TEORIA STRUTTURALE DELLE TRAVI

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1 TEORIA STRUTTURALE DELLE TRAVI SCOPO: ridurre un problema intrinsecamente tridimensionale ad un problema monodimensionale, senza perdere in accuratezza dei risultati Per trave si intende quel solido che ottengo dalla traslazione rigida di una figura piana (la sezione) che si mantiene ortogonale alla traiettoria del suo baricentro (asse geometrico) Lo sviluppo in lunghezza e gli eventuali raggi di curvatura devono essere più grandi della massima dimensione i lineare della sezione

2 Trave piana con asse geometrico rettilineo (asse x) e sezione costante (Teoria secondo Timoshenko) Ipotesi : si assume uno stato piano di sforzi nel piano x-y, essendo x l asse della trave; z x y σ x σ = 0 τ xy

3 Ipotesi : sezioni inizialmente rette si mantengono tali durante il processo deformativo. u(x) x y v(x) ϕ(x)

4 Stante le ipotesi di cui sopra e l ipotesi di piccoli spostamenti, la deformata della trave è completamente governata dai seguenti spostamenti generalizzati: u sx ( x,y) = u( x) yϕ( x) sx 0 y = v ( ) = ( ) sy x,y v x sy 0 0 ϕ s b U

5 Dalle equazioni di congruenza ricavo le deformazioni ε x = u, x y ϕ, x η+ yχ η ε x 0 y ε = = y 0 γ t χ γ = ϕ+ xy 0 0 xy v, x t ε n q Dove q sono le deformazioni generalizzate così definite: η= u, x t = ϕ+ v, χ= ϕ, x x Queste equazioni sono chiamate equazioni di congruenza generalizzate.

6 Le corrispondenti quantità statiche generalizzate le introduco preservando l equazione dei lavori virtuali: Definizione degli sforzi interni generalizzati L L L T T T T T T Li = εσdv = qnσdadx = q n σdadx = qqdx V 0 A 0 A 0 Q xda 0 σ A N σx Q = 0 da = τ xyda T τ A xy A y 0 M y xda σ A dx T N M

7 Definizione delle forze esterne generalizzate: L L L T T T T T T Le = sfdv = UbFdAdx = U bfdadx = UPdx V 0 A 0 A 0 P FdA x 0 F A x P = 0 da = FdA y F A y A y 0 yfx da A n p m n dx m p NB. Formulare una teoria strutturale vuol dire sostituire le variabili cinematiche (spostamenti e deformazioni) e statiche (forze e sforzi) che governano il continuo generico con opportune quantità dette generalizzate che forniscono informazioni medie dei valori locali in una regione della struttura (la sezione della trave).

8 Le equazioni di equilibrio possono essere ottenute per ragionamento diretto imponendo l equilibrio di un concio infinitesimo di trave. M N n m p M+dM N+dN T dx T+dT dn RX = 0 -N+N+dN+ndx=0 + n = 0 dx dt Ry = 0 TTdT T-T-dT-pdx=0 d + p = 0 dx dx dm M = 0 M+Tdx+mdx- pdx -M- dm=0 T m = 0 dx 0

9 Rimangono da determinare le equazioni del legame costitutivo, cioè quelle equazioni che legano sforzi generalizzati con le deformazioni generalizzate. Per ottenere queste equazioni sfrutto l ipotesi secondo la quale lo stato di sforzo è piano: T T T T Q = n σda = ndεda = n dnqda = n dnda q = Dq A A A A D Matrice di rigidezza del problema piano negli sforzi = Dove: n 0 y = 0 0 In forma estesa ho:

10 D E 0 0 E ν 0 0 y 0 y = 0 da 0 G ν = da = A 0 G 0 0 A 0 0 y 0 ye 0 ν E ye 0 EA 0 0 ν ν ν EA 0 0 = 0 G 0 da = 0 GA 0 0 GA 0 A ye y E 0 0 EI 0 0 EI 0 ν ν da cui: Per ovviare al problema di eccessiva rigidezza, tipico delle teorie strutturali N= EAη M= EIχ T = GAt

