La torsione. Cristoforo Demartino. Università degli Studi di Napoli Federico II. 30 maggio 2012

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1 Napoli, 30 maggio 2012 La torsione Cristoforo Demartino Università degli Studi di Napoli Federico II 30 maggio 2012

2 Napoli, 30 maggio 2012 Outline della lezione Introduzione Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Analogia idrodinamica e cenni al caso generale Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Le formule di Bredt Torsione in travi a sezione rettangolare Esempio

3 Introduzione Napoli, 30 maggio 2012 Caratteristiche della sollecitazione I Valendo il principio di sovrapposizione degli effetti, la soluzione del de Saint Venant può pertanto essere studiata decomponendola nei seguenti casi elementari di sollecitazione semplice: di solo sforzo normale N 0 di flessione retta M x 0 o M y 0 di flessione deviata M x 0 e M y 0 di taglio T x 0 e/o T y 0 torsione pura M t 0 ˆ ˆ M G = [(x x g ) t(k)] da = A A σ z y σ z x τ zy x τ zx y da = M x M y M t (1)

4 Introduzione Napoli, 30 maggio 2012 Caratteristiche della sollecitazione II

5 Introduzione Napoli, 30 maggio 2012 Torsione: meccanismo I

6 Introduzione Napoli, 30 maggio 2012 Torsione: meccanismo II

7 Introduzione Napoli, 30 maggio 2012 Torsione: meccanismo III Cristoforo Demartino (Universit` a degli Studi di Napoli Federico II) La torsione

8 Introduzione Napoli, 30 maggio 2012 Torsione: meccanismo IV Cristoforo Demartino (Universit` a degli Studi di Napoli Federico II) La torsione

9 Introduzione Napoli, 30 maggio 2012 Torsione: meccanismo V

10 Introduzione Napoli, 30 maggio 2012 Casi presi in considerazione Per questo tipo di sollecitazione si studieranno i casi di trave: sezione circolare con sezione circolare a corona circolare a sezione sottile biconnessa a sezione sottile monoconnessa (rettangolare)

11 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Ipotesi cinematiche La soluzione è definita a meno di un arbitrario spostamento rigido della trave, che viene assunto nullo, e vale in generale l ipotesi di piccoli spostamenti. La rotazione risulta essere una funzione lineare di z per cui si ha: dove: θ(z) = θ + θ z (2) θ(z) rotazione della sezione posta alla coordinata z; θ rotazione rigida posta pari a 0; θ = dθ dz derivata di θ rispetto a z, è detto angolo specifico di torsione z coordinata in direzione dell asse della trave.

12 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Campo di spostamenti I Il campo di spostamenti può essere descritto come una rotazione rigida della sezione: che sviluppato fornisce: u(r, z) = θ zk r (3) u(r, z) = θ zk r = θ z det i j k x y 0 = θ z y x 0 (4)

13 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Campo di spostamenti II che può essere visto come la rotazione di π/2 in senso antiorario del vettore r: u(r, z) = θ z y x 0 = θ z x y 0 = θ zrr (5) dove R(α): In componenti si ha: R(α) = cos α sin α 0 sin α cos α u x = θ yz u y = θ xz u z = 0 (6) (7)

14 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Il campo deformativo Le uniche componenti non nulle del tensore della deformazione infinitesima sono: in forma vettoriale: dove: γ zx = u x z + u z x = θ y γ zy = u y z + u z y = θ x γ z = θ [ y x γ z = [ γzx (8) ] = θ Rr (9) γ zy ] (10)

15 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Il campo tensionale Introducendo il legame costituivo: τ z = Gγ z (11) si ha: [ τzx τ zy ] = G [ γzx γ zy ] = [ Gθ y Gθ x ] (12) in forma vettoriale: τ z = Gθ Rr (13)

16 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Orientazione del campo tensionale Dovendo essere il campo tensionale in ogni punto generato dal vettore r ruotato di π/2 in senso antiorario, le linee di flusso di τ z sono circonferenze aventi tutte centro nel baricentro della sezione. L equilibrio al contorno è verificato!

