Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_1

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1 Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e Teoria e applicazioni delle linee di trasmissione_1 Sono state studiate le onde elettromagnetiche che si propagano nei dielettrici spazialmente illimitati, senza contorni, fatta eccezione per le interfacce dove si verificano le riflessioni dovute a discontinuità. Si vuole ora considerare il comportamento delle onde nell immediata vicinanza di contorni conduttori o dielettrici, dove le configurazioni di questi contorni hanno l effetto di guidare le onde lungo la superficie dei contorni stessi. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 1

2 Per onda guidata si intende l onda la cui direzione del flusso di energia si sviluppa principalmente lungo la direzione del sistema guidante ( anche se in ogni sistema reale, una parte del flusso di energia é trasmesso dall onda al metallo non perfettamente conduttore o al dielettrico). Questa azione guidante si realizza in tutti i sistemi mediante una interazione molto stretta tra i campi dell onda, le correnti e le cariche sui conduttori, o per particolari condizioni di riflessione sul contorno. Da un punto di vista del campo l energia si può immaginare trasmessa dall onda tramite campi elettromagnetici nella regione dielettrica esistente tra i contorni; questi ultimi assumono dunque una importanza primaria nel determinare le caratteristiche di una onda particolare. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e

3 Con l analisi matematica si desidera trovare soluzioni alle equazione delle onde, che soddisfino le condizioni al contorno imposte dalle configurazioni dei conduttori o dielettrici delle guide, prendendo in considerazione quelle soluzioni che rappresentano un passaggio di energia nella direzione della guida e che ad essa sono legate tramite condizioni di flusso di corrente, induzione di carica o speciali riflessioni sui contorni della giuda. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 3

4 Tipi d onda fondamentali Nello studio delle onde guidate di solito si classificano le soluzione dell equazione d onda nei seguenti tipi: ONDE TEM: onde che non contengono campo elettrico e magnetico nella direzione di propagazione. Esse si chiamano onde trasversali elettromagnetiche perché le linee del campo elettrico e del campo magnetico giacciono interamente su piani trasversali alla direzione di propagazione. Esse sono comunemente usate sulle linee di trasmissione e sono anche chiamate onde principali. ONDE TM: onde che contengono campo elettrico, ma non campo magnetico nella direzione di propagazione. Sono chiamate onde trasversali magnetiche. ONDE TE: onde che contengono campo magnetico ma non campo elettrico nella direzione di propagazione Sono chiamate onde trasversali elettriche. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 4

5 Per studiare la teoria e le applicazioni delle linee di trasmissione occorre sviluppare un modello elettromagnetico che consenta di analizzare le azioni elettromagnetiche che si verificano a distanza causate: da cariche che variano nel tempo e/o correnti che variano nel tempo. Queste azioni sono espresse in termini di campi magnetici e onde. Si definisce sorgente elettromagnetica isotropa e omnidirezionale quando irradia onde egualmente in tutte le direzioni. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 5

6 In realtà anche quando la sorgente irradia attraverso un antenna altamente direttiva, la sua energia si propaga su una grande area a distanze elevate. Quando l energia irradiata non è guidata, la trasmissione di potenza e informazione dalla sorgente al ricevitore è inefficiente, in particolare per la trasmissione alle basse frequenze, per le quali le antenne direzionali dovrebbero avere enormi dimensioni e quindi essere eccessivamente costose e in alcuni casi irrealizzabili. Per esempio: alle frequenze AM ( khz) delle trasmissioni radiofoniche una singola antenna a metà lunghezza d onda, che è poco direttiva, dovrebbe avere una lunghezza superiore al centinaio di metri, alla frequenza di potenza di 6 Hz, una lunghezza d onda è 5 milioni di metri (Mm). M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 6

