale dovuto ai contributi di tutte le componenti. I campi armonici nel tempo sono i campi che variano con legge periodica sinusoidale. Le grandezze che li caratterizzano sono convenientemente espresse con la notazione fasoriale. Per esempio un campo E armonico nel tempo riferito a una cosinusoide, può essere espresso come: dove E E( x, y, z, t) Re E( x, y, z) e jt é un fasore definito in direzione modulo e fase. 3

4 I fasori sono grandezze complesse per cui: se il campo E (x,y,z,t) é rappresentato da un fasore E(x,y,z), allora t Campi Armonici E(x,y,z,t) si potranno rappresentare rispettivamente con i fasori: e E(x,y,z,t)dt j E(x,y,z) e E(x,y,z) / j Derivate e integrali temporali di ordine superiore potranno essere rappresentati rispettivamente moltiplicando e dividendo il fasore E(x,y,z) per potenze superiori di j. 4

5 Equazioni di Maxwell fasoriali Le equazioni di Maxwell per le grandezze armoniche nel tempo in termini di fasori di campo,h e fasori di sorgente,j in un mezzo lineare, isotropo e omogeneo: E δ B E δ t E jb jμh D H J jd J jεe H J t D E / B H essendo D εe 5

6 Equazioni di Helmholtz non omogenee Le equazioni delle onde armoniche nel tempo per il potenziale scalare V e il potenziale vettore diventano: A A A με μj A με jω A μj t ρ V ρ V με jω V V με ε t ε ω con jω ω με ω k u esse sono le equazioni di Helmholtz non omogenee ρ V k V essendo k il numero d'onda ε A k A μj k ω με ω u 6

7 Equazioni di Helmholtz non omogenee La condizione di Lorentz per i potenziali: diventa: A jv. A V με t Le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee si ottengono da quelle dei campi non armonici considerando che le sorgenti e Jҧ sono sinusoidali e usando notazione fasoriale: R ωr ρt R/u ρ cos ω t ρ cos ωt ρ cos ωt kr u u R ωr J t R/u J cos ω t J cos ωt J cos ωt kr u u ω k ω k u u ρ cos ωt kr Re ρ e e si associa il fasore ρ e Jsin ωt kr = Re J e e si associa il fasore J e jkr j t jkr jkr j t jkr 7

8 Soluzioni delle equazioni di Helmholtz non omogenee le espressioni dei potenziali scalare e vettoriale ritardati dovute alle sorgenti armoniche diventano: 1 ρ t R / u V R, t dv ' R 4πε V ' jkr 1 ρe V R, t dv ' 4πε R V ' A R,t μ 4π V' J t R/u dv' R A μ 4π Je R R,t dv' V' jkr 8

9 Soluzioni delle Equazioni di Helmholtz non omogenee Poiché lo sviluppo in serie di Taylor del fattore esponenziale é: jkr k R e 1 jkr... u dove k può essere espresso i funzione della lunghezza d onda f R f del mezzo: k quindi se kr 1, u o se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza d onda, jkr e può essere approssimato a 1. Quindi se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza d onda, le formule si riducono a quelle valide per le condizioni quasi statiche: ΔV 1 4πε ρ R R,t dv' AR,t dv' V' μ 4π V' J R 9

10 Procedura generale in presenza di sorgenti La procedura formale per la determinazione dei campi elettrici e magnetici dovuti alle distribuzioni di corrente e cariche armoniche é la seguente: 1) determinazione dei fasori V(R) e A R dalle equazioni: jkr 1 ρe V R, t dv ' 4πε R AR,t dv' V ' μ 4π V' Je R jkr ) calcolo dei fasori: E R V jωa e BR A 3) calcolo dei valori istantanei con riferimento al coseno :, j t e, jt e e E R t E R e B R t B R e Il grado di difficoltà del problema dipende dalla difficoltà di risoluzione delle integrazioni al punto 1) 1

11 Campo armonico in un mezzo non conduttore In un mezzo semplice privo di perdite (non conduttore) e di cariche libere: ρ, J, Le quattro equazioni di Maxwell si riducono alle seguenti: E jω H E H jω E H Le equazioni possono essere combinate per ottenere equazioni del secondo ordine alle derivate parziali espresse in funzione di E e H e si ottengono così le equazioni di Helmholtz vettoriali omogenee: E k E H k H con k ω u ω 11

12 Campo armonico in un mezzo non conduttore Infatti dalla prima equazione di Maxwell: E ( j H ) E j H j j E E E Dalla seconda: H = ( j E) H j j H = j H H H Ricordiamo che: A A A se A A A 1

