EL. FINITI CON TERMINI DI RIGIDEZZA ANALITICI

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1 E. INITI CON TERINI DI RIGIDEZZA ANAITICI a prima classe di elementi initi esaminata riguarda elementi initi monodimensionali, di cui si conosce la soluione analitica a diione monodimensionale va intesa come dipendenti da una sola variabile Elemento asta gdl per nodo elemento ha gdl Se l area è costante, tagliando l elemento e acendo equilibrio a destra: ε σ E ; d ε d d d Per calcolare K i si impone Dall equilibrio in : K EA K 0 EA Imponendo anche l altro spostamento si ottiene l intera matrice K K EA

2 Carico distribuito lungo asta Si è già detto che negli elementi initi le incognite sono spostamenti nodali, la struttura discretiata può quindi essere caricata solo in corrispondena dei nodi, pertanto i carichi distribuiti vanno riportati ai nodi equivalena si basa sull equilibrio globale e sulla congruena degli spostamenti Sistema reale q Sistema equivalente Per l equilibrio: Per la deormaione: q 0 0 q q d d q { } q q q T

3 Pertanto, per l elemento in esame si scrive il sistema discretiato come EA q q Variaione lineare temperatura lungo asta Sistema reale Sistema equivalente T T Anche in questo caso si utiliano le due condiioni di equilibrio e congruena Per l equilibrio: 0 0

4 Per la deormaione: α T m d d α T m α Tm { } { α T α T } T m m Il sistema completo dei carichi termici è il seguente EA α T α Tm m Elemento barra di torsione 4 gdl per nodo elemento ha gdl e consideraioni per il calcolo sono del tutto analoghe al precedente γ τ G ϑ γ R τ G R dϑ γ R d τ d G R t G J R d p R 4 dϑ t G J p d 4 t G J p

5 Considerando ora le reaioni della struttura a spostamenti imposti si ricava la matrice di rigidea barra di torsione K G J p Elemento trave nel piano -,η gdl per nodo elemento ha 4 gdl Si suppone che il sistema di rierimento locale, - sia principale per la seione (se si trattasse di lessione deviata basterebbe comporla nei due piani principali) a soluione si determina integrando l equaione della linea elastica (acendo l equilibrio della parte sinistra) ( ) d η d ( ) - η ( ) C C Per l equilibrio si ha anche Per calcolare K i si impone uno 0 spostamento unitario del solo ϑ 0 0 ϑ 0

6 C ϑ 0 C ϑ 0 0 ( ) e altre colonne della K andrebbero ora calcolate modiicando (a rotaione) le condiioni al contorno ϑ ϑ <> <> <> <> K <> <> <> <>

7 a matrice di rigidea precedente si modiica se si considera anche la lessibilità causata dal taglio η taglio ( ) attore di taglio χ T γ m d d 0 0 G A χ A S i A J bi da χ T G A a deormabilità totale è la somma di quella lessionale e taglio ( T ) η ( ) η ( ) η ( ) Tot less taglio G A χ η ( ) Tot ( ) Tot ( Φ ) χ G A χ G A η Questo ornisce il nuovo termine -, gli altri si trovano in modo simile Φ <> <> <> <> K ( Φ ) - ( 4 Φ ) ( Φ ) - ( Φ ) ( 4 Φ ) <> <> <> <>

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9 Carico distribuito lungo trave In questo caso il carico distribuito agisce ortogonalmente all asse della trave Si cercano le ore generaliate che sono equilibrate e congruenti con q,η Sistema reale,η Sistema equivalente q q 0 q (polo) Per l equilibrio: 0 0 q q Per la congruena della deormaione: Bisognerebbe ripartire dalla 0 4 d η J d E ( ) q( )

10 ϑ ϑ q 4 q ϑ 4 ϑ ϑ ( ) ( ) ( ) ( ) ϑ q ; q { } q q q q T Pertanto, per l elemento in esame si scrive il sistema discretiato come ϑ 4 ϑ q q q q

11 Gradiente di temperatura trasversale per la trave,η Sistema reale T- T T T,η a temperatura ha una componente media che provoca allungamento uniorme che agisce sui gradi di libertà assiali (già conteggiata con asta) a componente variabile all intra/estra-dosso induce invece rotaioni Per l equilibrio (il polo è sempre ): Sistema equivalente Vediamo la curvatura assunta per eetto grad. termico R α T α T cost R h R h α T ϑ( 0) ϑ( ) h R α T α T

12 Per la congruena della deormaione: ϑ ϑ α T h α T ϑ h ϑ ϑ ϑ ( ) ( ) ( ) ( ) α T ; h α T h { } α T 0 0 h α T h Per l elemento trave il sistema discretiato in presena grad. termici è T ϑ 4 ϑ α T h 0 0

13 Elemento trave nel piano - È del tutto analogo al caso precedente, salvo vedere numeraione gdl e loro orientaione che è diversa Si a notare che in questa trattaione, i gdl di rotaione sono stati presi secondo la regola del cavatappi rispetto all asse ove si appoggiano,η 0 9 Pertanto la matrice di rigidea sarà tale e quale, a meno di alcuni segni cambiati, si riscrive la matrice evideniando i segni modiicati <9> <0> <> <> K ( Φ ) - ( 4 Φ ) ( Φ ) - ( Φ ) ( 4 Φ ) <9> <0> <> <> Si cambiano i segni ai termini rotaionali anche per quanto concerne carichi distribuiti e gradienti termici

14 Elemento trave (beam) nello spaio Si tratta semplicemente dell elemento che assomma tutte le caratteristiche in qui esaminate per quanto riguarda gli elementi monodimensionali gdl per nodo elemento ha gdl a matrice di rigidea si ottiene assemblando opportunamente tutte le rigidee esaminate

15 <> <> <> <4> <> <> <> <> <9> <0> <> <> Assiale Torsione. lessione - lessione - Tutti i termini uori dei quadrati tracciati sono nulli a scelta dei gdl atta rende la matrice molto ben bandata Si rammenta l ipotesi che i piani di rierimento di normale e siano principali Se così non osse si avrebbe accoppiamento tra le lessioni e valori non nulli in tutta la ona lessionale Un altra ipotesi implicita atta è che il centro di taglio sia nell interseione delle direioni principali di ineria, altrimenti si accoppiano la torsione e la lessione Se si perde l ipotesi di omogeneità (ad es. materiali compositi stratiicati) si può anche avere l accoppiamento di tutti i termini