Capitolo 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (prof. Elio Sacco) 4.1 Le equazioni dell arco Equazioni di equilibrio

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1 Capitolo 4 TRAVE AD ASSE CURVILINEO (prof. Elio Sacco) 4.1 Le equaioni dell arco Equaioni di equilibrio Si consideri una trave ad asse curvilineo. Per determinare le equaioni di equilibrio si consideri il tratto di trave, di lunghea infinitesima, riportato in figura 4.1. Imponendo l equilibrio si determinano le seguenti equaioni: equilibrio alla traslaione verticale T cos dθ dθ + N sin + p +(T + dt )cos dθ +(N + dn)sindθ =0 (4.1) equilibrio alla traslaione oriontale N cos dθ dθ T sin + q +(N + dn)cos dθ (T + dt )sindθ =0 (4.) equilibrio alla rotaione à M T Rtan dθ R +q cos dθ! R (T + dt ) R tan dθ +M+dM+m=0 (4.3) 55

2 56 CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO) p * T B M A q * M+dM N T+dT N+dN dθ O Figura 4.1: Tratto infinitesimo di trave ad asse cuvilineo. avendo indicato con q il carico distribuito agente lungo la tangente alla trave, con p il carico distribuito radiale alla trave curva e con m le coppie distribuite. Poiché il tratto è di lunghea infinitesima,sipuòporre: cos dθ 1 sin dθ per cui le equaioni (4.1), (4.) e (4.3) diventano: dθ tan dθ (4.4) T + N dθ + p +(T + dt )+(N + dn) dθ =0 (4.5) N T dθ + q + N + dn (T + dt ) dθ =0 (4.6) M TR dθ + q (R R) (T + dt ) R dθ + M + dm + m=0 (4.7) Semplificando e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, si ottiene: Ndθ+ p + dt =0 (4.8) Tdθ+ q + dn =0 (4.9) T Rdθ+ dm + mrdθ=0 (4.10)

3 4.1. LE EQUAZIONI DELL ARCO 57 Dividendo tutto per e ricordando che = Rdθ, si ottengono le equaioni indefinite di equilibrio della trave ad asse curvilineo: dt + 1 R N + p =0 (4.11) dn 1 R T + q =0 (4.1) dm T + m =0 (4.13) che in forma matriciale diventano: con = d 1 R 1 0 R d d Q + f = 0 (4.14) Q = T N M f = p q m (4.15) dove rappresenta l operatore differeniale matriciale, Q il vettore delle caratteristiche della sollecitaione ed f il vettore delle fore nel sistema di riferimento locale. Si evidenia che le fore esterne hanno direione radiale e tangente la curva, che cambiano da seione a seione lungo l ascissa curvilinea della trave. Per scrivere le equaioni di equilibrio facendo riferimento a fore espresse rispetto ad un riferimento globale e fisso, si considera la tipica seione della trave ad asse curvilineo rappresentata in figura 4. e si trasformano le componenti delle fore lette nel riferimento locale (, ) in componenti nel riferimento globale (, ). Con riferimento alla figura 4. si ricava: p = p cos θ q = q sin θ p = p sin θ q = q cos θ (4.16) equindi p q m ovvero = p + q p + q m = p cos θ + q sin θ p sin θ + q cos θ m f = Rf R= = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ cos θ sin θ 0 sin θ cos θ p q m (4.17) (4.18)

4 58 CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO) q * p p * q * θ * * * q * p * q * q * θ p * θ p * Figura 4.: Decomposiione delle fore nel sistema di riferimento globale. Atitolodiesempioinfigura4.3illustratounarcosoggettoacaricocirconferenialeq eradialep, determinando i valori di q e p per diversi valori dell anomalia θ: p (0) q (0) = p(0) p(0) q(0) = q(0) m(0) m(0) m(0) p (45) q (45) = p(45) q(45) = p(45) q(45) p(45) + q(45) (4.19) m(45) m(45) m(45) p (90) p(90) q(90) q (90) = q(90) = p(90) m(90) m(90) m(90) In definitiva, l equaione di equilibrio (4.14) riscritta nel riferimento globale dei carichi assume la forma: Q + Rf = 0 (4.0) 4.1. Cinematica Per quanto riguarda la cinematica della trave ad asse curvilineo, si assume che la generica seione retta resti piana a deformaione avvenuta e subisca una traslaione lungo la tangente, una traslaione lungo la normale alla curva della trave ed una rotaione, come illustrato schematicamente in figura 4.4.