13 Campo armonico in un mezzo conduttore Si noti che se E,H sono soluzioni delle equazioni di Maxwell in un mezzo semplice caratterizzato da e, allora anche E',H' lo sono se: E' ηh (***) dove é l impedenza intrinseca del mezzo. Infatti é facilmente dimostrabile che le equazioni di Maxwell per un mezzo semplice privo di sorgenti, sono invarianti per le trasformazioni lineari specificate nelle relazioni (***). Questa é una affermazione del principio di dualità. e Questo principio é una conseguenza della simmetria delle equazioni di Maxwell in un mezzo semplice privo di sorgenti. H' - E η 13

14 Campo armonico in un mezzo conduttore Se il mezzo ha perdite (conduttore, ), circolerà una corrente e la seconda equazione di Maxwell diventa: H J jd con D E H jω E jωε E jωc E jω F con c ε ' jε '' ε - j ω m le altre equazioni rimangono invariate, quindi la permettività in questo caso diventa complessa. Analogamente occorre tener conto della componente sfasata della magnetizzazione dovuta alla influenza di un campo magnetico esterno variabile nel tempo, per cui alle alte frequenze: ' j '' J 14 E

15 Perciò, il valore reale di k in un conduttore, o in dielettrico con perdite, é un numero complesso: Il rapporto é chiamata tangente di perdita perché é una misura della perdita di potenza nel mezzo: c Campo armonico in un mezzo conduttore ε" ε' è chiamato angolo di perdita k c ω c ε" tan δ c ε' ωε Si può dimostrare che: tan c l energia dissipata/ per ciclo della grandezza di campo l energia elettrostatica accumulata/ per ciclo della grandezza di campo 15

16 Campo armonico in un mezzo conduttore Sulla base della espressione di εሶ c un mezzo é detto buon conduttore se >> un mezzo é detto buon isolatore se >>. Quindi, essendo =f, un materiale può essere un buon conduttore alle basse frequenze, ma può avere le proprietà di un dielettrico con perdite, alle frequenze molto alte. Esempio: terra umida, ε r =1, = 1 - [S/m] tan δ tan δ c c ε'' σ σ ε' ωε ωε ε π f. r per i segnali con f 1kHz è un buon conduttore per i segnali con f 1GHz diventa un isolatore 16

17 Campo armonico in un mezzo conduttore Su tutti i punti di un campione di materiale caratterizzato da una conducibilità e una permettività εሶ c, un campo തE induce: sia un vettore spostamento ഥD che comporta un energia elettrostatica accumulata sia una densità di corrente ҧ J che comporta una dissipazione di potenza per effetto joule D J E εe c E se ωε >> un campo elettrico തE induce nel materiale un vettore spostamento ഥD prevalente rispetto alla densità di corrente J, ҧ per cui prevale il comportamento della materia come isolante che consente un accumulo di energia elettrostatica. se ωε << un campo elettrico തE induce nel materiale una densità di corrente Jҧ prevalente rispetto al vettore spostamento ഥD, per cui prevale il comportamento della materia come conduttore con una dissipazione di energia legata alla resistività del mezzo. 17

18 Campo armonico in un mezzo conduttore Si possono evidenziare due punti fondamentali: le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz non pongono alcun limite alla frequenza delle onde. Lo spettro elettromagnetico é stato esaminato sperimentalmente per valori della frequenza che vanno da frequenze molto basse alle frequenze radio, televisione, microonde, infrarossi, alla luce visibile, alla ultravioletta, sino ai raggi X e gamma e il campo delle frequenze gamma supera 1 4 Hz. Tutte le onde elettromagnetiche, per ogni campo di frequenza, si propagano in un mezzo con la stessa velocità, legata alla natura del mezzo: 1 u με 18

19 Spetro elettromagnetico Si possono evidenziare tre punti fondamentali: le equazioni di Maxwell e quindi le equazioni di Helmholtz sono valide per onde di frequenza qualsiasi. Esse sono state verificate sperimentalmente per tutto lo spettro elettromagnetico ossia per valori della frequenza che vanno da frequenze molto basse, sino ai raggi X e gamma ( f >1 18 Hz). In un mezzo privo di perdite tutte le onde elettromagnetiche di un qualsiasi campo di frequenza, si propagano con la stessa velocità u che dipende solo dalla natura del mezzo: u 1/ In un mezzo con perdite, u dipende anche dalla frequenza e anche dalla conducibilità del mezzo ; u è un operatore complesso: u 1 19

20 Spetro elettromagnetico rays X rays Ultraviolet Visible light Infrared Mm wave EHF Extremely high frequency SHF Super high frequency UHF Ultra high frequency VHF Very high frequency HF High frequency MF Medium frequency LF Low frequency VLF Very low frequency ULF Ultra low frequency SLF ELF Super Low frequency Extremely low frequency VL

21 Spetro elettromagnetico 1

22 Onde piane non dissipative Nei mezzi non conduttori privi di perite (=), in assenza di sorgenti (=, J=) e sotto l ipotesi di regime sinusoidale, l equazione d onda nello spazio libero in assenza di sorgenti diventano l equazioni del vettoriali di Helmholtz: E k E H k H k ω με ω u rad m Dove, k é il numero d onda. Nello spazio libero possiamo assumere k=k (free space wavenumber =ω μ ε ). Esse servono per determinare la distribuzione del campo nei dielettrici perfetti e nel vuoto. I dielettrici sono i materiali principalmente utilizzati per la propagazione e radiazione ( trasporto di energia) delle onde elettromagnetiche.

