E t e j(k txx+k ty y) k ix = k rx = k tx ; (3.2) k iy = k ry = k ty. (3.3)

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Vincenzo Orlandi
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1 Capitolo 3 Riflessione e rifrazione Cosa fa un onda piana nel passaggio da un mezzo all altro? Come superficie di separazione S si consideri un piano (x, y). Sia ẑ la normale al piano. Poichè S è un piano, sia il campo riflesso e quello trasmesso si riducono a due semplici onde piane. Sia E i e jk i z l onda piana uniforme incidente, E r e jk r z l onda piana che rappresente campo riflesso, a E t e jk t z l onda piana che rappresenta il campo trasmesso. È necessario imporre la condizione di continuità della componente tangente sulla superficie S(z = 0): [ ] E i e j(k ixx+k iy y) + E r e j(k rx+k ry y) = [ ] E t e j(k txx+k ty y) tang tang = (3.1) Questa condizione deve essere verificata su tutto il piano z = 0, quindi per ogni valore di x, y. La dipendenza spaziale delle tre funzioni deve essere la stessa, ciò comporta che k ix = k rx = k tx ; (3.) k iy = k ry = k ty. (3.3) Da cui si deduce che i tre vettori k i, k r, k t sono complanari (stesse componenti lungo x e y, mentre le componenti lungo z sono in generale diverse). Il piano da 8

2 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 9 z - k t S () e m qt (1) e 1 m 1 q i qr x - k i - k Figura 3.1: In figura sono rappresentate le direzioni dei vettori di fase k i, k r, k t e gli angoli di incidenza θ i, riflessione θ r e trasmissione θ t. essi individuato è detto piano di incidenza e lo facciamo coincidere con il piano della lavagna. Possiamo per comodità scegliere il sistema di riferimento in modo che tale piano coincida con il piano coordinato y = 0. I tre vettori avanno allora componente nulla lungo y: k iy = k ry = k ty = 0. Si definiscono θ i angolo tra il vettore di propagazione dell onda piana incidente e l asse z, θ r l angolo tra il vettore di propagazione dell onda piana riflessa e l asse z, θ t l angolo tra il vettore di propagazione dell onda piana trasmessa e l asse z. Si ha k ix = k i sin θ i, k rx = k i sin θ r, k tx = k i sin θ t. Ricordando che k i = ω ɛ 1 µ 1 k t = ω ɛ µ, per la (.) si ha ω ɛ 1 µ 1 sin θ i = ω ɛ 1 µ 1 sin θ z = ω ɛ µ sin θ t.

3 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 30 Si ottiene quindi n 1 sin θ i = n 1 sin θ r = n sin θ t. Da cui si ha che θ i = θ r cioè l angolo di incidenza è uguale all angolo di riflessione, e n 1 sin θ i = n sin θ t. Questa uguaglianza è nota con il nome di Legge di Snell e può essere riscritta come sin θ t = n 1 n sin θ i Se n 1 > n, si ha θ t > θ i. Se n 1 < n si ottiene. θ t < θ i. Nel caso n 1 > n esiste un valore di θ i che prende il nome di angolo critico tale che Figura 3.: Se n 1 > n l angolo di transmissone θ t è maggiore dell angolo di incidenza θ i. sin θ t = 1 e sin θ c = n n 1 Per θ i > θ c, sin θ t > 1 (infatti sin θ i > n n 1 ). L angolo θ t diviene immaginario e ha luogo la riflessione totale, l onda trasmessa è un onda piana evanescente con vettore

4 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 31 di attenuazione diretto lungo z e che si propaga in direzione x cioè parallela alla superficie di separazione. Per dimostrare questo, poichè la quantità sotto radice è negativa, conviene riscrivere l espressione di k tz nel modo seguente: Figura 3.3: Se n 1 < n l angolo di transmissone θ t è minore dell angolo di incidenza θ i. k tz = k t cos θ t = k t 1 sin θ t = k t 1 n 1 sin θ n i = = ±j k t n 1 n = ±j k t sin θ i n n 1 n 1 n sin θ i 1 = = ±jω µ ɛ n 1 n sin θ i n n 1 = ±jα L onda che si propaga deve mantenersi finita per z grandi, per cui si sceglie il segno negativo. L onda trasmessa ha quindi la forma E t e jktxx e αz. Questa rappresenta un onda evanescente che si propaga lungo x con ampiezza decrescente lungo z.

