Meccanica del continuo

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1 0_Materiali areonautici:layout :4 Pagina 5 Meccanica del continuo La meccanica del continuo solido è un argomento estremamente vasto e complesso nell ambito ingegneristico [], [], [3]. Tuttavia la trattazione presentata in questo capitolo è finalizzata all introduzione di alcune nozioni essenziali per la comprensione dei problemi strutturali che saranno trattati nei capitoli successivi. In particolare si farà riferimento al Principio dei Lavori irtuali (PL) per il calcolo dell equilibrio di un corpo continuo e al Principio dei Lavori irtuali Complementari (PLC) per soddisfare la congruenza dello stesso. Infatti il PL e il PLC verranno utilizzati nel seguito per il calcolo delle soluzioni iperstatiche in una trave, l imposizione della congruenza della soluzione correttiva, per il calcolo della matrice di rigidezza di una trave e per ottenere la formulazione delle equazioni di equilibrio negli elementi finiti. In questo capitolo verranno successivamente introdotti i tensori di sforzo e deformazione nel caso di spostamenti infinitesimi e di spostamenti finiti e ricavate le equazioni indefinite di equilibrio per un corpo continuo. I tensori di sforzo e deformazione sono associati alla descrizione della meccanica di qualunque corpo continuo, sia questo una trave o una piastra; dunque saranno utilizzati nei capitoli seguenti come punto di partenza per la definizione della sollecitazione nei vari elementi, mentre l applicazione al caso di spostamenti finiti verrà ripresa nella trattazione degli elementi finiti non lineari. Infine verranno espresse dettagliatamente le equazioni indefinite di equilibrio per la trave e, a partire da queste, verranno ricavate importanti considerazioni sullo stato di sforzo in tale elemento, oltre alla definizion delle azioni interne.. Il Principio dei Lavori irtuali Tutta la meccanica classica può essere dedotta dal Principio dell equilibrio delle forze: Per l equilibrio statico o dinamico di un continuo deformabile è necessario e sufficiente che, per ogni porzione del continuo stesso, la risultante e il momento risultante delle forze applicate (forze attive e forze d inerzia) siano nulli. Da questo assioma fondamentale possono essere dedotti tutti gli altri principi, compreso il Principio dei Lavori irtuali (PL): Condizione necessaria e sufficiente per garantire l equilibrio di un corpo è che tutti i possibili lavori virtuali siano nulli. Si definisce lavoro virtuale il lavoro di un sistema di forze reali per un campo di spostamenti virtuale. Un campo di spostamenti virtuali è un campo di spostamenti arbitrario, infinitesimo e congruente. 5. Il Principio dei Lavori irtuali

2 0_Materiali areonautici:layout :3 Pagina 6 6 Meccanica del continuo Fig.. Lavoro e spostamento virtuali. L arbitrarietà esprime che il principio deve valere per qualunque spostamento, che deve essere infinitesimo poiché in caso contrario si potrebbe uscire dalla condizione di equilibrio e congruente con i vincoli per mantenere l integrità del sistema in esame. Nel caso di vincoli bilateri (vincoli che agiscono in entrambe le direzioni) il lavoro virtuale deve essere nullo; nel caso di vincoli unilateri il lavoro virtuale può essere minore o uguale a zero. Si deve precisare che il lavoro virtuale non è un differenziale esatto, poiché non è legato allo spostamento reale del punto di applicazione della forza (Figura.). Le grandezze virtuali verranno nel seguito precedute dal simbolo δ. Per un corpo continuo il lavoro virtuale risulta pari alla somma del lavoro delle forze di superficie, delle forze di volume e delle forze interne. Le forze di superficie sono espresse come l integrale sull area della forza f di superficie agente sull elemento infinitesimo d che compie uno spostamento virtuale δs. nalogamente potranno essere espresse le forze di volume. Di conseguenza l espressione del lavoro virtuale diventa la seguente: δ L = f δsd + F δsd + δ L = 0 Poiché le forze interne si oppongono alla deformazione, esse compiono un lavoro negativo. Per questo si è soliti definire lavoro di deformazione l opposto del lavoro interno: δ L = δ L d i s i s