23 Onde piane non dissipative L onda elettromagnetica piana é una particolare soluzione della equazione di Maxwell, essa costituisce una buona approssimazione delle onde elettromagnetiche reali. In molte applicazioni pratiche, le caratteristiche delle onde piane uniformi sono particolarmente semplici e il loro studio è fondamentale sia dal punto di vista teorico che pratico. Inoltre, onde più complesse possono essere considerate come formate dalla sovrapposizione di onde piane. Si definisce fronte d onda (o superficie d onda) luogo geometrico identificato dei punti del mezzo che vibrano concordemente. Dunque in un dato istante, lungo un fronte d onda la grandezza di campo presenta la stessa fase. I fronti d onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda e sono utili per visualizzare i fenomeni di trasmissione delle onde. 3

24 Onde piane non dissipative Tutti i punti alla stessa distanza dalla sorgente sono investiti contemporaneamente dall'onda e si muovono in sincronia tra di loro. I fronti d onda possono essere sono definiti in base alla loro forma, per esempio si possono avere fronti d onda piani, sferici così via. Fronte d onda piano Fronte d onda sferico Ad ogni fronte d onda è possibile associare il raggio che è una linea ortogonale al fronte d onda in un dato punto, che rappresenta in quel punto, la direzione di propagazione dell onda e dell energia ad essa associata. 4

25 Onde piane non dissipative Un onda elettromagnetica è piana quando il suo fronte d onda è un piano. Le onde elettromagnetiche piane sono caratterizzate da grandezze di campo E e H sempre e ovunque in fase su piani perpendicolari alla direzione di propagazione, cioè, per il sistema di riferimento scelto, per ogni valore di z, i campi : E e H in fase nel tempo in quadratura nello spazio Il raggio d onda è parallelo alla direzzione di propagazione dell onda Fronti d onda piani Raggi d onda x E z H y z è direzione di propagazione delle onde 5

26 Onde piane non dissipative Considerando un onda piana uniforme, che si propaga nel vuoto, caratterizzata da un campo തE z = തE x uniforme (ampiezza e fase uniforme) sulle superfici piane perpendicolari a z, la I equazione vettoriale di Helmholtz diventa: E k E k E x x y z ma essendo: E x x Ex e y E z x k E x essa é una equazione differenziale ordinaria poiché dipende solo da z. 6

27 Onde piane non dissipative La soluzione della equazione: é : x x jkoz E z E z E z E e E e o jk z E + e E - sono costanti arbitrarie che devono essere determinate con le condizioni al contorno. Usando la funzione cosωt come riferimento e assumendo E + costante reale ( fase = per z = ) si ha: jt jωtk oz E z,t Re E z e Re E z e x x E cos(ω t k z) E z x k E x V m Per cui in un dato istante t, nello spazio E + (z,t) varia come una cosinusoide con una ampiezza massima E +. Per tutti gli istanti successivi le curve relative avranno un andamento identico, 7 ma traslano nella direzione positiva di z. o

28 Onde piane non dissipative Per determinare la velocità di propagazione si consideri il fatto che la fase istantanea è costante in ciascun piano normale alla direzione z di propagazione (definizione di fronte d onda), per cui: (t-k o z) =A con A costante. Lo spazio percorso è: t A z k Quindi velocità di propagazione dell onda u p (c nel vuoto): u p dz dt d t A k dt ω k 1 μ ε m s πf rad dove k c c m k numero d onda, misura il numero di lunghezze d onda in un ciclo completo. 8 c 31 8

29 Onde piane non dissipative x z, E cos(k z) t E t > Onda identica viaggiante nella direzione positiva z 9

30 Analogamente, relazione : Onde piane non dissipative E x si può verificare che il secondo termine della jko z jko z z E z E z E e E e x x rappresenta una onda viaggiante cosinusoidale nella direzione - z con la stessa velocità c. o Si consideri per ora solo l onda diretta nella ipotesi che E sebbene quando sono presenti delle discontinuità nel mezzo, devono essere considerate anche le onde riflesse viaggianti nella direzione opposta. 3

31 Onde piane non dissipative Il campo magnetico associato relazione: E ഥH può essere determinato dalla j H a x a y a z E jω H y y z E (z) dalla quale si ottengono le seguenti relazioni, dove la compomente nella direzione y risulta l unica componente diversa da zero: z 1 Ex H (z) a y H y a j z y y H x E z direzione di propagazione delle onde z 31