5 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 3 Figura 3.4: Nel caso riflessione totale si ha un onda evanescente che propaga lungo la direzione î ed è attenuata lungo ẑ. Di solito per θ i > θ c si parla di riflessione totale. I piani equifase sono perpendicolari ai piani equiampiezza. 3.1 Esercizi Escerizio n.1 Si consideri un onda incidente con θ i = 30 0 dall aria al polistirene. (a) Calcolare l angolo di trasmissione θ t. (b) Scambiare il polistirene con l aria e ripetere il cacolo. polistirene ɛ r =.7 Soluzione (a) ɛ 1 = ɛ 0 µ 1 = µ 0 ɛ =.7ɛ 0 µ = µ 0

6 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 33 sin θ t = µ1 ɛ 1 µ ɛ sin θ i (b) sin θ t = = θ t = ɛ 1 =.7ɛ 0 µ 1 = µ 0 ɛ = ɛ 0 µ = µ 0 Esercizio n. sin θ t =.7 1 = 0.8 θ t = 5. 0 Un onda linearmente polarizzata incide dall acqua sulla superficie di separazione acqua - aria con un angolo θ i = Si consideri ɛ r = 81, µ r = 1, σ 0 per l acqua distillata. Se E t = 1.4V/m, si calcoli l ampiezza del campo elettrico λ/4 oltre l interfaccia. Soluzione: θ i = 45 0 ɛ r = 81 µ r = 1 σ = 0 Calcoliamo l angolo critico θ c : n 1 sin θ c = n sin θ c = n n 1 θ c = sin 1 ɛ ɛ = arcsin = arcsin n 1 = arcsin ɛ 1 ɛ 1 n 1 81 = Poichè θ i > θ c, l onda è totalmente riflessa per la legge di Snell n 1 sin θ i = n sin θ t sin θ t = n 1 n sin θ i = 81 1 sin 45 0 sin θ t = 81 1 = 6.36

7 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 34 z aria acqua qr q i x cos θ t = 1 (6.36) = ±j6.8. Il campo trasmesso è un onda piana del tipo E t e jkt r. Orientando opportunamente gli assi: k t = k x î + k z ẑ Ricordando che per θ i > θ c k t = ω ɛ µ. k tz = jα = k t cos θ t = ±j k t n 1 n = ±jω ɛ µ n 1 n sin θ i n n 1 sin θ i n n 1 =

8 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 35 Da cui si ha k tz = ω ɛ µ cos θ t = πc λ 0 ɛ µ cos θ t = 1 ɛ µ π λ 0 ɛ µ cos θ t = = π λ 0 cos θ t = π λ 0 (±j6.8) = ± λ 0 j. In z = 0 si ha E t = 1.4 V/m, in z = λ/4 E t = 1.4 exp V m = 73.7µV/m. ( ) λ 0 λ 0 4 = Esercizio n.3 Si calcolino i coefficenti di Fresnel r e t nel caso di un onda piana che si propaga in aria, con indice di rifrazione pari a 1 e incide normalmente su un vetro con indice di rifrazione n = n 1 n i t r Soluzione