11 Formulazione del problema elastico Sostituendo le equazioni di congruenza in quelle del legame costitutivo si ottiene: N= EAu,x M= EIϕ,x T = GA v,x ϕ Sostituendo ora nelle equazioni di equilibrio: ( ) EAu + n = 0,x,x ( ) con condizioni al contorno su u oppure su N=EAu ( GA ( v,x ϕ )) + p = 0,x (,x ) (,x ) EI ϕ + GA v ϕ + m = 0,x con condizioni al contorno su ϕ oppure su M=-EIϕ v oppure su T=GA ( v,x ϕ ) NB. Il problema assiale e quello flessionale sono disaccoppiati,x,x

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14 Trave piana con asse geometrico rettilineo (x ) e sezione costante (Teoria secondo Eulero-Bernoulli) Quella finora vista è la teoria della trave di Timoshenko; nel caso di travi snelle (rapporto lunghezza altezza maggiore di 5) è possibile formulare la seguente ipotesi aggiuntiva: Ipotesi : le sezioni inizialmente rette non solo si mantengono piane durante il processo deformativo (Ipotesi ), ma anche ortogonali all asse asse della trave.

15 u(x) x y v(x) v,x (x) ϕ(x) Ne consegue che: ( ) ( ) ϕ x v, x t = ϕ+ v, 0 x x Ciò equivale quindi a trascurare le deformazioni taglianti Gli spostamenti generalizzati indipendenti sono: u, v

16 Vediamo come cambiano le equazioni finora scritte: Equazioni di congruenza generalizzate η= u, x t = ϕ+ v, χ= ϕ, x x η = u, x χ = v v, xx Equazioni di equilibrio dn dn + n = 0 n 0 dx + = dx dt dt + p = 0 + p = 0 dx dx dm dm T m 0 T 0 = = dx dx dm + p = 0 dx

17 Equazioni del legame costitutivo N= EAη M M = EI χ T = GAt N= EAη M= EIχ NB. Il taglio non può più quindi essere calcolato attraverso il legame costitutivo, ma solo attraverso l equilibrio: T = dm dx

18 Formulazione del problema elastico Sostituendo le equazioni di congruenza in quelle del legame costitutivo si ottiene N= EAu,x M= EIv,xx Sostituendo ora nelle equazioni di equilibrio: ( ) EAu + n = 0,x,x con condizioni al contorno su u oppure su N=EAu (,xx ) EIv + p = 0,xx con condizioni al contorno su v oppure su M=-EIv,x,x,xx M,x -EIv (,xx ),x v oppure su T= = (EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA AL QUARTO ORDINE)

19 Per evitare di dover integrare un equazione del quarto ordine, si preferisce usare la versione al secondo ordine, che ottengo dalle equazioni di congruenza e del legame costitutivo. M = EIv,xx con condizioni al contorno solo cinematiche su v e su v,x (EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA AL SECONDO ORDINE) L equilibrio viene imposto direttamente scrivendo l espressione del momento M da L equilibrio viene imposto direttamente scrivendo l espressione del momento M da sostituire nell equazione sopra (vedi esempi successivi).

20 Convenzioni di segno possibili

21 Applicazione i equilibrio Equazion H V V A B A = 0 p = p = 6 p px T(x ) = 6 M( x ) = p x p x 6 6

22 Applicazione p p 6 6 EIv = x x Equazione della linea elastica Condizioni al contorno x x = 0 v = 0 = v = 0 p 4 p v = x x + A EI 4 p 5 p v = x x + Ax+ B EI 0 6 x = 0 0 = ( B ) EI 4 7p x = 0 = + A+ B EI 60 7 A = p 60 B = 0 p 5 p 7 p p 7 v = x x + p x v = x x + p EI EI

