BOZZA. Lezione n. 10. Il metodo dell equilibrio: esempio #4 La rigidezza alla traslazione

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1 ezione n. 10 Il metodo dell equilibrio: esempio #4 a rigidezza alla traslazione E opportuno estendere lo studio effettuato fino a questo punto anche al caso di strutture in cui siano possibili spostamenti dei nodi, ossia in cui, oltre alla presenza di rotazioni nei nodi, siano consentite traslazioni dei nodi stessi. estensione, sempre nell ottica del metodo dell equilibrio, implicherà quindi la definizione di una rigidezza alla traslazione, in maniera perfettamente analoga a quanto a suo tempo fatto nell introdurre il concetto di rigidezza alla rotazione. Il concetto verrà introdotto attraverso l ausilio di un esempio, che consentirà comunque di arrivare a conclusioni di carattere del tutto generale. a travatura analizzata è riportata in figura seguente, ed è composta da tre aste (, e ) e quattro nodi (,, e ). In figura si sono riportate anche le convenzioni di segno che nel seguito verranno adottate (quindi i versi positivi assunti per gli spostamenti e le forze). /2 /2 OZZ In linea generale, la struttura possiede 7 movimenti indipendenti, ossia tutti gli spostamenti nodali non impediti da vincoli: nodo : w ϕ nodo : w v ϕ nodo : w ϕ Introducendo l ipotesi di indeformabilità assiale, ossia di trascurabilità della deformazione per sforzo normale rispetto a quella per momento flettente (*), si può affermare che + w =w =w v =0 (*) ipotesi di trascurabilità della deformazione per sforzo normale rispetto a quella per momento flettente si può esprimere affermando che la trave è indeformabile assialmente. Tale affermazione (che può essere scritta come E= ) corrisponde infatti alla circostanza secondo la quale non si possono avere ne allungamenti ne accorciamenti della linea d asse della trave. Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni Revisione 11/11/01

2 ezione n. 10 pag. X.2 in quanto l asta, l asta e l asta non possono subire variazioni di lunghezza. Inoltre, alla luce delle considerazioni precedentemente effettuate, i valori della rotazione nei due nodi e possono essere lasciati come movimenti dipendenti dagli altri, in virtù del fatto che le due condizioni statiche di estremità M =0 e M =0 consentono comunque l integrazione della linea elastica nei due tratti e anche senza conoscere il valore delle rotazioni ϕ e ϕ. Quindi la travatura può essere risolta ricorrendo a due soli movimenti indipendenti, la rotazione in (ϕ ) e la traslazione orizzontale dell asta orizzontale (che può essere semplicemente indicata con w, intendendo con tale notazione il valore dello spostamento orizzontale di tutti i punti dell asta, ossia w= w =w =w ). Ordinando i due valori (incogniti) dei movimenti indipendenti in un vettore {δ}, analogamente a quanto fatto nell esempio precedente, la soluzione della travatura richiederà il ricorso alla determinazione della matrice di rigidezza per la struttura in esame. δ1 φ {} δ = = δ2 w differenza però dell esempio precedente, siamo in questo caso in presenza di un vettore di spostamenti incogniti composto sia da una rotazione che da una traslazione, per cui sarà necessario operare in maniera un po diversa. e fasi di cui si compone la ricerca della soluzione della struttura saranno comunque sempre le stesse: - soluzione della fase I (struttura con movimenti indipendenti impediti); - determinazione della matrice di rigidezza [K]; - soluzione della fase II (struttura con movimenti indipendenti consentiti ed azioni soltanto in corrispondenza di tali spostamenti); - somma della fase I e della fase II. ase I Nella prima fase sarà necessario risolvere la struttura riportata in figura, in cui sono stati impediti entrambi i movimenti indipendenti. OZZ /2 /2 I movimenti indipendenti sono stati impediti introducendo due vincoli ausiliari: un morsetto in (che obbliga la struttura a mantenere ϕ =0) ed un appoggio orizzontale in (che, impedendo la Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