5 4.1. LE EQUAZIONI DELL ARCO 59 p * (0) q * (0) p * (45) q * (45) p * (90) q * (90) Figura 4.3: Carichi circonfereniali e radiali agenti su un arco circolare a tutto sesto. p * * q t n * v * w 0 * ϕ * Figura 4.4: Cinematica della trave.

6 60 CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO) Il campo di spostamenti nel sistema di riferimento locale (, ) assume la forma: u = v (s) u 3 = w 0 (s)+ ϕ (s) (4.1) ovvero in forma vettoriale: u = v (s) n (s)+[w 0 (s)+ ϕ (s)] t (s) (4.) Indicando con s0 l ascissa curvilinea della fibra a distana dall asse della trave curvilinea, la derivata del campo di spostamenti rispetto a s0 vale: u,s 0 = v,s 0n + v n,s 0 +[w 0 + ϕ],s 0 t +[w 0 + ϕ] t,s 0 (4.3) Tenendo conto delle formule di Frenet 1 : l equaione (4.3) diventa: n,s 0 = 1 R t t,s 0 = 1 R n (4.4) u,s 0 = ½ v,s La deformaione si determina allora come: + Tenendo conto della relaione: ¾ R [w 0 + ϕ] n (4.5) ¾ t ½ 1 R v +[w 0 + ϕ],s 0 ε = u 3 = 1 s 0 R v + w0,s 0 + ϕ,s 0 (4.6) γ = u + u 3 s 0 = v,s R [w 0 + ϕ]+ϕ s 0 = R R s (4.7) 1 Frenet, Jean (Périgueux Périgueux 1900), etrato nella Scuola Normale Superiore nel 1840, ha studiato successivamente a Tolosa, dove scrisse la sua tesi di dottorato nel Parte della tesi contiene la teoria delle curve nello spaio e le formule ben note come Formule di Frenet. Frenet in realtà fornì solo 6 delle 9 formule; infatti Serret successivamente ha determinato le altre 3. Frenet ha pubblicato parte della tesi in Journal de Mathématiques Pures et Appliques nel 185. Frenet diventò professore a Tolosa, quindi nel 1848 si trasferì a Lione come professore di matematica, dove è stato direttore dell osservatorio astronomico, conducendo studi anche sulla meteorologia.

7 4.1. LE EQUAZIONI DELL ARCO 61 la (4.6) diventa: ε = 1 v + R R R w 0,s + ϕ,s γ = R v R,s + 1 [w R 0 + (4.8) ϕ]+ϕ Nel caso di trave ad asse rettilineo in cui il raggio di curvatura sia molto maggiore della dimensione della seione retta, i.e. R À, le equaioni di congruena (4.8) forniscono: ε = 1 R v + w 0,s + ϕ,s (4.9) γ = v,s + 1 R w 0 + ϕ La deformaione assiale, la curvatura e lo scorrimento angolare in definitiva valgono: ε 0 = 1 R v + w 0,s c = ϕ,s γ = v,s + 1 R w 0 + ϕ (4.30) che in forma matriciale diventano: con e = d 1 R 1 1 R d d e η = d (4.31) η = v w 0 ϕ d = γ ε 0 c (4.3) Introducendo il vettore degli spostamenti η, letti nel sistema di riferimento globale, come il ruotato tramite la matrice R del vettore η,siha: per cui l equaione (4.31) diventa η = R η (4.33) e R η = d (4.34) Legame costitutivo Le relaioni tra gli enti deformaione della trave (γ,ε 0,c) elecaratteristichedella sollecitaione (T,N,M) sono: T = GA s γ N = EAε 0 (4.35) M = EIc ovvero in forma matriciale: Q = Cd (4.36)