9 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 36 t = n 1 cos θ i n 1 cos θ i + n cos θ t r = n 1 cos θ i n cos θ t n 1 cos θ i + n cos θ t Nel caso di incidenza normale diventano t = n 1 n 1 + n = = 08 r = n 1 n = n 1 + n = 0.18 che verificano la relazione 1 + r = t Esercizio n = 0.8 Sia ˆn = ẑ la normale alla superficie piana di separazione tra due mezzi lineari e isotropi con permeabilità magnetica rispettivamente µ r1 = e µ r = 8, diretta dal mezzo al mezzo 1. Si calcoli l angolo di inclinazione del campo magnetico H 1 nel mezzo 1 rispetto alla normale ˆn se il campo magnetico nel mezzo vale H = 3î + ẑ e nessuna corrente si genera sulla superficie in questione. Soluzione µ r1 = µ r = 8 In queste condizioni, le continuità del campo magnetico sono descritte da ˆn (H H 1 ) = J s Da cui si ha: (B B ) ˆn = 0 ˆn (H H 1 ) = 0 µ 1 H z1 = µ H z

10 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 37 z ^ n 1 m r1 = x m r = 8 H z - H H x La prima impone la continuità della componente tangente per cui H x1 = 3. Dalla seconda Pertanto H z1 µ µ 1 H z = µ r µ 1 H z = 8 = 8 H 1 = 3î + 8ẑ e l angolo sotteso con la normale ˆn = ẑ è : θ = arctg 3 8 = 0.60 Esercizio n. 5 Un onda a polarizzazione ortogonale si propaga in aria e incide su un interfaccia piana aria-vetro con un angolo di La frequenza dell onda è 600 THz, ovvero luce verde, e l indice di rifrazione del vetro è 1.6. Se l ampiezza del campo elettrico è 50 V/m, si calcoli: (a) i coefficienti di transmissione e riflessione; (b) le espressioni dei campi istantanei E(t) e H(t) nel vetro.

11 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 38 Soluzione (a) Si deve calcolare r e t poichè si parla di un onda a polarizzazione ortogonale, ovvero diretta lungo ĵ. x q r vetro qi z aria r = n 1 cos θ 1 n cos θ t n 1 cos θ 1 + n cos θ t n 1 = 1 (aria) e n = 1, 6 vetro t = n 1 cos θ i n 1 cos θ 1 + n cos θ t θ i = 30 0 θ t si può ottenere tramite la legge di Snell sin θ t = n 1 n sin θ i = sin 300 = 0.31 Quindi θ t =

12 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 39 r = 1 cos(300 ) 1.6 cos( ) 1 cos(30 0 ) cos( ) t = = = 0.7 = = 1 cos(30 0 ) 1 cos(30 0 ) cos( ) = = 0.73 Si noti che i coefficienti di Fresnel si sono ottenuti imponendo le condizioni di continuità sulla superficie di separazione dei due mezzi. Pertanto il campo tangente nel mezzo 1 deve essere uguale al campo tangente nel mezzo. Nel mezzo 1 si ha l onda incidente e quella riflessa e quindi la condizione precedente diventa: E oi + E or = E ot 1 + E or E oi = E ot E oi 1 + r = t ovvero ciò che viene trasmesso è quello che incide tolto quello che viene riflesso (b) t = 1 + r = = 0.73 E t = E ot e jk t r = E 0t e jkt(x cos θ t+z sin θ t ) H t = 1 η î s E t = 1 η ˆkt E t = = E ot η (sin θ t î + cos θ t ẑ)e jk t(x cos θ t +z sin θ i ) E ot = E oi r = = 36.5 [ V m]

13 CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE 40 η = η 0 = 10π n 1.6 = 377 [ ] 1.6 = 35.6 Ω Pertanto k t = ω µ ε = ω = πνn c/n c = π [ ] = 6.4π 10 6 rad/m E t (t) = 36.5 cos(ωt k t x cos θ t k t z sin θ t )ĵ [ ] V/m H t (t) = 0.16(sin θ t î + cos θ t ẑ) cos(ωt k t x cos θ t k t z sin θ t ) [ ] A/m H t (t) = ( 0.05î ẑ) cos(ωt k t x cos θ t k t z sin θ t ) [ ] A/m ] [rad/sec con ω = πν = ] k t = 6.6π 10 [rad/m 6.

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