7 Per una trasmissione di potenza e informazione efficiente da punto a punto, la sorgente di energia deve essere diretta o guidata. Occorre quindi studiare le onde elettromagnetiche trasversali (TEM) guidate attraverso linee di trasmissione. Il modo TEM delle onde guidate è quello per il quale E e H sono perpendicolari l uno con l altro ed entrambi sono trasversali alla direzione di propagazione lungo la linea guida. ρ E stata discussa, in precedenza, la propagazione delle onde piane trasversali elettromagnetiche non guidate. Ora si intende mostrare come diverse caratteristiche delle onde TEM guidate nelle linee di trasmissione sono le stesse di quelle dell onda piana uniforme, che si propaga in un mezzo dielettrico illimitato. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 7

8 I 3 tipi più comuni di strutture guidanti (guiding structures) che trasportano onde TEM sono: a) Linea di trasmissione piatta ( Parallel plate transmission line) Questo tipo di linea di trasmissione consiste di lastre o lamine conduttrici parallele separate da una lastra di dielettrico di spessore uniforme. Alle frequenze delle microonde le linee di trasmissione piatte possono essere fabbricate a basso costo su un substrato di dielettrico usando la tecnologia dei circuiti integrati (printed circuit). Esse sono spesso chiamate striplines M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 8

9 b) Linee di trasmissione bifilare Questa linea di trasmissione consiste di una coppia di fili conduttori paralleli e viene utilizzato per: le linee telefoniche aeree di potenza nelle aree rurali e le linee negli appartamenti che collegano l antenna dal tetto al ricevitore della TV. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 9

10 c) Linea di trasmissione coassiale Questa consiste di un conduttore interno e una guaina conduttrice coassiale esterna separata da un mezzo dielettrico. Questa struttura ha l importante vantaggio di limitare completamente il campo elettrico e magnetico all interno della regione dielettrica. Nessun campo viene generato da una linea di trasmissione coassiale e interferenza esterna che può interagire con la linea, é piccola. Esempi di applicazione sono i cavi telefonici e TV e i cavi di input per strumenti di misura di precisione in alta frequenza. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 1

11 La soluzione delle onde TEM attraverso l equazione di Maxwell con la struttura a linea piatta porta direttamente a una coppia di equazioni della linea di trasmissione. Dalle equazione delle linee di trasmissione possono essere studiate e derivate tutte le caratteristiche della propagazione d onda lungo una linea data. L equazioni generali della linea di trasmissione possono anche essere derivate da un modello circuitale in termini di resistenza, induttanza, conduttanza e capacità per unità di lunghezza della linea. Il passaggio da un modello circuitale a un modello elettromagnetico si effettua passando da una rete a parametri concentrati (resistori, induttori e capacitori discreti) a una a parametri distribuiti (distribuzioni continue di R, L, G e C lungo la linea). M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 11

12 Lo studio delle proprietà a regime permanente armonico nel tempo delle linee di trasmissione è fortemente facilitato dall uso delle carte grafiche che evitano di eseguire dei calcoli con numeri complessi. La carta grafica più conosciuta e usata è la carta di Smith che consente di determinare: le caratteristiche dell onda sulla linea di trasmissione e l impedenza di adattamento (impedance matching). M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 1

13 Onda elettromagnetiche trasversali lungo una linea piatta i consideri una onda TEM polarizzata y, che si propaga nella direzione ositiva dell asse z: y d x z w e equazioni d onda dei campi armonici nel tempo in una regione dielettrica riva di sorgenti, soddisfano le equazioni di Helmholtz e per il caso in same: γz E γz E a y E y a y Ee e H a x H x a x e η ove γ e η sono la costante di propagazione e l impedenza intrinseca ispettivamente del mezzo dielettrico. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 13

14 Si trascurano gli effetti di bordo e si considerano i conduttori perfetti e il dielettrico privo di perdite: µ γ jβ jω µε e η ε Le condizioni al contorno che devono essere soddisfate nell interfaccia conduttore dielettrico: per y e y d: Et e H n condizioni soddisfatte essendo E E e H x z y per y (lastra inferiore) a n a y a a y y D ρ sl H J sl o o ρ sl J sl εe y -a z εe H x e - jβz a z E η e - jβz M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 14

15 per yd ( lastra superiore) a n a y a a y y D H ρ sl J sl o ρ o J sl sl εe a z y H εe x a e z jβz E η e jβz Le equazioni precedenti mostrano che le cariche superficiali e le correnti superficiali sui piatti conduttori variano sinusoidalmente in funzione di z così come E y e H x come riportato in figura: M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 15