23 Applicazione 7 p x = 0 v = 0 v = = α 60 EI p x = v = 0 v = = β 45 EI 4 * * p v(x ) = 0 x = v(x ) = = f EI

24 Applicazione v ilibrio Equazioni equ H A V V A B = 0 W = W = = W T(x ) W M( x ) = x

25 Applicazione = W EIv x Condizioni al contorno x = 0 v =η x = v = 0 v = 0 W v = x + A EI W v = x + Ax+ B EI 6 x x = 0 η = ( B ) EI W x = 0 = + A+ EI EI 6 W x = 0 = + A EI B= η EI η EI W = η EI A = η η x v = x + η ( x ) v =

26 Applicazione η EI T(x ) = η EI M( x ) = x η x = 0 v = η v = = α

27 Applicazione ibrio uazioni equili Eq H HA = 0 q VA VB X = 0 V B+ X q = 0 H HA = 0 V = A X V = B q X x M( x ) = Xx+ q ( + x ) M(x) = X( + x) (q X)x + q x = X(x ) qx + q + q

28 Applicazione EIv = Xx q x x EIv = ( X q ) + (q X )x q Condizioni al contorno v(x = 0) = 0 v(x = ) = 0 v ( x = 0) = 0 v(x = ) = 0 v ( x = ) = v ( x = 0 ) x x v = X q + A EI 6 4 x x v = X q + Ax+ B EI 6 4 x x v = (X q )x + (q X) q + C EI 6 4 x x x v = (X q ) + (q X) 6 q 4 + Cx + D EI B = 0 A = q 48 D = 0 C = 0 X = q 8

29 Applicazione x v = q + q x q EI x v = q x + q x q EI x v = q x + qx q EI x v = q x + qx q EI q x = 0 v = 0 v = = α 48 EI x = v = 0 v = 0 x = 0 v = 0 v = 0 q x = v = 0 v = = β 48 EI 4 = 0 * = 0 4 * q v x. v (x ) = = f EI 4 = 0 * = * q v x. v (x ) = = f EI

30 Effetto anelastico: Carico termico Carico termico costante Riscaldamento uniforme dell asta con incremento di temperatura ΔT Allungamento termico di ogni fibra du =ε dx =αδtdx T T Deformazione termica di ogni fibra ε =αδt = T η T N= EAη ( ) N= EA u, η u, EA u, n 0 + c.c. e x T η e +η T = x ( ( x η T) ) + =, x N,x + n = 0 N + =,x n 0 + =

31 Carico termico variabile Deformazione termica ε =αδt Ts s Riscaldamento dell asta con variazione lineare di temperatura ε =αδt Ti i Allungamento medio Δ Ti +ΔT Δ T G = s du =ε dx =αδt dx η =αδt T TG G T G Rotazione relativa α( Δ Ti Δ TG) +α( Δ TG Δ TS) ΔTi ΔTs dϕ T = dx=α dx h h χ T d ϕt Δ Ti Δ T = =α dx h s

32 Carico termico variabile M= EIχe χ e +χ T = v, xx ( ) M= EI v, +χ xx T M v, xx = χt + c. c. EI (EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA AL SECONDO ORDINE) L equilibrio viene sempre imposto direttamente scrivendo l espressione del momento M da sostituire nell equazione sopra (vedi esempi successivi).

33 Applicazione 5 equilibrio Equazioni HB = 0 VA + VB = 0 WB WA VA = 0 HB = 0 VB = VA W = W + V B A A M(x) = W + V V x A A A

34 Applicazione 5 WA + VA VAx Δ T w = + α EI h χ e Δ T T Δ T T Δ T h h h i s χ T =α =α = α x ΔT w = WAx VAx+ VA + α x+ A EI h x x x ΔT x w= WA VA + VA + α + Ax+ B EI 6 h Condizioni al contorno x = 0 w = 0 w = 0 x = w = 0 w = 0 w(x = 0) = 0 B = 0 = w (x = 0) = 0 A = 0 = WA VA VA ΔT w(x = ) = 0 0 = + + α A EI EI 6EI h WA VA VA Δ T w (x = ) = 0 0 = + + α WA EI EI EI h A 0 B 0 V = 0 ΔT = EIα h

