Definizione di Lavoro

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Claudio Brunetti
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1 Definizione Lavoro Caso Forza intensità costante che agisce lungo una retta: L = F s = Fs Caso Forza intensità e rezione variabile: s L = F ds = F ( s) ds 0 0 F(s) componente della forza lungo s. s Nel caso Forza intensità costante che agisce lungo una retta: Nel caso Forza intensità costante che agisce lungo una retta: Caso Forza intensità e rezione variabile Caso Forza intensità F() s e rezione variabile L L s 0 0 s

2 Definizione Energia Potenziale Il Lavoro non è una forma energia, ma energia transito. Il lavoro è compiuto da una forza e fornisce una misura quanta energia passa da una forza all altra. L energia accumulata da un corpo a comportamento elastico lineare è detta potenziale elastica V. s V = Lm olla = kxdx = ks 0 F Lm olla = ks = V V= ks s x

3 Definizione Energia Potenziale V = Ph L AB 3

4 Energia Potenziale 4

5 Energia Deformazione Si consideri un asta soggetta ad un carico assiale P che cresce lentamente. Si definisce energia (o lavoro) deformazione il lavoro compiuto da P nel processo carico. Ψ Ψ = P P Energia complementare deformazione x Ψ = 0 P ( x) dx x Ψ = 0 P( x) dx = kx k Energia deformazione Nel Nel caso caso in in cui cui il il corpo corpo ha ha comportamento elastico lineare lineare l energia deformazione coincide con con quella quella potenziale elastica. Energia deformazione Energia complementare deformazione Ψ = x x / P k

6 Energia Deformazione Si consideri un asta soggetta ad un carico assiale P che cresce lentamente. Si definisce densità energia (o specifica) deformazione ψ, l energia deformazione per volume unitario. P dx ψ = = AL A L x Ψ = 0 0 x σ d ε Modulo resilienza Rottura Modulo tenacita Rottura Energia ssipata + Energia specifica deformazione Materiale fragile Rottura Materiale duttile Rottura Energia recuperabile 6

7 Energia Deformazione Confronto tra tra agramma prove prove sperimentali e schematizzazioni semplificate Energia specifica ssipata Modello elastoperfettamente plastico Modello elasto-plastico con incrumento lineare Modello rigido plastico Modello elastoplastico perfetto Modello elastoplastico incrudente 7

8 Energia ssipata per carichi ciclici Nel Nel caso caso carichi carichi ciclici ciclici se se si si supera supera il il limite limite elastico del del materiale un inversione del del segno segno del del carico carico produce un un ritorno ritorno in in campo campo elastico lineare lineare seguendo una una retta retta parallela a quella quella della della fase fase iniziale iniziale elastica. σ s ε E ψ ψ σ s ψ energia specifica ssipata in un ciclo carico detta anche "energia specifica ssipata per isteresi del materiale" ψ 8

9 Lavoro virtuale e deformazione Il Il lavoro lavoro virtuale virtuale va va calcolato calcolato in in una una data data configurazione configurazione cinematicamente cinematicamente e/o e/o staticamente staticamente ammissibile. ammissibile. Il Il lavoro lavoro deformazione, deformazione, Energia ( ( totale) totale) deformazione,invece deformazione,invece in in un un processo processo carico carico che che porta porta la la struttura struttura dalla dalla configurazione configurazione iniziale iniziale C a a quella quella finale finale C 0 f.. δl e l T T = f () x δu() x dx = Q () x δq() x dx = δl 0 0 l i δle lavoro virtuale forze esterne; δl lavoro virtuale forze interne; i δu vettore caratteristiche dello spostamento virtuali; δq vettore caratteristiche della deformazione virtuali. δl l l * T T * e= δf () x U() x dx = δq ()() x q x dx = δli 0 0 * δl δ f vettore delle forze virtuali; δq vettore delle caratteristiche della sollecitazione virtuali; e * i lavoro virtuale esterno complementare; δl lavoro virtuale interno complementare. 9

