TORSIONE DI TRAVI A SEZIONE GENERICA TEORIA DI PRANDTL

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1 TORSIONE DI TRVI SEZIONE GENERIC TEORI DI PRNDTL Consideriamo una trave con una sezione trasversale di forma generica e soggetta alle estremità a due coppie torcenti opposte (fig. 1a). z z z a) ) Fig. 1: Trave soggetta a torsione (a) ed angolo di rotazione torsionale θ () Poniamo l origine del sistema di coordinate - nel punto attorno al quale ruota la sezione (centro di torsione). Gli spostamenti u (in direzione ) e v (in direzione ) saranno pertanto nulli per tutti i punti appartenenti all asse z. Chiamiamo θ l angolo di rotazione torsionale tra due sezioni poste a distanza z (fig. 1). L angolo θ di rotazione torsionale tra due sezioni a distanza unitaria varrà pertanto θ = θ z Durante la deformazione a torsione le sezioni trasversali non rimangono piane, ma si ingoano. Per studiare la rotazione torsionale della generica sezione trasversale, possiamo tuttavia considerare le proiezioni dei punti della sezione sul piano -. Consideriamo ora lo spostamento suito dal punto generico P appartenente alla sezione trasversale di coordinata z (fig. ); se le coordinate di tale punto nel sistema di riferimento polare sono r e, nel sistema di riferimento cartesiano le sue coordinate ed varranno: = r cosβ = r sinβ (1) 1

2 Supponendo che la sezione trasversale di coordinata z = 0 sia fissa, lo spostamento del punto P (per piccole rotazioni) avrà modulo PP = r θ e componenti in direzione ed pari a (vedi fig. ): u = PP sinβ = r θ sinβ v = PP cosβ = r θ cosβ Ricordando le relazioni (1), gli spostamenti del punto P nelle direzioni ed valgono quindi, rispettivamente: u = θ = θ z v = θ = θ z Gli spostamenti w in direzione z si assumono uguali per ogni sezione, e quindi non dipendenti da z: w = w(, ) z r P u P v Fig. : Rotazione della sezione trasversale di una trave sogggetta a momento torcente Note le espressioni degli spostamenti u, v e w, possiamo calcolare le deformazioni nel punto P: ε = u = 0 ε = u = 0 ε z = u z = 0 γ = u + v = θ z + θ z = 0 γ z = u z + w = θ + w γ z = v z + w = θ + w ()

3 Lo stato di deformazione si riduce dunque alle sole z e z., e, di conseguenza, lo stato di sforzo consiste nelle sole componenti: τ z = G γ z τ z = G γ z Ricordando le equazioni di equilirio alla traslazione in direzione z di un elementino infinitesimo τ z + τ z + σ z z = 0 ed essendo z = 0, si ha τ z + τ z = 0 (3) Tale equazione di equilirio è soddisfatta da z e z esprimiili nella seguente forma τ z = Φ τ z = Φ (4) dove (,) è la cosiddetta funzione di sforzo (o funzione di Prandtl). Se sostituiamo le relazioni (4) nell equazione (3), risulta infatti Φ Φ = 0 e l equazione (3) è quindi soddisfatta dalle relazioni (4). Se è nota la funzione di sforzo (,) è possiile determinare gli sforzi tangenziali z e z utilizzando le relazioni (3). Possiamo ora scrivere gli sforzi tangenziali z e z in funzione delle deformazioni z e z, espresse a loro volta dalle equazioni (): τ z = Gγ z = G ( θ + w ) τ z = Gγ z = G ( θ + w ) 3

4 Derivando z rispetto ad e z rispetto ad si ottiene τ z τ z = G ( θ + w ) = G (θ + w ) Sottraendo memro a memro si può scrivere τ z τ z = Gθ Infine, esprimendo z e z in funzione della funzione di sforzo (,) tramite le relazioni (4), si giunge all equazione: Φ + Φ = Gθ (5) Poiché la superficie laterale della trave è scarica, sul contorno della sezione non può esistere una componente di sforzo tangenziale ortogonale al contorno; la risultante degli sforzi tangenziali τ z (somma vettoriale degli sforzi z e z) deve quindi essere tangente al contorno (fig. 3). z z z d d ds Fig. 3: Direzioni degli sforzi tangenziali al contorno della sezione Sul contorno della sezione deve cioè valere la relazione (fig. 3) τ z = d τ z d da cui τ z d = τ z d 4