17 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Risultante del momento torcente Il momento torcente è dato da: da cui: ˆ M t = A = Gθ ˆ avendo posto ˆ (τ zy x τ zx y) da = A A ( x 2 + y 2) da = Gθ ˆ ( Gθ x 2 + Gθ y 2) da A r 2 (14) da = GJ Gp θ M t = C t θ (15) C t = GJ Gp (16)

18 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Il momento d inerzia polare Il momento di inerzia polare è dato da: ˆ J Gp = r 2 ˆ ( da = x 2 + y 2) da (17) che vale per: Sezione circolare: A A J Gp = πr4 2 (18) Sezione a corona circolare J Gp = π ( Re 4 Ri 4 ) 2 (19)

19 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Soluzione della sezione Noti il momento torcente e la rigidezza torsionale è possibile valutare l angolo specifico di rotazione come: θ = M t C t = e dunque il campo tensionale come: M t GJ Gp (20) τ z = Gθ Rr = G M t GJ Gp Rr = M t J Gp Rr (21)

20 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Valutazione dei massimi delle tensioni tangenziali Per la sezione circolare il valore massimo delle tensioni tangenziali possono essere valutati come: τ z max = M t J Gp R = 2M t πr 4R = 2M t πr 3 (22) Per le sezioni a corona circolare il valore massimo delle tensioni tangenziali possono essere valutati come: τ z max = M t J Gp R e = 2M t π ( )R Re 4 Ri 4 e (23)

21 Torsione in travi a sezione circolare e corona circolare Napoli, 30 maggio 2012 Moduli di resistenza Le precedenti possono essere riscritte utilizzando i moduli di resistenza: τ max = M t W t (24) dove con W t si è indicato il modulo di resistenza che vale: per sezioni circolari: W t = πr3 2 (25) per sezioni a corona circolare: W t = π ( Re 4 Ri 4 ) (26) 2R e

22 Analogia idrodinamica e cenni al caso generale Napoli, 30 maggio 2012 Cenni al caso generale Nel caso generale di una sezione diversa da quella circolare o a corona circolare si ha: il campo di tensioni tangenziali non soddisfa le condizioni di tangenza al contorno la sezione retta, oltre a subire una rotazione rigida, è anche caratterizzata da spostamenti in direzione dell asse z, che determinano il cosiddetto ingobbamento della sezione le linee di flusso non sono più circonferenze e si adeguano invece al contorno esterno ed eventualmente ad uno o più contorni interni della sezione la soluzione matematica è basata sul calcolo di una funzione ingobbamento che dipende esclusivamente dalle caratteristiche geometriche della sezione

23 Analogia idrodinamica e cenni al caso generale Napoli, 30 maggio 2012 Ingobbamento della sezione Cristoforo Demartino (Universit` a degli Studi di Napoli Federico II) La torsione

24 Analogia idrodinamica e cenni al caso generale Napoli, 30 maggio 2012 Soluzione del caso generale La soluzione del caso generale richiede la soluzione del seguente set di equazioni: div τ z = 0 x A rot τ z = 2Gθ x A (27) τ z n = 0 x A La prima si ottiene ponendo σ z = 0 nell equazione indefinita di equilibrio. La seconda si dimostra essere una condizione di congruenza interna, legata al fatto che il campo delle tensioni tangenziali deve poter essere ricavabile a partire da un campo di spostamenti mediante il legame spostamenti-deformazioni ed il legame elastico tra deformazioni e tensioni. La terza è la condizione al contorno.

25 Analogia idrodinamica e cenni al caso generale Napoli, 30 maggio 2012 Analogia idrodinamica I La determinazione qualitativa dell andamento delle tensioni tangenziali in una sezione soggetta a torsione è utile considerare la seguente analogia idrodinamica. Si consideri un recipiente cilindrico contenente un liquido che possa essere schematizzato come incomprimibile e non viscoso. Si faccia ruotare il liquido intorno ad un asse parallelo alle generatrici del cilindro con una velocità angolare costante ω molto piccola. Il campo di velocità su una sezione piana parallela alla base del cilindro è governato dalle seguenti equazioni: div v = 0 x A rot v = 2ω x A (28) v n = 0 x A

26 Analogia idrodinamica e cenni al caso generale Napoli, 30 maggio 2012 Analogia idrodinamica II

27 Analogia idrodinamica e cenni al caso generale Napoli, 30 maggio 2012 Analogia idrodinamica III Tramite l analogia idrodinamica possono dedursi i seguenti risultati, utili nella pratica tecnica: la presenza di cavità o di rientranze nel contorno determina, in zone vicine l addensamento di linee di corrente e la riduzione della loro dimensione dalla quale si accompagna l aumento della velocità del fluido e quindi l incremento della tensione tangenziale. in presenza di spigoli rientranti le tensioni crescono, mentre decrescono in prossimità degli spigoli uscenti.

