FORMULAZIONE DELL ELEMENTO DI TIMOSHENKO

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1 FORMUAZIONE DE EEMENTO DI TIMOSHENKO Nell analisi strutturale e nel progetto dei telai si utilizza quasi sempre la teoria delle travi sviluppata da Eulero-Bernoulli. Molti manuali usano esclusivamente questa teoria, non ostante sia poco precisa quando le travi sono tozze, cioè quando il loro spessore non è trascurabile rispetto alla lunghezza. Quando si ha a che fare con questo tipo di travi è necessario ricorrere o alla meccanica del continuo, oppure ad una teoria delle travi più precisa. a teoria di Timoshenko appartiene a quest ultima categoria e rappresenta una semplice estensione della teoria di Eulero-Bernoulli: quest ultima trascura l effetto delle azioni di taglio, prese invece in considerazione dalla prima. e ipotesi di base della teoria delle travi proposta da Timoshenko sono le seguenti: ) asse longitudinale della trave prima dell applicazione dei carichi è rettilineo; ) Tutti i carichi applicati agiscono in direzione perpendicolare all asse della trave; ) Tutte le deformazioni e gli spostamenti sono piccoli; 4) Il materiale ha un comportamento che segue la legge di Hooke; 5) e sezioni trasversali della trave, inizialmente piane e perpendicolari all asse, rimangono piane dopo la deformazione. ultima ipotesi è diversa da quella valida per la teoria delle travi di Eulero-Bernoulli, in base alla quale le sezioni trasversali oltre a rimanere piane, rimangono perpendicolari all asse della trave deformata. Nelle travi di Timoshenko le sezioni trasversali piane della trave ruotano a causa delle forze di taglio. y v() () Fig. Flessione di una trave Equazioni differenziali a seguente figura mostra un piccolo tratto della trave. a forza di taglio T ed il momento flettente M sono positivi quando assumono l orientazione rappresentata in figura. Il carico q è positivo quando agisce verso l alto. Ipotizziamo che il carico applicato sia approssimativamente costante lungo il tratto di trave rappresentato in figura. q() M() M()+dM T() d T()+dT Fig. Azioni interne agenti su un piccolo tratto di trave Per l equilibrio delle forze verticali è necessario che sia rispetta la seguente equazione: da cui risulta: T + dt T q d = dt d = q [8.] Per l equilibrio dei momenti flettenti è necessario che sia rispetta la seguente equazione: M + dm M T d (q d) d = A cura di Filippo Bertolino: aprile 7 Pag

2 da cui risulta (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore): dm d = T [8.] Il passo successivo consiste nel mettere in relazione le azioni interne T ed M con le deformazioni. Consideriamo la sola flessione agente sul segmento di trave mostrato in figura. dθ M ds = Rdθ y M ds = (R + y)dθ Fig. Deformazione causata dal solo momento flettente In questo caso il segmento è sottoposto a flessione da due momenti costanti M applicati ai suoi estremi. a coordinata y ha l origine sull asse neutro ed è orientata verso il basso. asse neutro, per definizione, non cambia la sua lunghezza durante la deformazione della trave. a lunghezza iniziale della trave sia ds. Indichiamo con dθ l angolo tra le sezioni trasversali piane poste agli estremi del segmento di trave. a curvatura κ è definita dalla seguente equazione: κ = R = dθ ds allungamento di una fibra longitudinale della trave vale: ds = (R + y)dθ = (R + y)κ ds Poiché si è fatta l ipotesi che le deformazioni siano piccole, possiamo utilizzare la definizione di deformazione ingegneristica: ε = ds ds ds (R + y)dθ Rdθ = = y Rdθ R = κy Si può notare come la deformazione risulti nulla sull asse neutro. a egge di Hooke fornisce la relazione che lega le deformazioni agli sforzi: σ = Eε = Eκy in cui σ indica lo sforzo normale che agisce sui piani estremi del segmento ed E è il modulo di Young. a relazione che lega il momento flettente allo sforzo normale è la seguente: M = σyda = Eκ y da = κ E ora necessario mettere in relazione il momento flettente M con la freccia elastica v. Ciò è possibile utilizzando la definizione matematica di curvatura: M = κ = dv d [+( dv d ) ] d v d [8.] a precedente approssimazione è consentita in quanto si ipotizza che dv sia piccolo e quindi il suo quadrato d è trascurabile rispetto all unità. Consideriamo adesso il caso in cui agisca uno stato di taglio puro, come rappresentato nella seguente figura. A cura di Filippo Bertolino: aprile 7 Pag