3 ezione n. 10 pag. X.3 traslazione orizzontale di, impedisce, di fatto, qualunque spostamento orizzontale all asta, e quindi soddisfa la condizione w=0). a soluzione della travatura in fase I può facilmente essere ricavata suddividendo la struttura nelle varie aste che la compongono, imponendo le condizioni vincolari di estremità e, sfruttando risultati già noti, pervenire alla definizione delle reazioni vincolari e delle sollecitazioni nei singoli tratti. /4 3/16 /2 /4 /2 11/16 OZZ /2 /2 5/16 e reazioni riportate in figura sono state disegnate ricorrendo a risultati già noti. E opportuno sottolineare che: - il vincolo ausiliario che impedisce la traslazione orizzontale in di fatto blocca, come del resto già osservato, la traslazione di qualunque punto dell asta ; è possibile quindi disegnare tale vincolo indifferentemente in, o (o in qualunque altro punto dell asta) in quanto del tutto equivalente. Nel disegnare i vincoli dei vari tratti, ad esempio, si è riportato tale vincolo in anziché in, ottenendo i vincoli di estremità in figura - per il tratto verticale (di lunghezza pari a 2) il valore del momento flettente in e può essere ricavato ricordando che, se la trave fosse stata lunga, si sarebbe ottenuto un valore pari a /8. Inserendo il valore 2 anziché si ottiene quindi (2)/8=/4, come riportato nella figura. In maniera del tutto analoga si possono disegnare i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione della struttura in fase I, semplicemente assemblando i diagrammi dei singoli tratti, o i valori delle reazioni vincolari complessivi, oppure il diagramma della deformata. In figura seguente sono riportati, sovrapposti, sia i valori delle reazioni vincolari che dei diagrammi del momento flettente ottenuti in questa fase, mentre il tracciamento del diagramma del taglio, dello sforzo normale e l andamento della deformata non sono stati riportati e vengono lasciati come esercizio. I valori delle reazioni esercitate dai vincoli ausiliari sono anch essi stati ottenuti per composizione dei risultati ottenuti nei vari tratti. a reazione del vincolo ausiliario in, ad esempio, vale M = + = dove i momenti alle estremità dell asta e sono stati sommati vettorialmente, attribuendo loro i segni come da convenzione adottata. Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

4 ezione n. 10 pag. X.4 /16 3/16 1/4 /2 1/4 /4 /2 5/32 /2 11/16 1/4 5/16 lla luce dei risultati ottenuti, è possibile quindi individuare quello che rappresenterà il vettore dei termini noti nel sistema lineare che verrà risolto in fase II. Ricordando le grandezze introdotte nella lezione precedente, si ha infatti: { } (I) {} { } () I M0 M = = 0 = = H (I) H in cui si è indicato con H il valore della reazione orizzontale del vincolo ausiliario in. I valori di M 0 e H 0 sono nulli in quanto essi rappresentano i valori di eventuali forze applicate, nella struttura di partenza, in corrispondenza dei movimenti indipendenti: nel caso in esame, non essendoci nella struttura di partenza ne coppie applicate in ne forze orizzontali lungo il tratto, essi assumono evidentemente valori uguali a zero. Infine, il valore di H (I) è negativo in quanto la reazione in fase I offerta dal vincolo ausiliario in ha verso discorde rispetto a quello assunto come positivo. /2 OZZ eterminazione della matrice di rigidezza Prima di passare alla fase II è necessario costruire, per la struttura esaminata e facendo uso dei soli movimenti assunti come indipendenti, la matrice di rigidezza. Nel caso in esame quindi si dovrà pervenire alla definizione di una matrice quadrata, simmetrica, di ordine 2. ome già notato le colonne di tale matrice possono essere determinate direttamente risolvendo due strutture nelle quali uno dei due movimenti indipendenti viene posto pari ad uno e l altro viene mantenuto al suo valore nullo. In particolare, la prima colonna corrisponderà al caso in cui δ 1 =1 e δ 2 =0, secondo l ordine utilizzato nella definizione del vettore degli spostamenti incogniti, mentre la seconda si ricaverà ricercando le forze necessarie a mantenere, nella struttura di partenza, i valori di spostamento δ 1 =0 e δ 2 =1. Il termine (i,j)-esimo della matrice [K], k ij, corrisponde infatti alla forza che è necessario applicare in corrispondenza dell i-esimo movimento indipendente quando, nella struttura, si abbia δ j =1 come unico spostamento diverso da zero (relativamente al totale dei movimenti assunti come indipendenti). Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