16 I fasori dei campi soddisfano le due equazioni rotoriche di Maxwell: E jωµ H H jωεe essendo E a ye y e H a xh x le equazioni precedenti diventano: de dz y jωµ H x e dh dz x jωεe x le derivate sono ordinarie in quanto i fasori E y e H x sono funzioni della sola variabile z. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 16

17 Si può risalire alla differenza di potenziale o tensione che si stabilizza tra le due lastre integrando la prima equazione per z d : dey dz dv dz dove ( z) V jωµ H x jωµ J d su d dz ( z) d jω µ [ J ( z) w] jωli( z) ( z) E dy E ( z)d y y d V(z) é la differenza di potenziale tra le due lastre e I( J su( z)w é la corrente totale che fluisce nella direzione +z sulla lastra superiore E y d w dy su jωµ d H x dy o L µ d w é l induttanza per unità di lunghezza della linea di trasmissione piatta M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 17

18 Analogamente integrando la seconda equazione: dhx d w w jωε Ey H o xdx j E ydx dz dz ωε di ( z) w jωε Ey z w jω ε Ey z d jωcv z dz d dove ( ) ( ) ( ) w F C ε d m éla capacità per unità di lunghezza della linea piatta. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 18

19 Le equazioni ( ) dv z d j J su( z) d j [ J su( z) w] j LI( z) ωµ ω µ ω dz w di( z) w jωεe ( z) w j [ E ( z) d] y ω y j CV ( z) ε ω dz d costituiscono la copia delle equazioni delle linee di trasmissione armoniche nel tempo. Esse possono essere combinate per ottenere equazioni differenziali in V(z) e I(z): d V dz d I dz ( z) ( z) ω ω LC LC V ( I z ) ( z) M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 19

20 Le soluzioni delle equazioni per le onde viaggianti nella direzione +z: jβz jβz V z V e e I z I e ( ) ( ) con la fase costante: β ω LC ω µε rad m La relazione tra V e I si ottiene dividendo le due precedenti relazioni: V I V I ( z) ( z) L C [ Ω] Z η [ Ω] Z Z é l impedenza in punto a distanza z, che corrisponde a quella di una linea infinitamente lunga (per la quale non si ha alcuna riflessione), essa é l impedenza caratteristica. d w µ ε d w M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e

21 d µ Z w ε d w η [ Ω] L impedenza caratteristica Z é(d/w) volte l impedenza intrinseca del mezzo dielettrico η. La velocità di propagazione lungo la linea é: ω ω 1 1 u p β ω LC LC µε m s che é uguale alla velocità di fase di onda piana TEM nel mezzo dielettrico. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 1

22 Linee di trasmissione piatte con perdite. Nel funzionamento reale le perdite sono dovute a due cause: il mezzo dielettrico potrebbe avere perdite non trascurabili le lastre potrebbero non essere conduttori perfetti. Per caratterizzare questi due effetti, si definiscono due nuovi parametri : G conduttanza per unità di lunghezza tra i due piatti e R resistenza per unità di lunghezza dei due piatti conduttori. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e

23 La conduttanza tra due conduttori separati da un mezzo dielettrico omogeneo avente permettività ε e una conduttività σ può essere determinata facilmente dal prodotto: C ε σ w RC G C essendo C ε G σ ε d w S G σ d m Se i due conduttori piatti paralleli hanno una conduttività grande ma finita σ c, si avrà una dissipazione di potenza nelle lastre conduttrici. Poiché il campo elettrico è legato alla densità di corrente dalla relazione : J E ρj se σ E σ M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 3

24 Per cui una condutttività finita, comporta un campo elettrico assiale non trascurabile a z E z nella superficie delle lastre, tale che il vettore medio di Poynting: 1 ( * P ) av a y pσ Re a z E z a x H x abbia una componente y ( normale alle superfici conduttrici), pari alla potenza media per unità di area p σ dissipata in ciascuna delle lastre conduttrici. Per calcolare la potenza dissipata, si consideri la lastra superiore dove la densità di corrente superficiale é J su H x. In generale si definisce impedenza superficiale del conduttore imperfetto: E E t comp.te tangenziale del campo elettrico t Z s [ Ω ] J J s densità di corrente superficiale s M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 4