5 e, esprimendo le in funzione di Φ Φ d = d e cioè dφ = Φ Φ d + d = 0 Il differenziale d della funzione (,) lungo il contorno della sezione deve quindi essere nullo; cio significa che la funzione (,) è costante al contorno della sezione. i fini pratici, il valore di sul contorno esterno può essere scelto pari a zero, in quanto gli sforzi tangenziali vengono calcolati, tramite le equazioni (4), effettuando la derivata della funzione e la presenza di un termine costante non influisce sul risultato finale. Possiamo a questo punto scrivere l equazione di equilirio alla rotazione della sezione, imponendo che il momento torcente agente sulla sezione sia equivalente a quello generato dalle sollecitazioni tangenziali z e z (fig. 4). Il contriuto al momento torcente fornito dagli sforzi tangenziali agenti sull area infinitesima d=dd vale: d = τ z dd τ z dd Il momento torcente complessivo è pertanto esprimiile come = d = (τ z τ z )dd Sostituendo le espressioni di z e z (equazioni (4)), dopo alcuni passaggi si ottiene = Φd = V t dove V t è il volume sotteso dalla superficie rappresentata dalla funzione di sforzo (,). 5

6 z z Centro di torsione (centro di taglio) z Fig. 4: Sforzi tangenziali nella sezione della trave Possiamo quindi riassumere nei seguenti passi la procedura per lo studio della torsione elastica in travi con sezione generica: 1) Risolvere l equazione differenziale Φ + Φ = Gθ con le condizione =0 sul contorno della sezione, per ricavare l equazione della funzione di sforzo, ) Nota la funzione,), ricavare la relazione tra e θ dall equazione = Φd 3) Ricavare gli sforzi tangenziali z e z dalle relazioni τ z = Φ e τ z = Φ 4) Ricavare (se richiesto) z e z dalle relazioni γ z = τ z G e γ z = τ z G E utile osservare come il prolema descritto al passo 1 (ricerca della funzione, che soddisfa l equazione (5) con la condizioni al contorno =0) sia identico, dal punto di vista matematico, a quello che permette di ottenere la configurazione di una memrana elastica sottile appoggiata al contorno della sezione e posta in tensione con una pressione interna uniforme (nalogia della memrana). La funzione, può pertanto essere individuata sperimentalmente, utilizzando acqua saponata o memrane perfettamente flessiili tese su di un foro avente la stessa forma del contorno della sezione ed applicando una pressione interna. L'analogia della memrana aiuta inoltre a visualizzare, almeno in maniera qualitativa, la forma della possiile funzione di sforzo, del prolema della torsione, anche in sezioni di forma non regolare. 6

7 ESEMPI PPLICTIVI 1. TRVE SEZIONE CIRCOLRE Scegliendo l origine del sistema di riferimento - coincidente con il centro della sezione (fig. 5a), il contorno della sezione ha ha equazione + = a, dove a è il raggio della sezione circolare. 1. Determinazione della funzione di sforzo Possiamo scegliere la seguente funzione di sforzo, che soddisfa la condizione =0 al contorno della sezione (fig. 5): Φ = C ( a + a 1) z (,) a a) ) Fig. 5: Sezione circolare (a) e funzione di sforzo, () La funzione di sforzo (,) è definita a meno di una costante C, il cui valore deve essere tale che la funzione soddisfi l equazione differenziale Φ + Φ = Gθ. Per determinare la costante C, sostituiamo quindi l espressione di nell equazione differenziale (5); si ottiene C ( a + a) = Gθ da cui C = 1 a Gθ La funzione di sforzo è quindi 7

8 Φ = 1 a Gθ ( a + a 1). Determinazione della relazione tra e θ Sostituiamo l espressione di (, ) nell equazione = = 1 a Gθ ( a + a 1) d = a Gθ Φd: ( + a 1) d = dove = a Gθ ( r a 1) d = a Gθ ( 1 a r d ) = a Gθ ( J p a ) J p = r π a4 d = è il momento d inerzia polare della sezione, e = d = π a è l area della sezione. Si ha quindi π a4 = Gθ ( π a 4 π a4 ) = Gθ ( ) = Gθ J p e θ = GJ p 3. Determinazione degli sforzi tangenziali z e z τ z = Φ = 1 a Gθ ( a) = Gθ τ z = Φ = 1 a Gθ ( a) = Gθ Se calcoliamo ad esempio lo sforzo tangenziale sul contorno della sezione per = a ed = 0, otteniamo τ z = Gθ a = J p a 8

