Descrizione vettoriale dell esperimento di risonanza magnetica

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1 Descriione vettoriale dell esperimento di risonana magnetica

2 oto di un momento magnetico in campo magnetico. Un momento magnetico (associato ad un momento angolare) in un campo magnetico è soggetto ad una fora che tende a riallinearlo al Campo. Questa fora (momento torcente) fa variare il momento angolare: Γ µ dj Il momento magneticoè proporionale al momento angolare (lo spin): µ J Se si moltiplicano ambo i membri per µ Γ dµ µ

3 Per risolvere questa uaione, è utile considerare un sistema di riferimento rotante.,, sistema di laboratorio (assi fissi),, sistema rotante (assi rotanti) coincide con e ruotano con velocità Si può ricavare che, per un vettore v generico, la trasformaioni nel sistema d assi rotanti implica: Variaione di v nel sistema di laboratorio dv δv v δt Variaione di v nel sistema rotante 3

4 Usando la precedente relaione nel caso dell uaione sul momento magnetico dµ µ Nel sistema di laboratorio δµ µ µ δt Cioe, esplicitando la derivata di µ rispetto al sistema rotante: δµ δt µ ( ) Questa uaione è uivalente alla uaione nel sistema fisso, purchè si sostituisca il campo magnetico con un campo effettivo eff (/) eff 4

5 La soluione della uaione del moto del momento magnetico nel sistema rotante è semplice se si assume eff, cioè se δµ δt In questa situaione Cioè µ è statico sistema rotante. Rispetto al sistema fisso quindi µ ruota alla velocità - Questa fruena è detta Fruena di Larmor Che è pari alla fruena di risonana tra due stati stati di spin con m± ν π 5

6 6 Si determina il moto di µ anche risolvendo l uaione delle tre componenti del momento magnetico (notare che, ): d µ µ d d d µ µ µ µ µ Le cui soluioni sono: t t t () sin () cos () ) ( µ µ µ µ µ µ

7 Il moto è una Precessione intorno alla direione del campo (in questo caso //), alla fruena di Larmor - µ > (caso di H o 3 C) la direione di è opposta a µ < (caso di elettroni) la direione di è la stessa di 7

8 Un campione macroscopico contiene un numero elevato di momenti magnetici elementari (dati dagli spin nucleari o elettronici). Il vettore magnetiaione è dato dal momento di dipolo magnetico totale per unità di volume i µ V All uilibrio: Quindi // 8

9 La componente è diversa da ero a causa della diversa popolaione degli stati di spin paralleli o antiparalleli al campo. Es: per S/ vi è un eccesso di spin β rispetto agli spin α Energia α β N α N β 9

10 Le componenti ed sono nulle all uilibrio perchè i singoli spin hanno fase statisticamente distribuita: la somma delle componenti ed si annulla.

11 Il vettore magnetiaione in un campo magnetico segue la legge del moto di un momento magnetico: d Quindi è soggetta ad un moto di precessione alla fruena di Larmor. (t) ( ) ( ) cos ( ) sin ( t ) ( t)

12 EPI DI RILASSAENO: Se si perturba la situaione di uilibrio, ad esempio partendo da e accendendo al tempo t il campo magnetico A t è e la agnetiaione è nulla A t> è e tende al valore di uilibrio con la legge: d ( ) t Da cui e t è detto il tempo di rilassamento Longitudinale (o tempo di rilassamento spin-reticolo)

13 EPI DI RILASSAENO: Se invece per qualche motivo vi sono componenti, della magnetiaione non nulle: Il sistema si porta all uilibrio annullando le componenti e, secondo le: d d Da cui t t e e Il tempo caratteristico viene detto tempo di rilassamento trasversale (o tempo di rilassamento spin-spin) 3

14 Il tempo si riferisce a processi che tendono a ripristinare l uilibrio termico, con le popolaioni di oltmann tra gli stati di spin Il tempo si riferisce a processi che tendono a disordinare la fase dei singoli spin e non dipendono da scambi di energia con l ambiente che circonda gli spin Esiste il seguente vincolo tra i due tempi di rilassamento: 4

15 Le uaioni del moto della magnetiaione in presena dei rilassamenti sono quindi: d d d 5

16 Cosa cambia nel moto della agnetiaione in presena di una radiaione elettromagnetica? La radiaione ha una componente magnetica oscillante lungo una direione ortogonale a //, ad esempio lungo r ( t) i cos( t) ˆ Una radiaione linearmente polariata può essere descritta come somma di due radiaioni circolarmente polariate con senso di rotaione opposto 6

17 Quindi la radiaione può essere descritta da: r ( t) i ˆ cos( t) ˆj sin( t) Il moto della agnetiaione in presena del campo statico e della radiaione, è definito in forma compatta dalla uaione d ( ) 7