25 Per la lastra superiore si ha: dove η c é l impedenza intrinseca della lastra conduttrice. Nella ipotesi che σ c sia la la conduttività della lastra conduttrice e che la frequenza sia sufficientemente alta, in modo che la corrente fluisca in uno strato superficiale molto sottile e possa essere rappresentata dalla densità di corrente superficiale J su. L impedenza intrinseca di un buon conduttore per il quale σ/ωε >>1 è: Et Ez E Z z ηc Ez Z H s s x Js Jsu Hx Z ( 1 + j) dove il pedice c si riferisce al conduttore. s R s + jx s π f µ c σ M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 5 c

26 Sostituendo la prima espressione della Z s nella espressione del vettore medio del Poynting : 1 ( * a ) z E z a x H P av a y pσ Re x Ez Z Hx Ez Z s essendo JsuHx si ottiene: s Jsu p σ 1 Re W m ( ) J Z J R su s su s 1 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 6

27 p σ 1 Re W m ( ) J Z J R su s su s 1 La potenza ohmica P σ dissipata per unità di lunghezza della linea piatta larga w è w p σ, può essere espressa in funzione della corrente superficiale totale I(1*w)J su wj su come: 1 R P wp I s σ σ w Questa equazione è l espressione della potenza dissipata quando una corrente sinusoidale di ampiezza I fluisce attraverso una resistenza R s /w. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 7

28 Perciò la resistenza serie effettiva per unità di lunghezza di entrambe le lastre della linea di trasmissione piatta di larghezza w è: R R w s w π f µ c σ c Ω m Riassumendo i parametri distribuiti (R, L, G e C per unità di lunghezza) di una linea di trasmissione piatta di larghezza w e distanza di separazione tra i piatti d: R w πfµ σ c c Ω m L µ d w H m G σ w d S m C ε w d F m M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 8

29 Linee Microstrip o sviluppo dei dispositivi e dei sistemi delle microonde allo stato olido ha portato ad una diffusione delle linee di trasmissione a lastre arallele chiamate line microstrip o più semplicemente striplines. na stripline consiste generalmente di un substrato di dielettrico esso sopra una lastra conduttrice collegata a terra con una striscia ottile e stretta di metallo sopra il substrato come mostrato in figura: Striscia metallica Striscia metallica Substrato dielettrico Substrato dielettrico Lastra conduttrice collegata a terra Lastra conduttrice collegata a terra Stripline Triplate line M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 9

30 Grazie allo sviluppo delle tecniche per i circuiti integrati, le striplines possono essere fabbricate e integrate facilmente con i componenti di un altro circuito. Si farà l ipotesi che siano trascurabili gli effetti di bordo: questa approssimazione è accettabile se la larghezza della strip di metallo è molto più grande dello spessore del substrato. Quando il substrato ha una costante dielettrica elevata, una approssimazione di propagazione TEM è ragionevolmente soddisfatta. Una soluzione analiticamente esatta delle striplines del tipo riportato in figura che soddisfi tutte le condizioni al contorno rappresenta un problema difficile. Non tutti i campi sono confinati nel substrato dielettrico; alcuni campi si disperderanno dalla lamina superiore verso la regione esterna, causando così interferenza nei circuiti prossimi alla linea. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 3

31 Sono quindi necessarie modificazioni delle formule semi-empiriche per i parametri distribuiti e per l impedenza caratteristica, per fare dei calcoli più accurati. Tutte queste grandezze tendono ad essere dipendenti dalla frequenza e le striplines sono dispersive. Un metodo per ridurre i campi dispersi delle striplines è di avere un piano conduttore a terra su entrambi i lati del conduttore dielettrico e di mettere la striscia metallica sottile all interno come riportato in figura. Questa configurazione è nota come triplate-line. Le triplate lines sono: più difficili e costose da fabbricare, ma l impedenza caratteristica di una triplate-line è metà di quella corrispondente a un strip line. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 31