10 Lavoro virtuale e deformazione Il Il lavoro lavoro virtuale virtuale va va calcolato calcolato in in una una data data configurazione configurazione staticamente staticamente e/o e/o cinematicamente cinematicamente ammissibile. ammissibile. Il Il lavoro lavoro deformazione, deformazione, Energia ( ( totale) totale) deformazione,invece deformazione,invece in in un un processo processo carico carico che che porta porta la la struttura struttura dalla dalla configurazione configurazione iniziale iniziale C a a quella quella finale finale C 0 f.. L lavoro totale deformazione; L C f C f C f C f e = δ Le i = δli e = δle i = δli C C C C L ; L ; L ; L ; lavoro totale deformazione complementare. Incremento della densità energia deformazione nel processo carico infinitesimo da: q q+ dq C C 0 f L i l qf qf l l T T T =Ψ= Q () q dq dx = q Kdq dx = qf Kq fdx

11 Energia Potenziale Travi Elastiche Energia potenziale elastica una molla rigidezza k P L e Li Ψ= P() u du = kudu = k 0 0 P = ku Energia potenziale elastica della trave lunghezza l con matrice rigidezza K d ( q) Q= Kq ψ ψ ( q f ) l qf qf l l T T T Ψ= Q ( q) dq dx = q Kdq dx = qf ( x) Kqf ( x) dx ψ densità energia deformazione (mensioni per la trave elastica [ Ψ L]). l Ψ= ψ 0 ( xq, f ) dx q f P C f

12 Potenziale Elastico ed Elastico Complementare per le Travi Elastiche Per la trave elastica la densità energia deformazione o energia specifica deformazione è anche detta potenziale elastico. In particolare se con ψ e ψ* si definisce il potenziale elastico rispettivamente nello spazio delle caratteristiche deformazione e sollecitazione. ψ* è detto potenziale elastico complementare. ψ (q) ψ * ( Q) T T T ψ tot = q Q = q Kq = Q DQ Essendo q e Q i vettori delle caratteristiche della deformazione e della sollecitazione, K e D( Φ) le matrici rigidezza e deformabilità.

13 Potenziale Elastico ed Elastico Complementare-Applicazione ( ) Le Li Ψ = K η = Kη = F = Kη = Fη Ψ 4K ρ F η = = 4K L i ρ Ψ= R( u) du = Kudu = 0 0 F F Kρ K K K = = = 4 ρ Ψ Ψ 3

14 Teorema CLAYPERON L e l f(x) T U f (x)dx 0 = Ψ L = M θ e U (x) f Ψ L = P y e U (x) f 4

15 Teorema BETTI caratteristiche della storsione ε q D = γ κ D D D Equazioni costitutive q = ΦQ +q ; D ( ) D Q = K q - q. 5

16 Teorema BETTI Si prendono in esame due sistemi reali : Il Sistema a ed il Sistema b. Soggetti sia a carichi meccanici che storcenti. f,q Q,U,q a a a a a D f,q Q,U,q b b b b b D Si assume dapprima il sistema a come cinematicamente ammissibile e quello b come staticamente ammissibile. q U,q f a a a D b Q b Si assume successivamente il sistema b come cinematicamente ammissibile e quello a come staticamente ammissibile. f a Q q U,q b b b D a Si assume che il corpo elastico (trave) abbia un comportamento elastico lineare e si scrive l equazione dei lavori virtuali. q=φ Q+q ; D ( D ) Q=K q-q. 6

17 Teoremi BETTI a 7

18 Teoremi LAND-COLONNETTI e VOLTERRA 8

19 Teorema MAXWELL a M [ ] = Nm b F = [ N ] 9

20 Principio sovrapposizione degli effetti: Se una trave elastica è soggetta a due sistemi forze agenti uno dopo l altro gli effetti sono pari alla somma dei due effetti, ciascuno valutato considerando agente una sola forza. u u u u u = u + u u = u + u Q( x) = Q ( x) + Q ( x) q ( x) = q ( x) + q ( x) () Q( x), q( x) () u u Q( x), q( x) 0

21 Principio minimo Energia Potenziale Totale: Tra tutte le configurazioni cinematicamente ammissibili quella equilibrio stabile si ha in corrispondenza del minimo relativo dell energia potenziale totale Posizione equilibrio instabile: ( x) V( x) V =0; <0. x x Massimo energia ponenziale Energia potenziale con quella totale V ( x) = P y( x) Posizione equilibrio stabile: V ( x) V ( x) =0; >0. x x V ( x) V ( x) Minimo energia ponenziale Posizione equilibrio infferente: x =0; =0. x

22 Applicazione del Principio minimo Energia Potenziale Totale:

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