5 ezione n. 10 pag. X.5 1a colonna di [K] Occorre determinare i valori delle due forze k 11 e k 12 (rappresentate in figura con il loro verso positivo) che servono a garantire lo stato di spostamento riportato, caratterizzato da δ 1 =1 e δ 2 =0. a presenza del vincolo ausiliario in corrispondenza di ricorda che nella struttura in esame la travata è impedita di traslare. k 11 δ 2 = w = 0 k 21 δ 1 = ϕ = 1 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni Scomponendo la trave nei vari tratti che la compongono, è possibile ricondursi a casi la cui rigidezza è nota. I risultati sono riportati nella figura successiva, in cui si è posto EJ R = δ 1 = 1 3R 2R 3R 3R/(2) δ 1 = 1 δ 1 = 1 3R/ 3R/ OZZ 2 3R/ 2 3R/ 3R/(2) R I due tratti e costituiscono due casi sufficientemente noti e non necessitano di commenti ulteriori. Il tratto è costituito da una trave appoggio-incastro la cui rigidezza alla rotazione vale 4R, essendo R la rigidità dell asta. al momento che tale asta è lunga 2 (il doppio delle altre) ne risulta che R =R/2, dove R è la rigidità assunta come riferimento. i conseguenza si ha che la rigidezza k (rigidezza alla rotazione in dell asta ) vale 4R =4 (R/2)=2R, come riportato in OZZ SOGGETT REVISIONE

6 ezione n. 10 pag. X.6 figura. Utilizzando poi il valore del coefficiente di trasmissione (che vale t=+½ indipendentemente dalla lunghezza dell asta) e imponendo le condizioni di equilibrio per l asta in esame, si ottengono le reazioni vincolari riportate nella figura precedente. ssemblando i risultati ricavati per ogni singolo tratto si ottiene k11 = k + k + k = 3R + 3R + 2R = 8R 3 R k 21 = 2 mentre i valori delle altre reazioni vincolari sono riportati nella figura seguente: 8R δ 2 = w = 0 3R/(2) δ 1 = ϕ = 1 3R/ 3R/ R 3R/(2) E da notare che: - il valore di k 21 è negativo perché il valore della reazione del vincolo (ausiliario) che impedisce la traslazione orizzontale della travata ha verso contrario rispetto alla convenzione adottata; - il termine k 21 ha le dimensioni di una forza (è infatti espresso dal rapporto tra una rigidezza, ossia un momento, ed una lunghezza) mentre il termine k 11 è costituito da una coppia. 2 OZZ 2a colonna di [K] a seconda colonna di [K], costituita dai due termini k 12 e k 22 (rappresentati in figura con il loro verso positivo) si ottiene risolvendo struttura in cui δ 1 =0 e δ 2 =1. + Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

7 ezione n. 10 pag. X.7 δ 1 = ϕ = 0 k 12 k 22 δ 2 = w = 1 nche in questo caso, il valore delle due forze può essere ricavato scomponendo dapprima la travatura nelle singole aste che la costituiscono: 3R/(2) 3R/(2 2 ) δ 2 = 1 OZZ 3R/(2) 2 3R/(2 2 ) I due tratti e traslano rigidamente di una quantità pari a 1, per cui i vincoli non esercitano nessuna forza (l assenza di deformazioni implica infatti l assenza di ogni sollecitazione nei due tratti). Il tratto verticale può essere risolto richiamando il risultato già visto in lezioni precedenti. a trave vincolata con un bipendolo ad un estremità e un incastro all altro, sottoposta all azione di una forza orizzontale è già stata studiata in precedenza. a condizione di rotazione nulla alle due estremità e impone infatti che l area del diagramma del momento flettente (che a meno del fattore 1/EJ rappresenta la differenza tra i due valori ϕ e ϕ ) debba essere nulla: di conseguenza il diagramma dei momenti ha un andamento antimetrico (rispetto alla trave) e, se la trave è sottoposta ad una forza di entità pari ad, assume alle estremità il valore. 2 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

8 ezione n. 10 pag. X.8 2 Riguardo al valore dello spostamento verticale in, è facile osservare che la deformata ed il diagramma dei momenti delle due metà della trave sono gli stessi che si avrebbero nel caso di una mensola di metà luce (quindi pari ad ), sottoposta all azione di una forza verticale all estremità f z In termini di abbassamento verticale del punto, si può quindi affermare che questo assume un valore doppio (data l antimetria della trave) rispetto a quello assunto dalla mensola di metà luce (indicato con f). Il valore di f si può ricavare facendo ricorso al PV, utilizzando come S.S.. la trave in figura, e come S..T.* sempre la stessa trave. Infatti si ottiene * e = f mentre il lavoro virtuale interno vale 2 3 * M () () z 2 dz dz i = M z ds = [ + z] = ( 2 z + z ) =... = EJ EJ EJ 3 EJ str 0 0 e quindi 3 f = 3 EJ Ricapitolando, si ha quindi che nella trave in esame, se sottoposta all azione della forza, nascono le reazioni vincolari e gli spostamenti riportati in figura 2 OZZ 3 2 v = 3 EJ i conseguenza, nel caso di spostamento unitario dell estremità (quale era il caso dal quale siamo partiti) si ha che la forza assume il valore: Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