32 Equazioni generali delle linee di trasmissione Si vogliono ora determinare le equazioni che rappresentano analiticamente il comportamento fisico delle linee di trasmissione comprese le linee piatte, a due fili e le linee coassiali. Le linee di trasmissione differiscono dalle reti elettriche ordinarie per una caratteristica fondamentale: le dimensioni fisiche delle reti elettriche ordinarie sono molto più piccole rispetto alla lunghezza d onda di funzionamento, le linee di trasmissione hanno generalmente una dimensione pari a una aliquota considerevole della lunghezza d onda e possono essere anche più lunghe della lunghezze d onda. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 3

33 Rete elettrica ordinaria Gli elementi circuitali in una rete elettrica ordinaria possono essere considerati discreti e possono essere descritti a parametri concentrati, assumendo: che le correnti fluiscano negli elementi del circuito concentrati, che non varino spazialmente su tali elementi e che non esistano onde stazionarie (*) (standing wave or stationary wave). Linea di trasmissione Una linea di trasmissione invece, è una rete a parametri distribuiti e deve essere descritta con un circuito a parametri distribuiti lungo tutta la lunghezza della linea. Fatta eccezione per alcune condizioni particolari, sono presenti le onde stazionarie. (*) l onda stazionaria é un onda formata dalla sovrapposizione di due onde che si propagano in direzione opposta. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 33

34 Si consideri un elemento differenziale di una linea di trasmissione alla quale sono associati i parametri R, L, C e G per unità di lunghezza: + i(z,t) R z L z N i(z+ z,t) + v(z,t) G z C z v(z+ z,t) - z Applicando le leggi di Kirchhoff alla maglia sinistra e al nodo N si ottiene: i( z,t ) v( z,t ) R z i( z,t ) L z v( z + z,t) t v( z + z,t ) i( z,t ) G z v( z + z,t ) C z i( z + z,t) t M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 34 -

35 Dividendo per z e considerando z, si ottengono le Equazioni generali per le linee di trasmissione v( z,t z i( z,t z ) R i( ) G v( z,t z,t i( z,t ) ) L t v( z,t ) C t ) Per una dipendenza temporale armonica utilizzando i fasori e un riferimento cosinusoidale si ha : v( z,t ) Re V [ ( ) j ω z e t ] i( z,t ) Re I( z) [ j ω e t ] dove V(z) e I(z) sono funzioni della coordinata spaziale z e possono essere complesse. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 35

36 Per cui le equazioni diventano le equazioni delle linee di trasmissione armoniche nel tempo: dv dz di dz ( z) ( z) ( R + jω L) I( z) ( G + jω C ) V ( z) Nella ipotesi di perdite nulle R e G : dv dz di dz ( z) ( z) jω LI jω CV ( z) ( z) M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 36

37 Caratteristiche dell onda nelle linee di trasmissione infinite Dalle equazioni delle linee di trasmissione armoniche nel tempo si possono ottenere le seguenti equazioni differenziali ordinarie di secondo grado in V(z) e I(z) rispettivamente: ( z) -1 dove γ α + jβ R+ jωl G+ jωc m è la costante di propagazione con: parte reale α costante di attenuazione della linea in[np/m] e parte immaginaria β costante di fase della linea in [rad/m]. Queste grandezze non sono delle costanti reali perché in generale dipendono da ω in modo complesso. ( z) dv di γ V ( z) γ I dz dz ( )( ) M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 37 ( z)

38 Le soluzioni delle equazioni armoniche sono: V I + + γ z ( z) V ( z) + V ( z) V e + V + + γ z γ z ( z) I ( z) + I ( z) I e + I e gli apici + e indicano onde che viaggiano nelle direzioni +z e -z rispettivamente e le ampiezza delle onde (V +, I + ) e (V -, I - ) sono legate dalle equazioni precedenti. e γ z Si può facilmente verificare che : + V V R + jω L + I I γ M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 38