3 T T Fig.4 Deformazione di scorrimento causata dalla sola azione di taglio a relazione costitutiva del materiale che lega gli scorrimenti γ agli sforzi di taglio T è la seguente: da cui: T = A τ = Gγ τ da = GγA/χ = GγA s [8.4] dove G indica il modulo di taglio, χ è il fattore di taglio e A s è l area sottoposta al taglio. Normalmente A s non è uguale all area trasversale della trave perché la distribuzione degli sforzi di taglio non è costante entro la sezione trasversale. Bisogna mettere in evidenza che lo scorrimento non dà luogo a deformazioni longitudinali. Inoltre bisogna ricordare che la deformazione prodotta dal momento flettente non produce alcuno scorrimento. Di conseguenza le deformazioni di scorrimento e di flessione sono separabili e l angolo totale di deformazione vale: dv d = θ γ [8.5] Usando le equazioni (8.) (8.5) arriviamo alle equazioni della teoria delle travi di Timoshenko: dt() d dm() d dθ() dv d d = q() [8.] = T() [8.7] = M() () = θ() T() () Queste equazioni possono ridursi a due equazioni differenziali valide nell intervallo < < : ) Dall eq.(8.9): T() = () [θ() dv ] d ) Dall eq.(8.7): dm() = T() = GA d s () [θ() dv ] d ) Dall eq.(8.8): M() = () dθ() ; inserendola nella precedente: d d dt() d d [8.8] [8.9] dθ() (() ) = GA d s() (θ() dv() ) [8.] d = d{ ()[θ() dv() d ] = q() [8.] d In queste equazioni è necessario calcolare le due funzioni θ e v incognite. Ciò è in contrasto con la teoria delle travi di Eulero-Bernoulli in base alla quale è possibile scrivere una singola equazione differenziale del 4 ordine per lo spostamento v. Formulazione FEM energia elastica accumulata in una trave vale: U e = σt ε dvol dove σ è il tensore degli sforzi e ε quello delle deformazioni. In questo caso i tensori degli sforzi e delle deformazioni, espressi in forma vettoriale, sono i seguenti: A cura di Filippo Bertolino: aprile 7 Pag

4 σ T = {σ τ y e ε T = {ε γ y Con il metodo degli elementi finiti, il problema viene discretizzato: le variabili del problema, continue all interno del sistema, sono espresse in funzione delle variabili nodali, attraverso delle funzioni polinomiali che prendono il nome di Funzioni di Forma. Gli spostamenti generalizzati del sistema s si possono esprimere in funzione degli spostamenti nodali nel modo seguente: {s = [N]{d Nel caso della trave, gli spostamenti generalizzati v() e θ() sono espressi come segue: Nnodi Nnodi v() = N i () v i ; θ() = N i () θ i dove la sommatoria si estende a tutti i nodi che definiscono l elemento, le N i rappresentano le funzioni di forma e v i e θ i rappresentano le variabili nodali. Nel caso in cui si utilizzino solo due nodi, le funzioni di forma diventano lineari e le espressioni precedenti assumono la forma seguente: v() = N i v i = ( ) v + v = [ θ() = N i θ i = ( ) θ + θ = [ ] {v v ] {θ θ Nella teoria delle travi di Timoshenko il vettore delle deformazioni contiene sia la componente della deformazione assiale ε che quella dello scorrimento γ y e si può esprimere nel modo seguente in funzione degli spostamenti nodali: { ε γ = [B]{d y dove {d esprime le variabili nodali degli spostamenti generalizzati: d = { v θ a deformazione assiale ε vale: mentre lo scorrimento γ y vale: ε = y dθ d = y [ ] { θ θ γ y = θ dv d = [ a relazione deformazione/spostamenti diventa quindi: dove la matrice B assume la forma: { ε y γ = [ y y [B] = [ a relazione sforzi/deformazioni si può scrivere nel modo seguente: { σ τ y = [ E G ] { ε γ y v θ ] {θ θ [ ] { v v y v v θ θ ] { v = [B] { v θ θ E possibile esprimere l Energia Potenziale Totale del sistema in funzione degli spostamenti nodali generalizzati: y ] A cura di Filippo Bertolino: aprile 7 Pag 4