28 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Napoli, 30 maggio 2012 La sezione sottile biconnessa Una sezione retta si dice sottile quando l area è concentrata in prossimità di una linea del piano della sezione, detta linea media della sezione e biconnessa quando la linea media definisce una curva biconnessa del piano.

29 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Napoli, 30 maggio 2012 Descrizione della sezione sottile biconnessa Sia s un ascissa curvilinea lungo la linea media. Il segmento ortogonale alla linea media avente come due estremi i due punti più vicini del contorno della sezione è detto una corda e la sua lunghezza è detta spessore della linea media ed indicata con δ(s). Detta L la lunghezza della linea media, per ipotesi δ(s) L in ogni punto.

30 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Napoli, 30 maggio 2012 Variazione della tensione tangenziale lungo la corda I Sia dato un sistema di riferimento in funzione dell ascissa s {n, t}:

31 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Napoli, 30 maggio 2012 Variazione della tensione tangenziale lungo la corda II Si indichino con τ zn e τ zt le due tensioni tangenziali agenti in ciascun punto della sezione. La condizione di congruenza interna fornisce: rotτ z = τ zt n + τ zn = 2Gθ (29) t Nei due punti di intersezione della generica corda con il contorno della sezione la z deve essere tangente al contorno stesso dunque si ha: τ zn = 0 x A (30) Per la piccolezza dello spessore si può poi estendere l ipotesi: τ zn = 0 x A (31)

32 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Napoli, 30 maggio 2012 Variazione della tensione tangenziale lungo la corda III Con questa ipotesi si ottiene: τ zt n + τ zn = 2Gθ (32) t che fornisce come risultato: τ zt n = 2Gθ τ zt = 2Gθ n + c (33)

33 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Napoli, 30 maggio 2012 Variazione della tensione tangenziale lungo la corda IV D altra parte, in virtù dell analogia idrodinamica e della piccolezza dello spessore, le linee di flusso in una sezione biconnessa si possono supporre con buona approssimazione parallele alla linea media. Il valore medio τ zt,med = c è nettamente predominante rispetto alla variazione lineare massima sulla corda, che può essere trascurata ottenendo: τ zt = 2Gθ n + τ zt,med (34)

34 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Napoli, 30 maggio 2012 Legge di costanza del flusso Nel caso idrodinamico deve essere costante la portata lungo ogni corda della linea media, nel caso della torsione si avrà la seguente legge di costanza del flusso : τ z (s)δ(s) = q = cost (35) Pertanto, mentre in generale τ z e δ possono variare con s il loro prodotto, detto flusso ed indicato con q, non varia e quindi non è funzione di s.

35 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Le formule di Bredt Napoli, 30 maggio 2012 La prima formula di Bredt I Si consideri la linea media di una sezione sottile biconnessa e si orienti la linea media in senso antiorario. Si indicherà con A m l area racchiusa dalla linea media. Sia inoltre n il versore uscente dal A m in modo che il versore tangente t è diretto secondo il verso positivo della linea media.

36 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Le formule di Bredt Napoli, 30 maggio 2012 La prima formula di Bredt II Il valore della forza infinitesima di una porzione elementare da = δ(s)ds è data da: df = τ z (s)δ(s)tds = qtds (36) Il momento rispetto al baricentro può essere valutato come: dm t = r df = r qtds (37)

37 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Le formule di Bredt Napoli, 30 maggio 2012 La prima formula di Bredt III Il momento torcente totale è pari a: M t = dm t = A A m [(r qt) k] ds (38) che ricordando la regola di permutazione del prodotto misto (r t) k = (t k) r si ha: M t = q [(t k) r] ds (39) A m