39 Per una linea di lunghezza infinita il termine contenente il fattore e γz si annulla, non ci saranno onde riflesse e viaggeranno solo onde nella direzione z + per cui si ha: V + + ( z) V ( z) V e γ z ( ) ( ) + + I z I z I e Il rapporto della tensione per la corrente per ciascun valore di z per una linea infinitamente lunga ( per la quale si può ritenere che l onda riflessa è nulla) è indipendente da z ed è chiamata impedenza caratteristica della linea: Z R + jω L γ G Z e γ sono proprietà caratteristiche della linea, sia che questa sia di lunghezza infinita che finita. γ z γ R + + jω C G + jω L jω C [ Ω] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 39

40 Le espressioni della impedenza caratteristica e della costante di propagazione sono complesse, ma possono essere ottenuti i loro valori dalle seguenti formule valide per i seguenti tre casi limite: 1) Linea senza perdite R e G a) costante di propagazione γ α + jβ jω LC (é una funzione lineare di ω) b) velocità di fase (costante) ω u p β 1 LC c) impedenza caratteristica (costante) Z R + jx L C M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 4

41 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 41 ) Linea con basse perdite R<<ωL e G<< ωc ( condizione soddisfatta alle frequenze molto alte) a) costante di propagazione b) velocità di fase ( costante) c) impedenza caratteristica ( costante) LC j C L G L C R 1 C j G 1 L j R 1 LC j jβ α γ 1 1 ω ω ω ω LC 1 u p β ω C L C G L R 1 C L j C L C j G 1 L j R 1 C L jx R Z ω ω ω

42 3) Linea senza distorsione R/L G/C ( condizione soddisfatta alle frequenze molto alte) a) costante di propagazione RC C γ α + jβ + L L ( R + jωl) + jωc ( R jωl ) ω 1 b) velocità di fase u p ( costante) β LC c) impedenza caratteristica ( costante) Z R + jx R + jωl L ( RC / L) + jωc C M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 4

43 Poiché generalmente un segnale è costituito da più segnali distribuiti in una banda di frequenze, è importante che essi si propaghino lungo la linea di trasmissione alla stessa velocità per evitare distorsione. Questa condizione è: soddisfatta per le linee senza perdite ed éapprossimataper le linee con perdite molto basse. Per le linee con perdite l ampiezza delle onde viene attenuata e la distorsione si verificherà quando componenti a frequenza diversa sono attenuate differentemente, anche nel caso in cui viaggino alla stessa velocità. Per il caso più generale delle linee con perdite: la costante di fase non è una funzione lineare di ω e u p dipende dalla frequenza, per cui le componenti di frequenza diversa si propagano con velocità diversa con l inevitabile distorsione del segnale. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 43

44 Parametri delle linee di trasmissione parametro linea bifilare linea coassiale R Rs πa Rs 1 π a + 1 b Ω m L µ cosh π -1 ( D/a) µ ln π b a H m G πσ -1 cosh πσ ( D/a) ln( b / a) S m C πε -1 cosh πε F ( D/a) ln( b / a) m M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 44

45 Relazione tra la costante di attenuazione e la potenza La costante di attenuazione α di un onda viaggiante su una linea di trasmissione è la parte reale della costante di propagazione γ: ( γ ) Re( α + jβ ) Re ( R + j L)( G jc ) ( ) α Re ω + Essa può anche essere ottenuta dalla espressione della potenza, infatti per una linea di lunghezza infinita: γ z γ z V γ z V ( z) V ( z) V e I( z) I ( z) I e e Z La potenza media nel tempo propagata lungo la linea per ciascun valore di z sarà: 1 ( ) [ * ( ) ( )] V α z P z Re V z I z R e Z M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 45

46 La legge della conservazione della energia richiede che la velocità della diminuzione della P(z) con la distanza lungo la linea sia uguale alla perdita di potenza media nel tempo P L per unità di lunghezza: P z ( z) P L ( z) α P( z) Dalla quale si ottiene l espressione della costante di attenuazione α in funzione delle potenze P(z) e P L : α P L P ( z) Np ( z) m M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_6e 46