4.2 Sforzo normale e flessione, (presso-flessione e tenso-flessione)

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1 DIDTTIC DI DISEGNO E PROGETTZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CRMELO MORN ING. LUR SGRBOSS MODULO QUTTRO IL PROBLEM DELL TRVE DI DE SINT VENNT (PRTE D) MTERILE DIDTTICO D UTILIZZRE IN UL (SCUOL SUPERIORE) Esempio di leione 4.1 Ellisse centrale d ineria e nocciolo centrale d ineria 4. Sforo normale e flessione, (presso-flessione e tenso-flessione) 4.3 Flessione composta

2 4.1 Ellisse centrale d ineria e nocciolo centrale d ineria Il momento d ineria assiale di una superficie di area è dato dalla somma dei prodotti di aree elementari che compongono la superficie per i quadrati delle rispettive distane dall asse considerato. In riferimento alla generica seione di figura 13, rispetto agli assi e, i momenti d ineria della superficie valgono a ; a 1a) in forma integrale: da ; da. 1b) I momenti d ineria polari sono analogamente definiti come la somma dei prodotti di tutte le aree elementari componenti la superficie per i quadrati delle loro distane dal polo considerato; i momenti d ineria polari sono infatti calcolati rispetto a poli giacenti nel piano della superficie, ossia rispetto ad assi normali alla superficie, la cui interseione con la superficie stessa individua i poli. Le distane delle singole aree elementari dal polo si chiamano raggi polari r. Y + - O X + - figura 13

3 In particolare esistono due momenti d ineria rispetto agli infiniti assi baricentrici che godono la proprietà di essere uno il massimo e l altro il minimo; tali momenti d ineria sono detti principali e gli assi ad essi corrispondenti sono assi principali d ineria, i quali hanno la caratteristica di essere baricentrici ed ortogonali tra loro. I raggi d ineria corrispondenti a tali momenti principali sono anch essi principali, uno massimo e l altro minimo; i momenti d ineria e i corrispondenti raggi d ineria calcolati rispetto ad assi baricentrici non principali, hanno quindi valori compresi tra il massimo e il minimo dei momenti d ineria e i raggi d ineria principali. Se si calcola quindi il momento d ineria rispetto ad un qualsiasi asse a baricentrico non principale, risulta sempre una relaione del tipo a ρ ) a dove ρ a è il generico raggio d ineria non principale, e risulta steso su una direione b non perpendicolare ad a, ma le direioni a e b sono legate da una particolare relaione di geometria proiettiva, sono cioè coniugate. Immaginando di calcolare i momenti d ineria rispetto a tutti gli infiniti assi baricentrici di una geometria qualunque, le estremità degli altrettanti raggi d ineria che otterremmo, intesi come raggi vettori a partire dal baricentro O della seione, individuano sempre la figura geometrica di un ellisse, (un cerchio quando gli assi principali d ineria sono uguali). Tracciare l ellisse centrale d ineria di una seione è utile per esprimere visivamente la capacità ineriale della figura stessa. L ellisse centrale d ineria permette anche di ricavare il nocciolo centrale d ineria i quale è definito come la ona in cui deve cadere il carico per avere sollecitaioni di tipo omogeneo, per cui la seione risulta o tutta compressione o tutta traione, in altre parole il nocciolo centrale d ineria è il luogo geometrico dei punti che hanno l asse neutro esterno o tangente alla seione. Geometricamente si tratta di un area centrale della seione, delimitata da punti, la cui successione individua linee curve o speate chiuse. E possibile ricavare la rappresentaione del nocciolo centrale d ineria con una costruione grafica impostata sull ellisse principale d ineria. [6].

4 4. Sforo normale più flessione, presso-flessione e tenso-flessione Se una o più seioni, di un elemento strutturale, sono sollecitate contemporaneamente da uno sforo normale di compressione o traione e di flessione, il caso viene comunemente detto, di pressoflessione o tenso-flessione rispettivamente. Poiché le tensioni interne indotte dalle singole sollecitaioni di sforo normale e di flessione sono della stessa natura, essendo tensioni del tipo σ normali al piano di seione, pur con diversa distribuione, lo stato pensionale complessivo della sollecitaione composta è dato dalla somma algebrica delle somme pariali dovute alle singole sollecitaioni. Viene perciò applicato il principio della sovrapposiione degli effetti. Nella realtà ci troviamo di fronte ad una sollecitaione presso o tenso-inflessa quando per esempio gli elementi strutturali (pilastri, muri) sono caricati da sfori normali non assiali, per cui la retta d aione del carico è spostata dall asse baricentrico di una distana e detta eccentricità dello sforo. Figura 14. figura 14 Un altro esempio di sollecitaione composta si può riscontrare nelle due travi di una scala a pioli, infatti il carico P verticale dovuto al peso di una persona su di un piolo, si scompone in una componente normale all asse della trave che genera flessione, e una componente assiale che genera compressione.