35 Applicazione 5 w(x) = 0 w(x) = 0 La struttura non si deforma!!

36 Vincoli elastici I cedimenti dei vincoli dipendono dall intensità della reazione che devono fornire Esempio: Vincolo di fondazione che grava sul terreno. Il terreno si deforma in funzione della spinta della fondazione. Appoggio di un elemento su un altro elemento strutturale. Ipotesi: legame elastico-lineare lineare tra il cedimento η e la reazione R R k è la costante di rigidezza elastica η= k

37 Vincoli elastici Molla estensionale di rigidezza k [F F ] [ k ] = [ L] R η = k Molla rotazionale di rigidezza K [ K ] = [ F ][ L ] θ = M K

38 Applicazione 6 Equazioni eq quilibrio HA = 0 VB F= 0 WA + WB + F F = 0 HA = 0 VB = F F WA = WB F Fx M(x ) = W B M(x ) = F

39 Applicazione 6 F Fx EIw = WB + + EIw = F F Fx w = WBx+ x+ + A EI 6 4 x x F x w = WB + F + + Ax+ B EI 4 4 w = ( Fx + C) EI x w = F + Cx + D EI Condizioni al contorno w(x = 0) = 0 F w(x = ) = k F w(x = ) = k w(x = ) = 0 w(x = ) = 0 w (x = 0) = 0 A= 0 F F w (x = ) = B = F + EI k 4 k F F w (x = ) = D = F + EI k k w (x = ) = 0 WB = F w (x = ) = 0 C = F

40 Applicazione 6

41 Applicazione 6 Fx w = + F x EI F x F w = Fx + F + EI EI 4 4 k Fx w = F x EI k EI F x 5 w = Fx + F EI 4 4 w = ( F x F ) EI x F w = F F x + F + EI EI k w = ( F x F ) EI x w = F F x + F EI 5 F x = 0 w = w = 0 4 EI F x = w = w = 0 EI F F x = 0 w = =f w = = α EI EI F x = w = w = 0 EI

42 Principio dei Lavori Virtuali per sistemi di trave Le quantità statiche generalizzate le abbiamo introdotte preservando l equazione dei lavori virtuali: Definizione degli sforzi interni generalizzati L L L T T T T T T Li = εσdv = qnσdadx = q n σdadx = qqdx V 0 A 0 A 0 Q xda 0 σ A N σx Q = 0 da = τ xyda T τ A xy A y 0 M y xda σ A dx T N M

43 Definizione delle forze esterne generalizzate: L L L T T T T T T e L dv dadx dadx dx = = = = sf UbF U bf UP V 0 A 0 A 0 FdA P p m x A x y y A A FdA 0 F 0 da FdA F y n p m 0 = = P n x A y yf m 0 da dx

44 A questo punto il principio dei lavori virtuali, visto per il continuo, continua a valere, in entrambe le sue due versioni: Versione : Dato un insieme di forze esterne (n,p,m) e sforzi interni generalizzati (N,T,M) in equilibrio e dato un insieme di spostamenti (u,v,ϕ) e deformazioni generalizzate (η,t,χ) congruenti, vale che: L L T T T dx + c c = 0 0 UP WF qqdx In forma più estesa ho: Lavoro di eventuali carichi concentrati L T ( + + ϕ ) + WF c c = ( η+ + χ ) nu pv m dx N Tt M dx 0 0 L

45 Versione : Imporre l uguaglianza tra lavoro esterno e lavoro interno per ogni cinematica congruente, equivale ad imporre l equilibrio: L L T T T T T T UP + WF c c = qq U q Wc 0 0 dx dx,, congruente In forma più estesa ho: u η L L T d N Tt M d t T ( + + ϕ ) + WF c c = ( η+ + χ) Wc t 0 0 nu pv m dx N Tt M dx v, t, congruente ϕ χ