38 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Le formule di Bredt Napoli, 30 maggio 2012 La prima formula di Bredt IV Il prodotto vettoriale può essere sviluppato come: t k = det i j k n y n x = n x i + n y j = n x n y 0 = n (40) che sostituito nella precedente fornisce: M t = q [r n] ds (41) A m su cui applicando il teorema della divergenza si ha: M t = q [r n] ds = q div rda = 2qA m (42) A m A m

39 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Le formule di Bredt Napoli, 30 maggio 2012 La prima formula di Bredt V ricordando che div r = div x y 0 = x x + y y = 2 (43) La prima formula di Bredt assume dunque la seguente forma: e ricordando la definizione di flusso: q = M t 2A m (44) t z (s) = M t 2A m δ(s) (45)

40 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Le formule di Bredt Napoli, 30 maggio 2012 La seconda formula di Bredt I Per il teorema di Stokes, la circuitazione del vettore τ z può calcolarsi come integrale del rotore di τ z esteso all area racchiusa dalla linea media, A m : ˆ ˆ ˆ τ z ds = rot τ z da = 2Gθ da = 2Gθ da = 2Gθ A m A m A m A m A m (46) Calcolando la circuitazione del vettore τ z sostituendovi il valore della prima formula di Bredt si ha: A m τ z ds = A m M t 2A m δ(s) ds = M t 2A m A m 1 ds (47) δ(s)

41 Torsione in travi a sezione sottile biconnessa Le formule di Bredt Napoli, 30 maggio 2012 La seconda formula di Bredt II Uguagliando le due relazioni precedenti si ha: 2Gθ A m = M t 2A m A m 1 ds (48) δ(s) Dalla precedente è possibile ricavare la rigidezza torsionale della sezione biconnessa: C t = M t θ = 4GA2 m A m ds δ(s) che è nota in letteratura come seconda formula di Bredt. (49)

42 Torsione in travi a sezione rettangolare Napoli, 30 maggio 2012 Torsione in travi a sezione rettangolare I Si consideri una sezione rettangolare con l δ del tipo:

43 Torsione in travi a sezione rettangolare Napoli, 30 maggio 2012 Torsione in travi a sezione rettangolare II Essendo τ zy nulla lungo PQ e RS si può ritenere che essendo δ una quantità piccola, si può ipotizzare che sia nulla lungo la corda CD. Questa ipotesi porta a poter scrivere la terza equazione di equilibrio: che porta a: x + τ zy y = 0 (50) τ zx τ zx = cost (51) Viceversa si può dimostrare che la τ zx varia linearmente lungo y: τ zy rotτ z = τ zx y + x = 2Gθ τ zx = ay (52) dove a è una costante da determinare per ricavare in seguito θ.

44 Torsione in travi a sezione rettangolare Napoli, 30 maggio 2012 Torsione in travi a sezione rettangolare III Il momento torcente generato da questo campo di tensioni può essere valutato come: M t1 = = l ˆ2 δ ˆ2 l δ 2 2 ( al 3 δ 3 8 τ zx ydxdy = l ) 2 = aδ3 12 l δ ˆ2 δ 2 ay 2 dy = la [ y 3 3 ] δ 2 δ 2 (53)

45 Torsione in travi a sezione rettangolare Napoli, 30 maggio 2012 Torsione in travi a sezione rettangolare IV Nei bordi PQ, presa una striscia di dimensione arbitraria ε, le τ zx (in verde) devono diventare τ zy (in ciano) dovendo le tensioni tangenziali risultare tangenti al lato. Il flusso delle tensioni tangenziali sulla corda TU è pari a quello delle tensioni tangenziali τ zx nel tratto compreso tra la quota y e quella δ/2.

46 Torsione in travi a sezione rettangolare Napoli, 30 maggio 2012 Torsione in travi a sezione rettangolare V q(y) = δ ˆ2 y τ zx (ξ)dξ = δ ˆ2 y [ aξ 2 aξdξ = 2 ] δ 2 [ δ 2 = a 8 y 2 ] = [1 aδ2 y 2 ] δ 2 = [1 aδ2 4y 2 ] 8 δ 2 y (54) che risulta essere indipendente da ε e nullo sulle corde RR e PP e variabile con legge parabolica.