9 . TRVE SEZIONE ELLITTIC Scegliendo l origine del sistema di riferimento - coincidente con il centro dell ellisse (fig. 6a), il contorno della sezione ha ha equazione a + = 1, dove a e sono i semiassi dell ellisse. 1. Determinazione della funzione di sforzo Possiamo scegliere la seguente funzione di sforzo, che soddisfa la condizione =0 al contorno della sezione (fig. 6): Φ = C ( a + 1) (,) a a) ) Fig. 6: Sezione ellittica (a) e funzione di sforzo, () La funzione di sforzo (, ) è definita a meno di una costante C, il cui valore deve essere tale che la funzione soddisfi l equazione differenziale Φ + Φ = Gθ Per determinare la costante C, sostituiamo l espressione di nell equazione differenziale (5); si ottiene ( C a + C ) = Gθ da cui C = a a + Gθ 9

10 La funzione di sforzo è quindi Φ = a a + Gθ ( a + a 1). Determinazione della relazione tra e θ Sostituiamo l espressione di (, ) nell equazione = = a Φd: a G + ( a + 1) d = = π a 3 3 a + Gθ Si ha quindi θ = G a + π a Determinazione degli sforzi tangenziali z e z τ z = Φ = a a + Gθ ( ) τ z = Φ = a a + Gθ ( a ) Lo sforzo massimo si ha al contorno della sezione sul semiasse minore (fig. 6a) τ ma = τ z ( = ) = a a + Gθ ( ) = a a + G a + π a 3 3 ( ) = π a 10

11 h 3. TRVE SEZIONE RETTNGOLRE PRETE SOTTILE Supponiamo (sezione a parete sottile) che la lunghezza h della sezione rettangolare sia molto maggiore dello spessore (fig. 7a). Scegliamo l origine del sistema di riferimento - coincidente con il aricentro della sezione. 1. Determinazione della funzione di sforzo Possiamo scegliere la seguente funzione di sforzo, che soddisfa la condizione =0 al contorno della sezione sui lati di lunghezza h (anche se non sui lati corti di lunghezza, fig. 7): Φ = C ( ( 1) ) Poiché la lunghezza è molto più piccola della lunghezza h, l errore legato al non rispetto della condizione al contorno lungo i lati corti può essere ritenuto trascuraile. H>> (,) z a) ) Fig. 7: Sezione rettangolare sottile (a) e funzione di sforzo, () La funzione di sforzo (, ) è definita a meno di una costante C, il cui valore deve essere tale che la funzione soddisfi l equazione differenziale Φ + Φ = Gθ 11

12 Per determinare la costante C, sostituiamo quindi l espressione di nell equazione differenziale (5); si ottiene C ( ) = Gθ da cui C = 4 Gθ La funzione di sforzo è quindi Φ = 4 Gθ ( ( ) 1) Determinazione della relazione tra e θ Sostituiamo l espressione di (, ) nell equazione = Φd: = 4 Gθ ( ( ) 1) d = Gθ ( 4 1) hd = = Gθ h { 4 [3 3 ] [] } = Gθ h { 4 3 ( ) ( + )} = Gθ h { 3 } = 3 3 Gθ h Si ha quindi θ = 3 Gh 3 3 Determinazione degli sforzi tangenziali z e z τ z = Φ = 4 Gθ = Gθ = 6 h 3 4 τ z = Φ = 0 Lo sforzo massimo si ha quindi sui lati lunghi del rettangolo ( = ± ) e vale 1

13 h τ ma = 3 h = Gθ (6) La distriuzione degli sforzi è illustrata in fig. 8 Fig. 8 : Distriuzione degli sforzi in una sezione rettangolare sottile Le relazioni ottenute possono essere utilizzate anche in sezioni a parete sottile con linea d asse non rettilinea (ad esempio circolare, Fig. 9a ) o composite (cioè ottenute come somma di diverse parti, vedi Fig. 9) con spessore costante. La lunghezza h da considerare sarà in tal caso la somma delle lunghezze delle singole parti. h1 h1 h h h a) ) Fig. 9: Sezioni a pareti sottile con linea media circolare (a) o spezzata () 13

14 Nel caso che le diverse parti che compongono la sezione aiano diverso spessore, possiamo considerare il momento come somma dei momenti torcenti sostenuti da ogni singola parte della sezione. Per ogni singola parte i della sezione la sollecitazione tangenziale al contorno τ c si può cioè scrivere: i τ c i = 3i h i i e quindi i = 1 3 τ ci h i i Il momento torcente agente sulla sezione sarà quindi = i = 1 (τ 3 c 1 h τ c h + + τ c n h n n ) (7) i L angolo di rotazione θ deve essere uguale per ogni parte della sezione, ed essendo (vedi equazione (6)) θ = τ c, possiamo scrivere G θ = τ c1 G 1 = τ c G = = τ cn G n = cost Lo sforzo tangenziale massimo si avrà pertanto sulla porzione della sezione avente la larghezza i massima. Supponendo ad esempio di considerare una sezione composta da tre parti con spessore massimo 3 (fig. 10), potremo scrivere: τ c 1 1 da cui = τ c = τ ma 3 τ c 1 = τ ma 1 3 τ c = τ ma 3 14