5 Le tensioni caratteristiche agli estremi della seione di una trave prismatica, sono quindi date dalle seguenti formule generali: N M σ ± nel caso di presso-flessione 3a) W N M σ + ± nel caso di tenso-flessione. 3b) W Si vuole ora discutere la relaione che esiste tra la posiione del centro C di pressione, di un carico P, e il relativo asse neutro n. P + n O C - M W n P Y X O X n Y figura 15 Si consideri la parte di diagramma delle tensioni negative di compressione di figura 15, dove si trova il centro di pressione C. Per tutti i punti della parte compressa le tensioni σ possono essere calcolate, tenendo conto della convenione dei segni, con la formula: N M σ ; 4) W in particolare per i punti situati lungo l asse neutro vale per definiione stessa di tale asse:

6 N σ M W 0 dove il momento flettente vale: M Pe 5) e il modulo di resistena W relativo ai punti della seione situati sull asse neutro, a distana dall asse baricentrico, vale: W ρ 6) Sostituendo nella 4), (con la risultante delle fore NP ) si ricava: P Pe ρ e 1 ρ 0 e ρ. 7) Dall espressione ottenuta si può notare che essendo il prodotto e sempre negativo; e ed sono sempre di segno contrario, quindi il centro di pressione C e l asse neutro sono sempre in posiione opposte rispetto all asse baricentrico inoltre il prodotto e è sempre uguale ad una quantità costante, essendo il raggio d ineria ρ una caratteristica geometrica della seione. La 7) dichiara anche che il raggio d ineria è medio proporionale tra le distane e ed, la posiione cioè del centro di pressione e dell asse neutro è una corrispondena biunivoca. In particolare valgono le seguenti proprietà: a) se il centro di pressione cade internamente al nocciolo, l asse neutro è esterno alla seione; la quale sarà di conseguena tutta compressa o tutta tesa; b) se il centro di pressione cade sul perimetro del nocciolo l asse neutro è tangente alla figura e ancora la seione si trova tutta il compressione o tutta in tensione; c) se il centro di pressione coincide con un vertice del nocciolo, allora l asse neutro è tangente al lato opposto della figura; d) in fine se il centro di pressione è esterno al nocciolo, l asse neutro passa attraverso la seione che è allora in parte tesa e in parte compressa.

7 4.3 Flessione composta La flessione composta, secondo il riferimento di figura 16, è caratteriata da uno sforo di tagliot, costante lungo tutta la trave, applicato alle teste della trave stessa. In caso di simmetria della seione rispetto agli assi, all interno si crea un momento M, incostante, (e questa incostana lo rende diverso dal caso della flessione semplice), che equilibra il momento Tl, solo ad una delle basi; il momento M quindi, garantisce l equilibrio alla rotaione, attorno all asse. figura 16 In caso di non simmetria rispetto ad un asse, come per esempio nel caso di un profilo a C, e quindi nel caso che lo sforot non è applicato al baricentro della seione, si introduce una coppia torcente M M t, applicata ad entrambe le teste e dipendente da T ; è interessante precisare che tale coppia se lo sforo T è applicato nel centro di taglio [6], relativo alla seione trasversale, da un punto di vista della deformaione non genera effetti torsionali, cioè rotaioni relative delle seioni trasversali, intorno all asse longitudinale. In conclusione i parametri di sollecitaione diversi da ero sono: T, M, M M. E possibile risolvere il problema con una trattaione approssimata che fornisce uno strumento operativo più pratico e utiliabile. t

8 Nella trattaione approssimata, che impone le sole condiioni di equilibrio, si considera un piccolo cilindretto interno ad una generica trave e si nota che alle teste del cilindretto estratto, agisce una fora σ variabile, poiché lo è il momento avranno una serie di τ e le reciproche τ. M ed è σ e σ + σ d ; all interno del cilindretto si figura 17a figura 17b Sia c la lunghea del contorno, facendo l equilibrio alla traslaione lungo la direione, la differena tra la risultante degli sfori σ alle basi, dovrà equilibrare la risultante degli sfori τ n integrati sulla superficie laterale del cilindretto: σ τ dds c dd integrando e sostituendo la 58a) a destra dell uguale, si ha:

9 T T T T τ c d ( ) d d in conclusione poiché vale il principio di reciprocità: S TS τ τ 8) c ed è detta formula di urawski. Si nota subito che il valore T c è costante quindi, i termini τ n variano secondo la distribuione dei momenti statici che possono avere andamento di tipo lineare o parabolico: S f () S f ( ).