32 Quindi: H Onde piane non dissipative y jk o z Ee z 1 Ex 1 j z j z 1 k 1 j jkex z Ex z Ex z con è l impedenza intrinseca dello spazio libero. Essendo un numero reale H y z risulta in fase con E x z e si può scrivere l espressione di H come: E A H z,t a H z,t a H z e a ωt k z jωt y y Re y cos y y η m Inoltre risulta che H é perpendicolare ad E e che entrambe sono normali alla direzione di propagazione. 3

33 Onde piane non dissipative Campi e di un onda piana uniforme per t= E H 33

34 Effetto Doppler Quando c é un movimento relativo tra la sorgente armonica nel tempo e un ricevitore, la frequenza dell onda intercettata dal ricevitore tende ad essere diversa da quella emessa dalla sorgente. Questo fenomeno é noto come effetto Doppler, esso si manifesta in acustica come nell elettromagnetismo. Si assuma che la sorgente T (Trasmettitore) di un onda armonica nel tempo di frequenza f si muova con velocità u con una deviazione di un angolo rispetto alla direzione della congiungente Trasmettitore- Ricevitore. T u r R T ut T t = emettitore in T t = t emettitore in T H r u r R 34

35 La frequenza dell onda ricevuta da R, se </, per la condizione (u/c) << 1 é: Per = Effetto Doppler f u ' f 1 cos c la frequenza di ricezione di R é maggiore della frequenza di trasmissione quando T si muove verso R mentre la frequenza di ricezione di R é minore della frequenza di trasmissione quando T si muove allontanandosi da R ( = ). Risultati simili si ottengono se R si muove e T é fissa. L effetto Doppler é alla base del funzionamento del radar Doppler usato dalla polizia per valutare la velocità di un veicolo. 35

36 Onde elettromagnetiche trasversali Un onda piana uniforme caratterizzata da E a xe x che si propaga nella direzione + z è associato a un campo magnetico H a yh y. Quindi e sono perpendicolari uno con l altro ed entrambi sono trasversali alla direzione di propagazione. Le grandezze di campo vettoriali sono funzioni della sola distanza z e quindi variano lungo un singolo asse di coordinate. Questo è un caso particolare di onda trasversale elettromagnetica (transverse electromagnetic wave: TEM wave). E H Un' onda trasversale è un onda in movimento che è composta da oscillazioni che avvengono perpendicolari alla direzione del trasferimento di energia. 36

37 Onde elettromagnetiche trasversali Si considera ora la propagazione di un onda piana uniforme lungo una direzione arbitraria di versore തa n, che non coincide necessariamente con un asse delle coordinate. L intensità del fasore campo elettrico per un onda piana uniforme che si propaga nella direzione generica possiamo scriverla anche come: jk y (,, ) jkxx E x y z E e e y e jkzz o dove k a x k x a y k y a z k z ka n è chiamato vettore d onda E R a x x a y y a z z un generico raggio a partire dall origine La relazione precedente può essere scritta in forma compatta: E( R ) E e E e m jk R jk an R V 37

38 Onde elettromagnetiche trasversali x Piano a fase costante തa n direzione di propagazione dell onda y a n R z si dimostra che E an 1 H a E e -jka n R n R Perciò la direzione di propagazione e E sono perpendicolari. Quindi, in un onda piana uniforme che si propaga in una direzione arbitraria തa n, il campo elettrico ഥE e il campo magnetico ഥH sono perpendicolari tra di loro ed entrambi normali alla direzione di propagazione dell onda. 38

39 Polarizzazione delle onde piane La polarizzazione di un onda piana uniforme, indica la direzione dell'oscillazione del vettore campo elettrico durante la propagazione dell'onda nello spazio-tempo. Perciò descrive come variano l ampiezza e la fase del vettore intensità campo elettrico തE in un dato punto dello spazio, al variare del tempo. Di conseguenza indica anche come il campo magnetico ഥH oscilla durante la propagazione dell onda. Le onde elettromagnetiche hanno polarizzazione lineare, circolare ed ellittica in base al fatto che l estremità del vettore campo elettrico in ogni punto dello spazio, dove avviene la trasmissione, si muova su una retta, su un cerchio o su un ellisse. Data la linearità dell equazione d onda lo studio della polarizzazione di una onda piana sarà sviluppato considerando l onda come la sovrapposizione di due onde polarizzate 39 linearmente.