5 Π pt = {dt [B] T E [B]{d dvol d T N T F v dvol d T N T Φ dsup d T N T F dove F v indica il vettore delle forze per unità di volume, Φ il vettore delle forze superficiali, F le forze generalizzate concentrate. Poiché gli spostamenti nodali sono costanti, possono essere portati fuori dall integrale e l espressione precedente assume la seguente forma: Π pt = {dt [ [B] T E [B] dvol] {d d T [ N T F v dvol] d T [ N T Φ dsup] d T N T F a derivata dell energia potenziale totale rispetto ai parametri nodali di spostamento vale: Il termine: Π pt d = [ [B]T E [B] dvol] {d N T F v dvol N T Φ dsup N T F [k] = [B] T E [B] dvol non è altro che la matrice di rigidezza dell elemento. Nel caso in esame abbiamo: y [k] = [B] T E [B] dvol = y [ E G ] [ y [ ] Eseguendo il prodotto abbiamo: [k] = [ G ( ) G G G ( ) G G y E + ( ) G ( ) G ( ) G G y E + ( ) G G y E G y ] dvol + ( ) G G y E + G ] dvol Nel caso più generale possibile, in cui la sezione trasversale e le caratteristiche meccaniche del materiale varino lungo l asse della trave, l integrale esatto può essere sostituito da una sommatoria dei suoi termini valutati e pesati in alcune stazioni di calcolo, i così detti punti di Gauss. Con il programma ANSYS è possibile definire la sezione trasversale della trave come somma di diverse celle quadrangolari a 8 nodi all interno delle quali vengono selezionati punti di Gauss. Ad ogni cella è possibile associare un materiale diverso e la sezione può variare linearmente lungo l asse della trave. Con l opzione Element behavior K = inear Form. il programma calcola l integrale di volume valutandolo in un unica sezione trasversale della trave localizzata nel punto medio dell asse. Se il materiale fosse omogeneo e la sezione trasversale costante lungo l asse, ricordando che: I = y da ; A s = da = A/χ A cura di Filippo Bertolino: aprile 7 Pag 5

6 dove χ rappresenta il Fattore di taglio (per le sezioni rettangolari χ =, per le sezioni circolari piene χ = 5, per quelle circolari cave di piccolo spessore χ =, etc.), allora l integrale esatto varrebbe: 9 [k] = [ ] Come detto il programma ANSYS calcola la matrice solo nel punto centrale della trave, quindi con un materiale omogeneo e la sezione trasversale costante si ha: [k] = [ Questa matrice risulta meno rigida a taglio rispetto alla precedente. + 4 IE + 4 ] Con questo tipo di elemento non è possibile rappresentare in modo corretto variazioni del momento flettente lungo l asse della trave, perché si ipotizza che la freccia vari linearmente lungo l asse. Per questo motivo il programma ANSYS prevede altre due opzioni per l elemento BEAM88. Con l opzione Element behavior K = Quadratic Form., il programma genera un nodo interno nel punto medio della trave ed utilizza funzioni di forma paraboliche. avorando in coordinate omogenee, le funzioni di forma quadratiche assumono la forma: N = ξ( ξ) ; N = ξ( ξ) ; N = ξ dove: ξ =, l origine degli assi è posta nel punto medio e ξ. In questo caso abbiamo: v() = N i v i = N v + N v + N v = [ ξ( ξ) ξ( + ξ) ξ ] { v v θ() = N i θ i = N θ + N θ + N θ = [ ξ( ξ) ξ( + ξ) ξ ] { θ θ Se f() rappresenta una funzione della variabile, allora possiamo scrivere: df = df d dξ d dξ da cui: df = df d d dξ dξ e coordinate assiali possono scriversi nel modo seguenti (elementi isoparametrici): da cui: = N i i = N + N + N = [ ξ( ξ) ξ( + ξ) ξ ] { v θ A cura di Filippo Bertolino: aprile 7 Pag

