5.4 Larghezza naturale di una riga

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1 5.4 Larghezza naturale di una riga Un modello classico più soddisfacente del processo di emissione è il seguente. Si considera una carica elettrica puntiforme in moto armonico di pulsazione ω 0 ; la carica, essendo accelerata, emette onde elettromagnetiche e perde quindi energia. Il suo moto è pertanto un moto armonico smorzato descritto dall equazione: ẍ = ω 2 0x 2γẋ dove ω 0 è la pulsazione del moto in assenza di smorzamento. Nel caso in cui lo smorzamento è debole - γ ω 0 - la soluzione diventa: con x = x 0 e γt cos(ω s t + δ) (5.2) ω s = ω 2 0 γ 2 e con la costante di fase δ arbitraria. La (5.2) descrive un moto armonico di pulsazione ω s la cui ampiezza decresce esponenzialmente in funzione del tempo. Si noti che la pulsazione del moto smorzato è minore

2 5.4 Larghezza naturale di una riga 153 di quella del moto non smorzato. Tuttavia, essendo γ ω 0, è possibile porre ω s = ω 0. Nell approssimazione in cui γ ω 0, l accelerazione della particella è quindi data da: a = ω 2 0x Sotto le condizioni del punto B) di pagina 130, il campo elettrico generato a distanze sufficientemente grandi dalla particella è proporzionale alla sua accelerazione ritardata. Tra queste condizioni, ricordiamo qui quella relativa alla velocità v della particella: v c. Se una particella si muove di moto armonico con pulsazione ω (x = x 0 sin ωt), la sua velocità quadratica media è data da: v 2 rms = K m < ẋ2 >= ω2 x dove K è la costante di forza del moto ed m la massa della particella (ω = K/m). Pertanto: v rms = 1 2 ωx 0 Per una lunghezza d onda λ = 600 nm, ω = rad s 1. Ne segue che v rms = ms 1 c, se si pone x 0 = 0.2 nm. Pertanto, il campo elettrico dell onda generata dalla particella in moto armonico smorzato può essere espresso dalla formula: E(t) = 0 per t < 0 E(t) = E 0 e γt e iω 0t per t 0 (5.3) La trasformata di Fourier della funzione E(t) è (si veda l equazione 4.19): E(ω) = 1 + E(t)e iωt dt

3 154 Capitolo 5. Onde e particelle Quindi, per la (5.3): Pertanto: E(ω) = 1 + E 0 E(t)e [i(ω ω0)+γ] dt 0 E(ω) = 1 E 0 γ i(ω ω 0 ) γ 2 + (ω ω 0 ) 2 Questa espressione rappresenta il valore del campo elettrico per unità di pulsazione dovuto alla componente di pulsazione ω; il campo elettrico dovuto alle componenti comprese in un intervallo ω sufficientemente piccolo (rispetto all intervallo minimo in cui E(ω) varia in modo significativo) è quindi dato da (equazioni 4.20 e 4.22): E = E ωe iωt L energia associata a questo campo, data dal vettore di Poynting mediato su un periodo, è: I = E2 0ε 0 4π ω 2 γ 2 + (ω ω 0 ) 2 (5.4) In corrispondenza di ω = ω 0 si ha il massimo di intensità: I 0 = E2 0ε 0 4πγ 2 ω2 Pertanto la (5.4) può essere scritta sotto la forma: La funzione: I = I 0 γ 2 γ 2 + (ω ω 0 ) 2 (5.5) f(ω ω 0 ) = γ 2 γ 2 + (ω ω 0 ) 2 (5.6) detta lorentziana, è mostrata in figura 5.7. L intensità I è uguale alla metà di I 0 per ω ω 0 = ω = γ

4 5.4 Larghezza naturale di una riga 155 f(ω ω 0 ) ω ω 0 (10 8 rad s 1 ) Figura 5.7: andamento della lorentziana dell equazione (5.6). γ è quindi la semi - larghezza della funzione f(ω ω 0 ) a metà altezza. La larghezza intera della riga a metà altezza è quindi uguale a 2γ. Il risultato espresso dalla (5.5) coincide con quello della fisica quantica. Alla luce della fisica quantica, i presupposti del modello classico sono errati perché: si suppone che l emissione di radiazione elettromagnetica sia dovuta al moto armonico di particelle elettricamente cariche; si suppone che l emissione di energia sia un processo continuo. La ragione per cui, ciò non ostante, il modello classico produce lo stesso risultato della fisica quantica risiede nel fatto che esso prevede che la carica oscillante perda energia secondo una legge esponenziale del tipo e 2γt ; questa legge, se si pone τ = 1/2γ, è la legge di decadimento quantico di un numero statisticamente significativo di atomi eccitati la cui vita media sia τ. La descrizione classica funziona in questo caso, ma è complessivamente inadeguata per la descrizione dei fenomeni del mondo microscopico. La forma delle righe di emissione osservate sperimentalmente non è una lorentziana. Ciò è dovuto al fatto che ci sono altre due cause

5 156 Capitolo 5. Onde e particelle di allargamento delle righe: i processi d urto e l effetto Doppler. Se la sorgente luminosa è costituita da un gas o un vapore, le sue molecole (o i suoi atomi) subiscono degli urti: se si suppone che una molecola eccitata emetta un fotone in seguito ad un urto, la legge che descrive la perdita di energia da parte delle molecole eccitate è ancora del tipo e t/τ c, dove τ c indica l intervallo di tempo medio tra due urti consecutivi. Ne consegue che l allargamento della riga dovuto alle collisioni è ancora di tipo lorentziano: siccome, tuttavia, τ c è, in generale, più piccolo di τ, l allargamento dovuto alle collisioni predomina rispetto a quello intrinseco, responsabile della larghezza naturale della riga. Il libero cammino medio l delle molecole di un gas è espresso dalla relazione: < l >= 1 d 2 n dove d è il diametro delle molecole e n la loro concentrazione. D altra parte, la velocità media di una molecola è data da: 8kT < v >= πm dove k è la costante di Boltzmann, T la temperatura assoluta e m la massa delle molecole. Ricordando che, quando V = 1, per la legge dei gas perfetti: n = p kt dove p è la pressione, si ottiene per il vapore di mercurio a T = 300 K e ad una pressione p = 0.1 atm: < l > = m < v > = ms 1 τ c = s In questo caso, l intervallo di tempo medio tra due urti successivi τ c è dello stesso ordine di grandezza di τ. L allargamento della riga dovuto all effetto Doppler verrà discusso nella sezione 5.11 a pagina 203.