40 Polarizzazione delle onde piane Onda linearmente polarizzata (polarizzata in un piano) Se il vettore campo elettrico ഥE oscilla sempre lungo la stessa direzione si dice che l onda è polarizzata in un piano o linearmente polarizzata. Si realizza questa condizione quando tutte le onde sovrapposte hanno il campo elettrico nella stessa direzione, oppure quando i diversi campi elettrici hanno differenti direzioni spaziali, ma esattamente la stessa sfasamento temporale. Onda polarizzata ellitticamente Se si ha la sovrapposizione di due onde piane uniformi con la stessa frequenza, ma con differenti fasi, ampiezze e orientazioni dei vettori di campo elettrico, la combinazione che ne risulta si dice essere un onda polarizzata ellitticamente. 4

41 Se il vettore dell onda piana è fissato nella direzione x : E a xe dove E può essere positivo o negativo, l onda è detta polarizzata linearmente nella direzione x. Una descrizione separata del campo magnetico non è necessaria, poiché la direzione di è legata a quella del campo elettrico. x H Polarizzazione lineare E H y E Se invece la direzione di dell onda piana ഥE in un dato punto non varia nel tempo, ma è orientata lungo una generica direzione il campo si può considerare come la sovrapposizione di due onde 41 lineari che si propagano nella direzione z. E z direzione di propagazione delle onde z H

42 Se E e E 1 sono in quadratura nello spazio ma in fase nel tempo, il campo risultante sarà polarizzato linearmente lungo una piano: Il piano è inclinato di un angolo tan Polarizzazione lineare E z t E t kz E t kz (, ) a x 1 cos( ) a y cos( ) E(, t) a xe a E cost 1 y 1 L espressione istantanea di തE per z = è: E E 1 y P 1 Per t= L estremità di തE(,t) sarà nel punto P 1 la sua ampiezza decrescerà verso zero per tt/4. Dopodiché, തE(,t) inizia ad aumentare di nuovo in direzione opposta, per tt/ തE(,t) tenderà al punto P. P E E 1 4 x

43 Polarizzazione lineare Variando le ampiezze delle due onde componenti è possibile ottenere una polarizzazione lineare con un angolo di deviazione θ qualsiasi rispetto all asse delle x, essendo: Nel caso generale E e E 1 sono in quadratura nello spazio ma hanno ampiezza diversa E E 1 e possono avere una differenza di fase arbitraria non necessariamente nulla o multipla di /. La loro somma തE sarà: tan polarizzata ellitticamente 1 E E gli assi principali dell ellisse di polarizzazione non coincideranno con gli assi delle coordinate. 43 1

44 Polarizzazione lineare Polarizzazione lineare: Si ottiene dalla composizione di due onde polarizzate linearmente in due piani ortogonali (x= e y=) temporalmente in fase. L onda risultante è ancora un onda polarizzata linearmente con piano di vibrazione obliquo, ovvero risulta essere obliqua sul piano x-y quando l onda stessa viaggia lungo la direzione z. θ 44

45 Polarizzazione ellittica Se invece la direzione di dell onda piana ഥE in un dato punto varia nel tempo, il campo si può considerare come la sovrapposizione di due onde lineari che si propagano nella direzione z: 1. E 1 polarizzata nella direzione x di ampiezza E 1 e. E polarizzata nella direzione y (in quadratura nello spazio) e in ritardo di 9 nel tempo, di ampiezza E. In notazione fasoriale possiamo scrivere: E( z) a E ( z) a E ( z) a E e a ( j) E e jkz x 1 y x 1 y La corrispondente espressione nel dominio tempo sarà: jkz jt x 1 y jt E( z, t) Re E(z) e Re a E z a j E z e a xe1 cos( t kz) a ye cos( t kz ) 45

46 Polarizzazione ellittica Per studiare la variazione della direzione di തE in un punto dello spazio al variare di t, per semplicità possiamo considerare il punto per il quale z = : E(, t) a E (, t) a E (, t) a E cost a E sint x 1 y x 1 y Al variare di t da a, l estremità del vettore തE percorre un luogo ellittico in senso antiorario. Se E 1 =E sono l ellisse si trasforma in una circonferenza. Quindi il campo elettrico തE, ottenuto come la somma di due onde polarizzate sfasate di 9 gradi sia nello spazio che nel tempo, è polarizzato ellitticamente se E E 1 polarizzato circolarmente se E = E 1. 46

47 Polarizzazione ellittica All istante t= All istante t = Τ T 4 E(,) a E cos a E sin a E x 1 y x 1 E(, t) a E cos a E sin a E x 1 y y Il campo തE ruota con velocità angolare in senso antiorario formando una circonferenza se E 1 =E, altrimenti si ha un ellisse. Questo è valido anche per tutti i punti con z> E y T E(, ) a 4 E 1 y E E(,) a x E x 1 E y T E(, ) a 4 E 1 y E E(,) a x E x 1 47

48 Polarizzazione ellittica Quando le dita della mano destra seguono la rotazione di തE, il pollice indica la direzione della propagazione dell onda. Perciò l onda: x y E( z, t) a E1 cos( t kz) a E cos( t kz ) È un onda polarizzata circolarmente positiva o destrorsa. Se E 1 (z) è sfasata nel tempo di 9 in anticipo rispetto a E 1 (z): E( z) a xe e a ( j) E e jkz 1 y (, ) a x 1 cos( ) a y cos( ) E(, t) a xe cost a je sint 1 y anche in questo caso തE risulta ellitticamente polarizzato e ruota in senso orario con velocità angolare -. Se E = E 1 l onda è polarizzata circolarmente negativa o sinistrorsa. jkz E z t E t kz E t kz 48