3 0_Materiali areonautici:layout :3 Pagina 7 L espressione del PL risulta dunque: δ L = f δsd + F δsd δ L = 0 Da qui l uguaglianza tra il lavoro di deformazione e la somma del lavoro delle forze di superficie e di volume. δ L = f δs d + F δs d d. Il Principio dei Lavori irtuali Complementari Quando gli spostamenti sono infinitesimi, le equazioni di congruenza possono essere dedotte dal Principio dei Lavori irtuali Complementari (PLC): Condizione necessaria e sufficiente per garantire la congruenza di un corpo è che tutti i possibili lavori virtuali complementari siano nulli. Si definisce lavoro virtuale complementare il lavoro di un sistema di forze virtuali per un campo di spostamenti reale. Un campo di forze virtuali è un campo di forze arbitrario, infinitesimo ed equilibrato. Nel caso di spostamenti infinitesimi, il lavoro virtuale e il lavoro virtuale complementare coincidono..3 Tensore di deformazione Per poter calcolare il lavoro di deformazione all interno degli enunciati precedenti, è necessario essere in grado di esprimere lo stato di deformazione del corpo. Tale lavoro è quello compiuto, all interno del corpo, dagli sforzi interni generati dalle deformazioni conseguenti ai carichi applicati. Dal punto di vista lagrangiano, tipico nello studio della meccanica dei solidi, si ritiene che un corpo continuo arrivi in un certo stato deformato da uno stato iniziale prefissato (in generale, ma non sempre, indeformato e a sforzo nullo) attraverso uno spostamento s. Se P è la posizione iniziale di un punto del corpo nello stato iniziale e Q è la posizione dello stesso punto nello stato deformato, lo spostamento viene definito come: s = Q P Per ottenere la deformazione è necessario separare dallo spostamento la parte rigida da quella deformativa. La notazione tensoriale [3] è una rappresentazione che consente di esprimere sinteticamente i termini vettoriali. Nell espressione seguente lo spostamento infinitesimo di un punto viene rappresentato attraverso la notazione tensoriale: d 7. Il Principio dei Lavori irtuali Complementari

4 0_Materiali areonautici:layout :3 Pagina 8 8 Q S P Meccanica del continuo dp Fig.. Definizione di spostamento per un corpo continuo. P d P y dy P = + + dz = P/ idi = P/ d + P/ d z Si ricorda che nella notazione tensoriale gli indici ripetuti sottintendono il simbolo di sommatoria. Per ottenere il tensore di deformazione, è necessario calcolare il quadrato dello spostamento, pari a: dp d P = P / i P / k d d = δ d d dove δ ik è la delta di Kronecker definita come: i = k δ ik = 0 i k Se il punto P subisce uno spostamento s fino ad una posizione P, vale la seguente relazione: P =P+ s Differenziando l equazione precedente si ottiene: d P = P + s Il quadrato del differenziale appena espresso è: Si definisce il tensore di deformazione di Green-Lagrange come: dp dp - dp dp ε ik = didk i k ik i k + P /3 d 3 ( + ) = ( + / / / / / ) dp dp = P/ i + s/ i P/ k s/ k didk P/ ip/ k P/ is + P s + s s d d k k i i k i k d / i / i i

5 0_Materiali areonautici:layout :3 Pagina 9 Il tensore viene definito in questo modo poiché consente di separare la parte rigida dello spostamento da quella deformativa. Per maggiori dettagli su questo argomento si rimanda a [9]. Considerando che il termine s /i s /k è un infinitesimo di ordine superiore e quindi trascurabile e sostituendo le espressioni dei quadrati dei differenziali precedentemente calcolati, si ottiene: s s ε ik = i + / k k / i Si ricorda che in caso di spostamenti infinitesimi la configurazione deformata può essere confusa con la configurazione iniziale e il punto di vista lagrangiano coincide con quello Euleriano. Di conseguenza il tensore di deformazione di Green-Lagrange coincide con il tensore di deformazione di lmansi [9], che è tipico del punto di vista euleriano ed usualmente associato alla meccanica dei fluidi. Si vuole ora dimostrare come nel caso di spostamenti non infinitesimi, il tensore di Green-Lagrange non si possa applicare per determinare correttamente la deformazione. Si consideri uno spostamento applicato al corpo in Figura.3 costituito prima da un allungamento nelle direzioni e y di una quantità α e β e successivamente da una rotazione di 90. La coordinata orizzontale in seguito allo spostamento sarà costituita dalla somma della traslazione α con la proiezione della traslazione verticale. Per la deformazione valgono dunque le seguenti espressioni: = ( + α)+ γy y = y( + β) Fig..3 Deformazione e spostamenti non infinitesimi. 9.3 Tensore di deformazione