46 In accordo con l ulteriore ipotesi di Eulero-Bernoulli, le sezioni inizialmente rette non solo si mantengono piane durante il processo deformativo (Ipotesi ), ma anche ortogonali all asse della trave (Ipotesi ). Abbiamo visto che ne consegue che ϕ=v,x e quindi che t=0; inoltre si assume che m=0. Da tutto ciò deriva che l equazione dei lavori virtuali si può ora scrivere in questi termini: Versione : Dato un insieme di forze esterne (n,p) e sforzi interni generalizzati (N,T,M) in equilibrio e dato un insieme di spostamenti (u,v) e deformazioni generalizzate (η,χ) congruenti, vale che: L L T T T dx + c c = 0 0 UP WF qqdx In forma più estesa ho: Lavoro di eventuali carichi concentrati L T ( + ) + WF c c = ( η + χ ) nu pv dx N M dx 0 0 L

47 L equazione dei lavori virtuali nella Versione rappresenta quindi un equazione efficace, che possiamo usare per calcolare incognite di interesse sia statico che cinematico; ad esempio reazioni i iperstatiche ti in strutture tt iperstatiche ti o spostamenti/rotazioni in strutture isostatiche o iperstatiche. Per applicare l equazione dei lavori virtuali nella Versione dobbiamo avere una cinematica congruente e una statica equilibrata. Nell uso che facciamo noi dell equazione dei lavori virtuali, la cinematica congruente è sempre quella reale, ovvero quella figlia dei carichi esterni P e di eventuali reazioni iperstatiche R i. N( P,R i) M( P,R i) u( P,R ), v( P,R ), η = +η, χ = +χ EA EI i i T T Occorre a questo punto definire la statica equilibrata da inserire insieme alla cinematica congruente nell equazione dei lavori virtuali. Il criterio di scelta è illustrato mediante gli esempi che seguono.

48 I caso: soluzione di strutture iperstatiche v Calcolo le azioni interne reali in funzioni dei carichi esterni e delle reazioni iperstatiche, da cui ricavo il valore delle deformazioni generalizzate reali: Equazioni equilibrio H V V A A B = 0 W = W = N(x ) = 0 N η = =0 W EA T(x ) = M W χ = = x W EI EI M(x ) = x

49 Come statica equilibrata, scelgo quella statica fittizia, che calcolo con equazioni di equilibrio, caricando la struttura resa isostatica con l iperstatica di valore unitario: H = 0 A rio Equa azioni equilib V A = V B = N(x ) = 0 M(x ) = x

50 scrivo l equazione dei lavori virtuali: T ( + ) + WF c c = ( η+ χ) nu pv dx N M dx 0 0 N M 0u 0v dx 0 0 N M dx EA EI ( + ) + ( η ) + ( ) + ( ) = +η T + +χ T 0 0 η 0 W = x x+ 0 dx 0 EA EI η W x W = = EI EI o W ηei =

51 η EI T(x ) = η EI M( x ) = x

52 II caso: calcolo di spostamenti in strutture isostatiche (esempio: rotazione β in A) Calcolo le azioni interne reali in funzioni dei carichi esterni da cui ricavo il valore delle deformazioni generalizzate reali: Equazioni equ uilibrio H A V V A B = 0 p = p = 6

53 N(x ) = 0 T(x ) = p px 6 p p M(x ) = x x 6 6 N η= = =0 EA M p p χ = = x x EI EI 6 6

54 Come statica equilibrata, scelgo quella statica fittizia, che calcolo con equazioni di equilibrio, caricando la struttura con una forza unitaria applicata in corrispondenza dello spostamento da calcolare e nella direzione dello stesso: H A uilibrio Equazioni eq V V A B = 0 = = N(x ) = 0 M(x ) = x

55 scrivo l equazione dei lavori virtuali: T ( + ) d + WF c c = ( Nη+ Mχ) d 0 0 nu pv dx N M dx N M 0u 0v dx 0 0 N M dx EA EI ( + ) + ( β ) + ( ) + ( ) = +η T + +χt p p β= x x x + 0 dx 0 EA EI p x p x p p 5 p β = EI = EI 6 = o o EI

56 7 p x = 0 v = 0 v = = α 60 EI p x = v = 0 v = = β 45 EI 4 v(x ) = x =. v(x ) =. = f EI * * p