7 Poiché: = + allora: a deformazione assiale ε vale: d dξ = [( + ξ) ( + ξ) ξ] { d dξ = ( + ξ) + ( + ξ) ξ = = ε = y dθ d = y [ N N N θ ] { θ = y θ [ N ξ N ξ N θ ξ ] { θ θ e sviluppando le derivate: ε = y [( + ξ) ( + ξ) ξ] { θ θ θ = y mentre lo scorrimento γ y vale: θ [( + ξ) ( + ξ) 4ξ] { θ θ θ γ y = θ dv d = [N N N ] { θ [ N θ N v N ] { v v θ γ y = [N N N ] { θ θ [ N ξ N ξ v N ξ ] { v v γ y = [ ξ( ξ) ξ( + ξ) ξ ] { θ θ a relazione deformazione/spostamenti diventa quindi: θ v [( + ξ) ( + ξ) 4ξ] { v v { ε ( + ξ) y γ = [ y ( ξ) ( ξ + ξ ) dove la matrice B assume la forma: ( + ξ) y ( + ξ) (ξ + ξ ) v v 4ξ y θ θ v v ] 4ξ ξ θ = [B] θ v v { θ { θ ( + ξ) y [B] = [ ( ξ) ( ξ + ξ ) a matrice di rigidezza dell elemento vale: ( + ξ) y ( + ξ) (ξ + ξ ) 4ξ y ] 4ξ ξ [k] = [B] T E [B] dvol Il programma ANSYS valuta l integrale in due punti di Gauss in direzione assiale e nei punti di Gauss di ogni cella in cui sono divise le sezioni trasversali. Ricordiamo che: da cui: d dξ = quindi d = dξ A cura di Filippo Bertolino: aprile 7 Pag 7

8 [k] = [B] T [E][B]dA dξ Se la trave fosse realizzata con un unico materiale ed avesse sezione trasversale costante, la sua matrice di rigidezza varrebbe: [k] = ( ξ) ( + ξ) y ( ξ + ξ ) ( + ξ) ( + ξ) ye ( + ξ) y [ (ξ + ξ ) ( ξ)g ( ξ + ξ )G 4ξ [ 4ξ y ξ ] dove i singoli coefficienti valgono: K = A s K = A s K = A s K 4 = A s K 5 = A s K = A s K = ξ) G [( ] dξ = 7 ( + ξ) ye ( + ξ)g (ξ + ξ )G ( ξ) ( ξ + ξ )G dξ = 4 ( ξ + ξ ξ ) dξ = ( ξ) ( + ξ)g dξ = (4ξ ) dξ = ( ξ) (ξ + ξ )G dξ = 4 (ξ ξ ξ ) dξ ( ξ) 4ξG dξ = (4ξ 8ξ ) dξ = 8 = ( ξ) ( ξ )G dξ = ( ξ ξ + ξ ) dξ K = K 4 = K 5 = K = E ( + ξ) y da dξ + 8 ( ξ + ξ ) dξ = (ξ ξ ) ( + ξ) dξ = 4 (ξ ξ ) ( + ξ) dξ = E ( + ξ)( + ξ) y da dξ + ( ξ + ξ ) 4ξ dξ = ( ξ + ξ ) (ξ + ξ ) = ξ ye ] da dξ 4ξG ( ξ )G dξ = E 4ξ( ξ) y da dξ + ( ξ + ξ ) ( ξ )dξ = K = ( + ξ) dξ = 7 A cura di Filippo Bertolino: aprile 7 Pag 8

9 K 4 = 4 ( + ξ)(ξ + ξ )dξ = K 5 = K = K 44 = ( + ξ)ξ dξ = 8 ( + ξ) ( ξ )dξ = ( + ξ) K 45 = (ξ + ξ )ξ dξ K 4 = ξ( + ξ) K 55 = ξ dξ + 8 (ξ + ξ ) = dξ + 4 (ξ + ξ ) dξ = K 5 = ξ ( ξ )dξ = K = ξ dξ + ( ξ ) dξ = dξ = ( ξ )dξ = In sintesi la matrice dell elemento quadratico è la seguente: [k] = [ ] A cura di Filippo Bertolino: aprile 7 Pag 9