47 Torsione in travi a sezione rettangolare Napoli, 30 maggio 2012 Torsione in travi a sezione rettangolare VI La risultante di tale flusso è pari: R τzy = 2 δ ˆ2 0 = aδ2 4 = aδ2 4 δ q(y)dy = 2 aδ2 8 [y 4δ 2 y 3 [ ] δ 2 δ ˆ ] = aδ3 4 = aδ2 4 [1 4y 2 δ 2 ] dy [ δ 2 4 δ 2 ] δ = aδ3 12 (55)

48 Torsione in travi a sezione rettangolare Napoli, 30 maggio 2012 Torsione in travi a sezione rettangolare VII La risultante R τzy agisce su uno spessore ε piccolo, dunque è possibile considerare la risultante applicata sul bordo laterale. Con questa considerazione il momento aggiuntivo sarà pari a: M t2 = aδ3 12 l (56)

49 Torsione in travi a sezione rettangolare Napoli, 30 maggio 2012 Torsione in travi a sezione rettangolare VIII Il momento torcente totale è dato da: M t = M t1 + M t2 = aδ3 12 l + aδ3 12 l = aδ3 6 l (57) da cui è possibile ricavare la costante a come: a = 6M t lδ 3 (58) e la tensione tangenziale massima: τ max = a δ 2 = 6M t lδ 3 δ 2 = 3M t lδ 2 (59)

50 Torsione in travi a sezione rettangolare Napoli, 30 maggio 2012 Torsione in travi a sezione rettangolare IX Ricordando le precedenti relazioni: rotτ z = τ zx y + τ zy x = 2Gθ τ zx = ay a = 2Gθ (60) a = 6M t lδ 3 (61) e uguagliano il termine a da entrambe 2Gθ = 6M t lδ 3 (62) è possibile calcolare il contributo di rigidezza torsionale come: C t = M t θ = Glδ3 3 (63)

51 Esempio Napoli, 30 maggio 2012 Esempio applicativo I Data la sezione in figura, sollecitata da momento torcente M t : 1. disegnare l andamento del flusso delle tensioni tangenziali; 2. diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali; 3. calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale.

52 Esempio Napoli, 30 maggio 2012 Esempio applicativo II Siano: h = 200 mm b = 100 mm s 1 = 5.6 mm s 2 = 8.5 mm E = N/mm 2 ν = 0.3 M t = N mm

53 Esempio Napoli, 30 maggio 2012 Esempio applicativo III La prima fase consiste nel calcolo delle rigidezze torzionali, per profili rettangolari sottili: nel caso specifico: C ti = Glδ3 3 C t1 = G = G = C t3 C t2 = G = 10717, 6 G La rigidezza totale sarà pari a: C ti = C t1 + C t2 + C t3 = 51654, 2 G i

54 Esempio Napoli, 30 maggio 2012 Esempio applicativo IV La condizione di equilibrio richiede che: M i = M t (64) i Le condizioni di compatibilità cinematica richiedono che tutti i rettangoli subiscano la medesima torsione, ovvero: θ 1 = θ 2 = = θ n = θ (65) Risolvendo il sistema composto dalle precendento nello spirito del metodo degli spostamenti con: M i = C ti θ i (66) M t = C t θ (67)

55 Esempio Napoli, 30 maggio 2012 Esempio applicativo V si ottiene: ovvero: θ = M t i C ti (68) C t = i C ti (69) Con opportuni passaggi: M j = M T i C C tj (70) ti

56 Esempio Napoli, 30 maggio 2012 Esempio applicativo VI La ripartizione del momento torcente nelle parti componente la sezione può essere effettuata come: nel caso specifico M j = M T i C C tj ti M 1 = M 3 = N mm M 2 = N mm La tensione massima tangenziale sarà pari a: τ max,i = 3M t,i lδ 2 = M t,i C ti Gδ

57 Esempio Napoli, 30 maggio 2012 Esempio applicativo VII nel caso specifico τ max,1 = M t,1 C t1 Gδ = τ max,2 = M t,2 C t2 Gδ = N mm 2 N mm 2

58 Esempio Napoli, 30 maggio 2012 Esempio applicativo VIII Infine il diagramma delle tensioni tangenziali.

59 Fine Napoli, 30 maggio 2012 Grazie per l attenzione