15 h 1 h 1 ma h 3 3 Fig. 10: Sezione a pareti sottili composta da parti di spessore diverso. Ricordando l equazione (7) avremo quindi: = 1 3 ( 1 τ ma h 1 τ ma 1 + h τ 3 ma h 3 3 ) 3 da cui, mettendo in evidenza ma, τ ma = 3 3 h h 3 + h L angolo di torsione della sezione può infine essere ottenuto dall equazione (6): θ = τ ma G 3 15

16 TORSIONE DI TRVI SEZIONE CHIUS PRETE SOTTILE TEORI DI BREDT Consideriamo una trave con una sezione trasversale di forma generica e soggetta alle estremità a due coppie torcenti opposte (fig. 11). Gli sforzi tangenziali generati dal momento torcente lungo i contorni interno ed esterno della sezione devono necessariamente essere diretti lungo la tangente ai contorni stessi. Poiché le parete è sottile, possiamo inoltre considerare gli sforzi costanti lungo lo spessore e diretti tangenzialmente alla linea media della sezione (linea media tra i due contorni interno ed esterno. s 1 z s z Fig. 11: Trave con sezione chiusa a parete sottile soggetta a momento torcente. Effettuiamo ora due sezioni con due piani paralleli all asse z della trave in corrispondenza di due spessori generici s 1 e s e successivamente estraiamo una porzione longitudinale della trave di lunghezza unitaria (fig. 11); possiamo a questo punto mettere in evidenza gli sforzi tangenziali 1 e agenti sulle aree della trave appartenenti ai piani della sezioni effettuate, come illustrato in fig

17 1 1 z Fig. 1: Equilirio in direzione z di una porzione di trave di lunghezza unitaria. Possiamo a questo punto scrivere l equazione di equilirio in direzione z della porzione di trave illustrata in fig. 1: τ 1 s 1 1 = τ s 1 Poiché possiamo scegliere a piacere i piani paralleli all asse z con i quali sezionare la trave, risulta che τ s = cost lungo la linea media della sezione. Scriviamo ora l equivalenza del momento torcente applicato con quello prodotto dagli sforzi tangenziali (fig. 13); il momento dovrà essere uguale all integrale, esteso alla linea media della sezione, dei momenti infinitesimi generati dalle forze τ s dl rispetto ad un punto qualunque O. Il raccio delle forze infinitesime τ s dl rispetto al punto O è mostrato in fig. 13 = l (τ s dl) Essendo il prodotto t s costante, l integrale può essere scritto nella forma = τ s l dl = τ s m dove (vedi fig. 13) contorni. l dl rappresenta il doppio dell area m racchiusa dalla linea media dei due 17

18 rea del triangolo = dl / O Fig. 13: Calcolo del momento torcente generato dagli sforzi tangenziali Sarà quindi τ = 1 s m e, di conseguenza, lo sforzo massimo ma si avrà in corrispondenza dello spessore minimo della sezione: τ ma = 1 s min m Per ricavare il legame tra il momento torcente e l angolo di torsione θ possiamo ricorrere ad un approccio energetico. Consideriamo un elemento di trave di lunghezza unitaria soggetta al momento torcente, che genera un angolo di torsione θ (fig. 14a). Il lavoro compiuto dal momento torcente applicato sarà pertanto 1 θ. L energia elastica U accumulata dal materiale può essere calcolata come l integrale, esteso al volume V del materiale, dell energia elastica per unità di volume 1 τγ = 1 U = 1 τ G dv = 1 G V τ (s dl 1) l dove dv = s dl 1 è il volume infinitesimo indicato in fig. 14. L energia elastica U può essere quindi espressa come τ G : 18

19 U = 1 G (1 ) s dl = 1 s m G 4 dl m s l l dv = s dl s dl a) ) Fig. 14: ngolo di torsione (a) e volume infinitesimo dv utilizzato per il calcolo dell angolo di torsione θ () Uguagliando il lavoro compiuto all energia elastica accumulata: 1 θ = 1 G si ottiene infine 4 dl m s θ = 1 G 4 dl m s l l Se lo spessore della parete è costante, s può essere portato fuori dall integrale, ottenendo così θ = 1 G 4 m 1 s dl l = 1 l 4 G m s 19