9 ezione n. 10 pag. X EJ 3 R v = = 1 = = 3 EJ Tale quantità rappresenta, per la trave investigata, il valore della forza che occorre applicare nell estremo libero di traslare per ottenere, in tale estremità, un valore unitario della traslazione. nalogamente a quanto già fatto nel caso della rotazione, è quindi naturale definire questa grandezza come rigidezza alla traslazione; questa entità gioca un ruolo fondamentale quando si debbano analizzare strutture con i nodi liberi (anche) di traslare. Nel caso di un tratto di lunghezza pari ad (anziché 2 come è il particolare caso in esame) si sarebbero ottenuti i risultati riportati in figura: E R W = 12 = 12 6 R/ R/ 2 v = 1 12 R/ 2 6 R/ I risultati ottenuti (già riportati in precedenza per il tratto verticale ) consentono, a questo punto, di ricavare i valori delle rigidezze che costituiscono la seconda colonna di [K]: 3 R k 12 = 2 3 R k 22 = 2 2 dove i segni sono stati attribuiti in accordo con la convenzione adottata. OZZ 3R/(2) δ 1 = ϕ = 0 3R/(2 2 ) 3R/(2) δ 2 = w = 1 3R/(2 2 ) 2 ase II a soluzione della struttura in fase II è a questo punto possibile, in quanto si è pervenuti alla definizione completa della matrice di rigidezza Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

10 ezione n. 10 pag. X.10 [K] k11 = k21 k 8R 12 = k 3 R 22 2 mentre in fase I si era ricavato { } 1 16 = R 2 3 R 2 2 a soluzione della struttura in fase II è quindi offerta dalla soluzione del sistema lineare [ K ]{} δ = { } a soluzione del sistema porge /16 /2 δ 1 =? δ 2 =? 8 3/(2) δ1 /16 δ1 7 /104 R 2 = = 3/(2) 3/(2 ) δ2 1/ 2 δ2 R 125 /312 E a questo punto agevole ricavare le sollecitazioni (in fase II) nei singoli tratti, utilizzando i risultati già ricavati in precedenza. 21/104 OZZ δ 1 3Rδ 1 =21/104 δ 1 21/104 3Rδ 1 =21/104 δ 2 21/104 δ 2 21/104 2 effetto della traslazione orizzontale dell asta non induce stato di sollecitazione effetto della traslazione orizzontale dell asta non induce stato di sollecitazione Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

11 ezione n. 10 pag. X.11 2Rδ 1 =7/52 δ 1 2 7/104 21/208 21/ / Rδ 2 /(2)=125/208 δ /208 3Rδ 2 /(2)=125/208 nziché studiare la trave gravata di entrambi i movimenti indipendenti δ 1 e δ 2 contemporaneamente, si può considerare la composizione dei due casi riportati, in cui il primo ruota ma non trasla, mentre il secondo trasla ma non ruota. Globalmente si avrà M = = H = + = = M = = H = + = = a soluzione della trave in fase II è riportata in figura seguente, relativamente ai valori delle reazioni vincolari e del diagramma dei momenti. 21/104 OZZ 111/208 21/104 21/104 /16 97/208 /2 111/208 21/104 2 /2 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE

12 ezione n. 10 pag. X.12 ase I + ase II a soluzione della struttura è infine ottenibile per somma degli effetti ottenuti in fase I ed in fase II. Nella figura seguente si riporta il risultato in termini di reazioni vincolari e diagramma del momento flettente. 21/104 45/208 21/ /208 3/208 H 107/ /208 45/ /208 11/16 Occorre notare che la composizione delle due fasi ha comportato, in, l equilibrio globale dei momenti al nodo: si ha infatti M = M + M + M = + = come era logico attendersi dal momento che, nella struttura di partenza, non agiscono coppie concentrate in. Inoltre il tratto H presenta un andamento costante del momento, e ciò dipende dal fatto che tale parte della trave non è soggetta a sforzo di taglio. OZZ 2 Gianni artoli ppunti di Tecnica delle ostruzioni OZZ SOGGETT REVISIONE