49 Polarizzazione ellittica Onda polarizzata elliticamente negativa o sinistrorsa (direzione della propagazione entrante nel foglio) Onda polarizzata elliticamente positiva o destrorsa (direzione della propagazione uscente nel foglio) Agendo sullo sfasamento di E rispetto a E 1 si può invertire il senso di propagazione dell onda. 49

50 Polarizzazione circolare Polarizzazione circolare: Si ottiene dalla composizione di due onde sfasate temporalmente di π/, polarizzate linearmente su due piani ortogonali (x= e y=). L onda risultante è un onda polarizzata circolarmente in senso orario. Si noti che le ampiezze delle due componenti E x e E x sono uguali. 5

51 Polarizzazione ellittica Polarizzazione ellittica : Si ottiene dalla composizione di due onde sfasate temporalmente di π/ polarizzate linearmente in due piani ortogonali. L onda risultante è un onda polarizzata ellitticamente in senso orario. In questo caso le ampiezze delle due componenti E x e E x non sono uguali. 51

52 Polarizzazione: esempi x y Polarizzazione ellitica x z y Polarizzazione lineare -- onda componente polarizzata nella dir. x -- onda componente polarizzata nella dir. y z -- onda risultante polarizzata 5

53 Polarizzazione: esempi Proiezioni (color viola) sul piano x-y dello spostamento dell estremo del vettore di campo E al variare del tempo per i 3 tipi di polarizzazione z z z x y x y x y 53

54 Polarizzazione delle onde radio Le onde elettromagnetiche irradiate da stazioni di trasmissione AM (Amplitude Modulation), impiegate nelle trasmissioni a onde corte su lunghe distanze e nelle trasmissioni della parte video dei programmi televisivi, sono linearmente polarizzate. Le onde radio vengono emesse con il campo തE perpendicolare al suolo. Per la massima ricezione, l antenna ricevente dovrà essere parallela al campo che è verticale alla direzione di propagazione. Il segnale televisivo al contrario, viene emesso con il campo തE nella direzione orizzontale, questo è il motivo per cui i conduttori delle antenne riceventi sui tetti sono orizzontali. Le onde FM (Frequency Modulation) irradiate da stazioni radio sono generalmente polarizzate circolarmente; quindi l orientazione di una antenna ricevente FM non è critica, sempre che giaccia nel piano normale alla direzione del segnale. 54

55 Onde piane dissipative In un mezzo dissipativo privo di sorgenti ( ), nelle equazioni d onda vettoriale omogenee di Helmholz il numero d onda deve essere complesso, infatti: " c ε -j ' j k diventa k c ' j " σ ω Le onde piane in un mezzo dissipativo si studiano in maniera analoga alle onde in un mezzo omogeneo privo di perdite sostituendo kሶ c a k. E k E E kc E Inoltre si definisce una costante di propagazione νሶ tale che: c F m jk j m c -1 c 55

56 Onde piane dissipative Poichè la costante di propagazione νሶ é un numero complesso: " j jk c j c j 1 j ' 1 j j ' c c k k l equazione di Helmholtz diventa: E E e la soluzione é un onda piana uniforme che si propaga nella direzione z. Nella ipotesi che l onda sia linearmente polarizzata nella direzione x: E a E a E e a E e e z z j z x x x x fattore e costante di attenuazione in [Np/m] fattore e costante di fase in [rad/m] 1 equivale l attenuazione in ampiezza per 1 m di propagazione equivale allo sfasamento dell onda per 1 m di propagazione. 56

57 L attenuazione di una grandezza può essere espressa in decibel db Il Neper Np è utilizzato come unità di misura della attenuazione di una grandezza. Si esprime come rapporto tra due valori che una grandezza assume in due punti diversi, dove il termine a denominatore è assunto come valore di riferimento: Np = ln Onde piane dissipative 1 db= 1 log per le potenze 1 x x 1 =ln x -ln x 1 il valore corrispondente in decibel: 1Np = x x x x db= 1 log = log per le tensioni e le correnti x x db = db ln1 57

58 Onde piane dissipative l attenuazione in ampiezza α e lo sfasamento dell onda per ogni metro di propagazione dipendono: dalla pulsazione e quindi dalla frequenza della sorgente dai parametri costitutivi, e e possono essere così espressi: " j 1 j ' 1 j j ' In particolare per i mezzi: 1. dielettrici con basse perdite. buoni conduttori 3. gas ionizzati si possono ricavare delle formule approssimate, comunque valide per molte applicazioni pratiche. 1 58

59 Dielettrici a basse perdite (>> ) u c p " ' ' 1 1 ' 1 8 " j ' 1 1 ' " ' 1 8 " ' Np m rad m m s fattore di attenuazione fattore di fase impedenza intrinseca velocità di fase 59