18 Le uaioni per le singole componenti della magnetiaione sono le: Equaioni di loch d d d sin sin ( t) cos ( t) ( t) cos( t) Queste uaioni possono essere risolte per fornire i valori di,,. Risulta però conveniente ricorrere al sistema di riferimento rotante. 8

19 Supponiamo di avere la magnetiaione derivante da spin nucleari: il verso di precessione della magnetiaione è - -. Si considera la componente della radiaione che ruota nella stessa direione ( - ) In un sistema rotante alla stessa velocità angolare della radiaione, la componente è statica 9

20 Nel sistema rotante quindi il moto della magnetiaione è descritto da: d ( ) La agnetiaione nel sistema rotante risente di un campo efficace pari a eff eff Se allora In questo caso La agnetiaione nel sistema rotante risente di un campo efficace pari a

21 Le uaioni di loch nel sistema rotante si semplificano: d d d ( ) ( ) La soluione del caso staionario, (quando non si ha variaione di ) si ricava ponendo : d d d

22 Le componenti di nel caso staionario si ottengono dalle uaioni precedenti, (sistema di uaioni lineari):

23 3 In condiioni ordinarie si opera con intensità di radiaione bassa, quindi << condiioni di non saturaione In questa condiione le uaioni si semplificano:

24 La componente fuori fase di 9 con la radiaione è una funione Loreniana E viene detta componente di assorbimento ( ) a b La componente in fase con la radiaione è la componente in dispersione ( ) ( ) 4

25 La componente fuori fase con la radiaione è legata all assorbimento di potena della radiaione ed è la curva che viene rivelata in un esperimento spettroscopico convenionale In risonana magnetica la strumentaione è costruita per rivelare la componente della magnetiaione trasversale (assorbimento e/o dispersione). assorbimento dispersione 5

26 Le uaioni di loch nel sistema d assi di laboratorio : d d d ( ) ( ) ( ) Le relaioni che legano la magnetiaione descritta nel sistema fisso (,, ) alla magnetiaione nel sistema rotante (,, ) sono: cos( t) sin( t) cos( t) sin( t) sin( t) cos( t) sin t cos t Occorre ricordare che la componente di è in fase con il, e la componente 6 di è sfasata di 9

27 Le uaioni di loch nel sistema d assi rotante: cos sin ( t) sin( t) t cos t d d d ( ) ( ) 7

28 Le soluioni delle uaioni di loch, nel sistema d assi rotante, sono: << O, nel caso assorbimento (Loreniana) dispersione in-phase out-of-phase 8

29 Quindi le componenti della magnetiaione (soluioni delle uaioni di loch) nel sistema fisso sono: t t t t cos sin sin cos 9

30 Sperimentalmente, nelle risonane magnetiche (NR ed EPR) si misurano le componenti della magnetiaione ortogonali al campo : o obina di riceione (probe) La componente trasversale (nel piano,) della magnetiaione precede alla fruena di Larmor. La componente lungo della magnetiaione oscilla e genera una tensione oscillante alla fruena ai capi della bobina di riceione (flusso di variabile nella bobina) 3

31 Dimostraione del perché la componente fuori fase (rispetto alla radiaione incidente) della magnetiaione è relativa all assorbimento di energia Si definisce una magnetiaione complessa E una suscettività magnetica complessa c i ( ) χ ( ) χ ( ) χ c i " a vale la relaione: c χ c c Dove il campo è il campo della radiaione. Si considera il campo oscillante della radiaione come la parte reale di una grandea complessa: c [ cos( t) i sin( t) ] [ ] cos t Re c 3

32 Inoltre si considera la componente come la parte reale della magnetiaione complessa: [ ] [ ] c c c χ Re Re Svolgendo il prodotto χ c c si ottiene: t t χ χ sin " cos Se si confronta con le espressioni per e t t t t cos sin sin cos 3

33 si vede che risulta: " χ χ E anche " χ χ Componenti della agnetiaione nel sistema rotante 33

34 Per determinare la potena assorbita da un campione si deve considerare il sistema costituito dal campione e la bobina. L impedena rappresentata da una induttana L e da una resistena R in serie è data da: Z R il La potena dissipata in un ciclo è pari a: P I R Dove I è la corrente massima che percorre il circuito. In assena del campione l impedena è data dalla resistena e dalla induttana della bobina: Z R i L Il campione modifica l impedena variando l induttana (cambia la permeabilità magnetica µ ): L L ( 4πχ ) c 34

35 Risulta quindi: Z Z R il ( 4πχ c ) ( R πχ ") i ( 4 ) L 4 πχ La dissipaione di potena è legata alla componente resistiva, quindi alla parte immaginaria della suscettività magnetica χ χ" ( ) Quindi i picchi di assorbimento in risonana magnetica sono dati da f A ( ) Dove A è una costante che dipende da fattori strumentali 35