8 6 CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO) con C = GA s EA 0 (4.37) 0 0 EI essendo E il modulo elastico, G il modulo a taglio, A l area della seione retta, I il momento d ineria della seione retta e A s l area efficace a taglio Problema dell equilibrio elastico Il problema dell equilibrio elastico è definito dalle equaioni derivate, riportate per maggiore chiarea nel seguito. Equaioni di equilibrio (4.0) Q + Rf = 0 (4.38) Equaioni di congruena (4.34) Equaionidilegame(4.36) e R η = d (4.39) Q = Cd (4.40) L equaione della linea elastica per la trave ad asse curvilineo si ottiene sostituendo la (4.39) nella (4.40) ed il risultato nella (4.38), premoltiplicata per R T : Esempio 1 R T C e R η + f = 0 (4.41) Si considera un arco circolare a tutto sesto incastrato e soggetto ad una fora concentrata F in chiave, come illustrato in figura4.5. Vistalasimmetriadellastrutturaè possibile studiare solo la metà dell arco come mostrato in figura 4.5. Si risolve il sistema di equaioni differeniali (4.41) ponendo f = 0. Lecostantidi integraione si determinano imponendo le condiioni al contorno: T (0) = F/ w(0) = 0 ϕ(0) = 0 v(π/) = 0 w(π/) = 0 ϕ(π/) = 0

9 4.1. LE EQUAZIONI DELL ARCO 63 F F/ Figura 4.5: Arco corcolare a tutto sesto incastrato. Si considerano i seguenti dati geometrici, del materiale e di carico: seione rettangolare b =100mm, h = 100 mm; arco circolare R =865mm; moduli elastici: E =1500MPa, ν =0.; fora applicata: F = 5000 N. In figura 4.6 sono riportati i diagrammi del taglio, dello sforo normale e del momento flettente per l arco incastrato, ottenuti come soluione del problema dell equilibrio elastico. Analogamente in figura riportati i diagrammi degli spostamenti oriontali e verticali dell arco Esempio Si considera un arco circolare a tutto sesto incernierato agli estremi e con una cerniera anche in chiave. Tale schema è comunemente detto arco a tre cerniere. La struttura è soggetta anche in questo caso ad una fora concentrata F in chiave, come illustrato in figura 4.8. Come per il caso precedente, vista la simmetria della struttura è possibile studiare solo la metà dell arco come mostrato in figura 4.8. Poichè la struttura è isostatica è possibile risolvere il problema statico indipendentemente dalla cinematica. La soluione delle equaioni differeiali di equilibrio (4.8),

10 64 CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO) taglio sforo normale momento flettente Figura 4.6: Diagrammi del taglio, dello sforo normale e del momento flettente per l arco incastrato. spostamento verticale spostamento oriontale Figura 4.7: Diagrammi degli spostamenti oriontali e verticali dell arco.

11 4.1. LE EQUAZIONI DELL ARCO 65 F F/ Figura 4.8: Arco a tre cerniere soggetto ad una fora concentrata in chiave. (4.9) e (4.10), assume la forma: N = 1 F (cos θ +sinθ) T = 1 F (cos θ sin θ) T = 1 FR(cos θ +sinθ 1) In figura sono riportati di diagrammi del taglio, dello sforo normale e del momento flettente per R =865mm e F =5000N,

12 66 CAPITOLO 4. TRAVE AD ASSE CURVILINEO (PROF. ELIO SACCO) taglio sforo normale momento flettente Figura 4.9: Taglio, sforo normale e momento flettente per un arco circolare a tre cerniere.