60 Buoni conduttori (>>) f p Np m fattore di attenuazione e fattore di fase variabili con f e j c 1 j impedenza intrinseca con fase di 45 *** u c m s velocità di fase proporzionali a f e 1 *** il campo magnetico é traslato di 45 rispetto a quello elettrico 6

61 Buoni conduttori (>>) Per i conduttori si definisce la skin depth o depth of penetration: 1 1 λ δ m α πfμ π essa è uguale all inverso del fattore di attenuazione e rappresenta la distanza lungo la quale l ampiezza di un onda piana viaggiante diminuisce di un fattore pari a e -1 =1/(.7188 )=.3679 ( 37%) Alle alte frequenze le onde elettromagnetiche che si propagano in un mezzo costituito da un buon conduttore si attenuano molto rapidamente, essendo sia f che molto grandi. In particolare alle frequenze delle microonde (3MHz 3GHz) la skin depth di un buon conduttore é così piccola, che i campi e le correnti possono essere considerati confinati in uno strato molto sottile della superficie del conduttore. 61

62 Buoni conduttori (>>) skin depth o depth of penetration per alcuni conduttori confrontata con quella dell acqua δ [mm]. Materiale [S/m] f = 6Hz f=1 MHz f=1ghz argento [mm].64 [mm]. [mm] rame oro alluminio ferro acqua di mare 4 3 [m].5 [m] 6

63 Gas ionizzati L'atmosfera terrestre è l'involucro di gas (termine generico aria) che riveste il pianeta Terra, principalmente: azoto ossigeno argon anidride carbonica tracce di altri elementi. Possiede una struttura complessa e suddivisa in più strati, con caratteristiche differenti (densità, temperatura, proprietà chimiche, spessori etc..). Nello strato della atmosfera terrestre, con una quota compresa tra 5 e 5 km di altezza, esistono strati di gas ionizzati o Plasmi che costituiscono la ionosfera. La ionosfera gioca un ruolo importante nella propagazione delle onde elettromagnetiche e influenza le telecomunicazioni 63

64 Gas ionizzati Le radiazione solari ultraviolette proveniente dal sole investono gli atomi e le molecole di ossigeno della parte superiore della ionosfera. La radiazione solare è l energia radiante emessa nello spazio interplanetario dal Sole, generata a partire dalle reazioni termonucleari di fusione che avvengono nel nucleo solare e che producono radiazioni elettromagnetiche a varie frequenze o lunghezze d onda, le quali si propagano poi nello spazio a diverse velocità. Gli atomi e le molecole assorbono parte della energia associata alla radiazione solare e questo determina la produzione di un elettrone libero (carica negativa) e uno ione (carica positiva). I gas ionizzati, con uguale densità di elettroni e ioni, sono chiamati plasmi, quindi: la ionosfera si può considerare in gran parte costituita da un plasma. 64

65 Gas ionizzati Nella ionosfera la densità delle molecole di ossigeno presenti è molto bassa, quindi gli elettroni liberi possono esistere, anche se per brevi periodi di tempo, prima di essere catturati da uno ione positivo vicino, formando nuovamente un l atomo neutro, che a sua volta, assorbe radiazione solare e il processo si ripete. Per tutta la durata di un giorno (nel lato della terra investito dalle radiazioni solari), la ionosfera si può ritenere costituita: da elettroni liberi e ioni positivi in minore quantità, da molecole del gas (atomi di ossigeno neutri) con percentuali dei componenti che variano con la quota degli strati e durante l arco della giornata. Le particelle cariche tendono ad essere trattenute dal campo magnetico terrestre. 65

66 Gas ionizzati Poiché gli elettroni sono più leggeri degli ioni positivi, essi sono più accelerati dai campi elettrici delle onde elettromagnetiche che attraversano la ionosfera. Per comprendere e valutare qualitativamente l entità di questa influenza si analizza il fenomeno con alcune ipotesi semplificative movimento degli ioni trascurabile (esso è sensibilmente inferiore a quello degli elettroni), ionosfera costituita esclusivamente da gas di elettroni liberi si trascurano le collisioni tra gli elettroni e gli atomi e le molecole del gas si ipotizza un campo elettrico E armonico con pulsazione. 66

67 Frequenza di plasma Su un singolo elettrone di carica -e e massa m in un campo elettrico armonico nel tempo e agente nella direzione x con frequenza angolare, agisce una forza di campo: E che lo allontana da uno ione positivo di una distanza x tale che: d x F ma ee m m x d d per i campi armonici j e - dt dt da cui ricava lo spostamento x : e x E m dt dove E e x sono fasori. F qe ee ione + x E -e 67

68 Frequenza di plasma La separazione delle cariche ( ione + ed elettrone -) alla distanza x fa nascere un momento di dipolo elettrico: -e e p ex e E m Se N è il numero di elettroni per unita di volume, la densità volumica del momento di dipolo elettrico o vettore di polarizzazione è: Ne P N p E m P ione + In questa equazione è stato trascurato implicitamente l effetto mutuo dei momenti dei dipoli indotti degli elettroni sugli altri elettroni. p 68