6 0_Materiali areonautici:layout :3 Pagina 0 Meccanica del continuo 0 La rotazione di 90 conduce alla seguente variazione di coordinate: Lo spostamento finale risulta dalla differenza delle coordinate finali con quelle iniziali: s = = y + β sy = y y = ( + α) γy y Per ottenere il tensore di deformazione è necessario calcolare le derivate degli spostamenti rispetto alle due direzioni: Ricordando l espressione del tensore di Green-Lagrange: è possibile sostituire il valore delle derivate calcolate per ottenere la deformazione. ε ε γ γ s s s s y / / y y/ y/ y = ε ik = i + / k k / i = s + s = s + s = s + s y = s + s = y = = + β = α = γ s s = / / = yy y/ y y/ y y / y/ y y/ / y Si nota facilmente che le deformazioni così ottenute non corrispondono a quelle effettive α e β poiché gli spostamenti non sono infinitesimi. Quest evidenza porta a considerare il fatto che nel caso di spostamenti non infinitesimi, sarà necessario introdurre una nuova definizione di tensore di deformazione che consenta di descrivere con precisione lo stato deformativo del corpo. γ = β = ( α) ( β α )

7 0_Materiali areonautici:layout :3 Pagina.4 Equazioni indefinite di equilibrio Dopo aver determinato il tensore di deformazione, è necessario procedere all ottenimento del lavoro di deformazione che compare all interno dell espressione del PL: δ L = f δsd + F δsd δ L = 0 Una volta definito il tensore di deformazione è possibile sostituirlo nell espressione del PL e ricavare le equazioni indefinite di equilibrio. Si deve però associare al tensore di deformazione un entità che, moltiplicata per esso, generi un lavoro di deformazione. iene dunque introdotto il tensore di sforzo σ ij che è anch esso un tensore doppio e simmetrico, analogamente al tensore di deformazione. È possibile esprimere il lavoro di deformazione come l integrale sul volume, del lavoro infinitesimo generato dallo sforzo σ ij associato alla deformazione virtuale δ ε ij : Si considera solo la parte simmetrica di entrambi i tensori poiché, data la simmetria del tensore di deformazione, è l unica che genera lavoro. Sostituendo l espressione del tensore di Green-Lagrange all interno della definizione del lavoro di deformazione ed esplicitando gli indici dei tensori si ottiene: = δ Ld = δsi + δs σ / j j/ i ij = σ ( δs + δs / / )+ ( + )+ ( + )+ σ δ s δ s σ3 δ s δ s / / / 3 / 3 + σ3 ( δs3 + δs σ3 δs3 δs σ33 δs / / 3)+ ( + / / 3)+ ( 3 + δs / 3 ) 3 / 3 d = = σδs d = ij i ( σδ ij si ) σ / j / j ij δs d / j i = σδ ij snd i i σij δ / j i = δ L Per la simmetria dei due tensori è possibile scrivere che: δ L = δ ε σ d d ij ij sd = σ δs d / j d ij i d.4 Equazioni indefinite di equilibrio

8 0_Materiali areonautici:layout :3 Pagina Meccanica del continuo Se ora si considera l espressione della derivata del prodotto (rispetto all indice j) e si applica il Teorema della divergenza, è possibile esprimere il lavoro di deformazione come: δ Ld = σijδsi d = ( σ δs σ δs d / ij i ) j / j ij/ j i = Il lavoro di deformazione è dunque pari a: Sostituendo questa espressione all interno dell espressione del lavoro totale e raccogliendo i termini soggetti allo stesso tipo di integrazione, si ottiene: δ L = Fi + σ δs ij d f σ n δs / j i + i ij i i d = 0 = σδsnd σ δsd ij i i ij / j i δ Ld = σijδsnd i i σij δsd / j i La relazione precedente deve valere per qualunque spostamento virtuale. Di conseguenza i termini sotto il segno di integrale devono essere singolarmente nulli. Si ottengono quindi le equazioni indefinite di equilibrio; la prima ricavata annullando i termini sotto l integrale di volume e la seconda annullando i termini relativi all integrale di superficie: F f ij + σ = ij 0 / j + σ n = 0 i ij j Il legame tra i tensori di sforzo e deformazione dipende dal materiale considerato e verrà definito nel capitolo 7. Si precisa che esiste una forma alternativa per ottenere le equazioni indefinite di equilibrio partendo dalla scrittura esplicita dell equilibrio dell elemento infinitesimo di trave [9].