69 Frequenza di plasma In base alle leggi dell elettrostatica, dalla conoscenza del vettore di polarizzazione si ottiene la relazione costitutiva che lega a E nel plasma: Ne p D E P 1 E 1 E p E m con p p P p 1 Ne m D p rad s E D permettività assoluta del plasma pulsazione angolare del plasma 69

70 Frequenza di plasma f p f p D E P 1 E D E essendo p p 1 f f Dalla espressione di ε p si vede come per f f p, la permettività equivalente ε p. Quando la permettività diventa nulla ε p lo spostamento elettrico ഥD è nullo, anche quando l intensità del campo elettrico ഥE non lo è. In quel caso dovrebbe essere possibile per un campo elettrico oscillante esistere nel plasma in assenza di cariche libere, ottenendo una cosi detta oscillazione di plasma. f p é anche indicata come frequenza di taglio. p 1 Ne f p Hz m 7

71 Frequenza di plasma Dalla pulsazione ω p si definisce la frequenza del plasma : N e p 1 Ne p f p Hz m m la permettività equivalente della ionosfera o plasma risulta p ( f ): p p 1 f f 1 p F m da cui si ottiene la costante di propagazione: e l impedenza intrinseca: p p j p j 1 f f p dove 1 f p 71 1 f

72 Frequenza di plasma Quando f < f p l argomento sotto radice è negativo e quindi; ν diventa puramente reale ν=α e β=, ciò comporta una attenuazione senza propagazione ; contemporaneamente p diventa puramente immaginario indicando una carico reattivo per cui non si verifica trasmissione di potenza attiva: il segnale viene riflesso. Quando f > f p l argomento sotto radice è positivo e quindi: ν é puramente immaginario reale ν ሶ =jβ, e le onde elettromagnetiche si propagano sfasate senza attenuazione nel plasma essendo α= (nella ipotesi di perdite di collisione trascurabili). 7

73 Frequenza di plasma Se si sostituisce l espressione di ω p in funzione dei valori numerici di e, m e nella espressione della f p, si ottiene una formula molto semplice per esprimere la frequenza di taglio del plasma: p N e m p 1 Ne 9 N Hz m Tale espressione permette di fare delle valutazioni sulla trasmissione delle onde attraverso la ionosfera. Poichè la densità elettronica della ionosfera è: f N=1 1 /m 3 ( stati inferiori) 1 1 /m 3 ( stati superiori) N=1 4 /cm 3 ( stati inferiori) 1 6 /cm 3 ( stati superiori) p f p varia da.9 a 9MHz. Essa è una misura della densità di ionizzazione dello strato riflettente. Più alta è la frequenza di taglio e maggiore è la densità di ionizzazione, che è legata a N. 73

74 Frequenza di plasma Quindi se f p =.9 9 MHz, per la comunicazione con un satellite o una stazione spaziale oltre la ionosfera, si devono usare frequenze superiori a 9 MHz. Occorre lavorare con frequenze superiori a 9 MHz, per assicurare la penetrazione delle onde anche nello strato con N (numero di elettroni per unita di volume) più elevato e per qualunque angolo di incidenza. La situazione reale è più complessa Perché gli strati della ionosfera sono caratterizzati da densità elettronica N variabile da punto a punto Per presenza del campo magnetico terrestre, che agiste differentemente da punto a punto della spazio. 74

75 Frequenza di plasma Riassumendo, le indicazioni di massima per la trasmissione dei segnali nella ionosfera sono : I segnali con frequenze superiori a ionosfera di 9 MHz penetrano la I segnali con frequenze tra,9 e 9 MHz penetreranno parzialmente negli strati più bassi della ionosfera ma saranno rinviati indietro dove la densità é più grande. I segnali con frequenze minori di.9 MHz non possono penetrare nello strato più basso della ionosfera, ma saranno riflessi e potranno propagarsi molto lontano intorno alla terra per via di riflessioni multiple sul contorno della ionosfera e sulla superficie della terra. 75

76 Frequenza di plasma Nella realtà, per trasmettere un segnale attraverso la ionosfera si utilizzano frequenze molto alte legate alle condizioni della ionosfera nella regione della terra nella quale avviene la trasmissione, dal l ora del giorno e dalle radiazioni solari ultraviolette che dipendono dalle sunspots. Si comprende come lo studio del plasma nella ionosfera e la misura accurata delle sunspots sia argomento di ricerca avanzata in campo militare. La frequenza di taglio f p può raggiungere 5 MHz a mezzogiorno e nell'immediato pomeriggio e anche nei periodi di maggiore attività delle macchie solari (sunspots), può diminuire a 1 MHz nelle prime ore del mattino e diminuire sino a a MHz durante la notte. 76