Sono riportate nel seguito tipiche strutture che si analizzeranno durante il corso: Figura 1.1

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1 Capitolo 1 1 Risoluzione delle strutture iperstatiche 1 (A cura di Rosario Palomba) 1.1 Studio del comportamento degli elementi strutturali Sono riportate nel seguito tipiche strutture che si analizzeranno durante il corso: Figura 1.1 Obiettivo finale sarà il progetto della sezione, per ogni tipologia di carico agente. A tal fine è necessario, in via preliminare, un analisi delle sollecitazioni su sistema semplice. E di fondamentale importanza, comunque, la conoscenza dei diagrammi a livello qualitativo, attraverso la costruzione di diagrammi a maniera. Il criterio di fascia. Come primo passo è importante che si sia in grado di riconoscere se la struttura sia isostatica o iperstatica, avendo chiara in mente la definizione di entrambe. 1 Risoluzione delle strutture iperstatiche

2 Si riprendano le figure precedenti, è facile notare che le strutture (B) e (C) siano isostatiche (trave appoggiata-appoggiata e mensola), mentre la struttura (A) sia una struttura iperstatica. Per risolvere le strutture isostatiche sarà sufficiente la sola applicazione delle condizioni d equilibrio, mentre per quelle iperstatiche, le condizioni d equilibrio non sono sufficienti, in quanto necessarie le cosiddette condizioni di congruenza Metodo delle forze Il metodo delle forze consente nella determinazione, tra le infinite soluzioni equilibrate, dell unica che sia anche congruente. Tale metodo consistente nella riduzione della struttura iperstatica, ad una struttura isostatica equivalente ed equilibrata, attraverso opportuna eliminazione di un incognita iperstatica. In una struttura è possibile eliminare qualsiasi incognita, ma generalmente si preferisce l elemento che impedisce la continuità in corrispondenza dell appoggio (in questo caso in B): X X Figura 1.2 avendo così un elemento discontinuo (cerniera interna) di due travi appoggiate-appoggiate. Questo passaggio non comporta un uguaglianza tra le due strutture, in quanto nell appoggio, per la continuità della trave, il momento era diverso da zero, mentre nella nuova struttura sarà pari a zero per la presenza della cerniera interna. Quindi per ripristinare l equilibrio, si disporrà un incognita iperstatica in corrispondenza dell appoggio B, denominata X (due coppie di pari modulo, ma verso opposto). Con questo si risolverà il problema dell equilibrio, ma non quello della congruenza, perché la cerniera consentirà ai due estremi, di ruotare. Per ripristinare la congruenza, si dovrà, quindi introdurre una condizione di uguaglianza della rotazione in B a sinistra a quella in B alla destra secondo la condizione: X X Figura Risoluzione delle strutture iperstatiche

3 Le rotazioni all estremità della trave, per le varie condizioni di carico possono essere ricavate con il principio dei lavori virtuali, ma possono essere desunte dagli schemi notevoli : In particolare ad esempio, considerando i due tronchi di trave AB e BC andranno valutate le rotazioni relative al carico uniformemente distribuito e alla coppia incognita iperstatica: 1) Asta AB [Luce L1] 2) Asta BC [Luce L2] Figura 1.4 deformate del corpo AB Figura 1.5: deformate del corpo BC Fissando, arbitrariamente, segno positivo per le rotazioni orarie, si ottiene:: q(l1) 3 _ XL1 = φbs = φbd = _ q(l2) 3 + XL2 24EI 3EI 24EI 3EI OSSERVAZIONE 1. Le frecce in rosso, evidenziano le rotazioni relative dell appoggio, in B, a causa dell applicazione del carico q e dell incognita iperstatica, assumendo valore positivo (negativo) se di senso orario (antiorario). Nell ipotesi che la trave presenti stessa rigidezza EI: X (L1 + L2) = q (L1³ + L2³) X = q (L1³ + L2³) (L1 + L2) Se (L1 + L2) = L e L1=L2 X = ql² 8 La trave studiata in realtà sarebbe 3 volte iperstatica: in questo caso non si è tenuto conto delle reazioni orizzontali, poiché la travi continua è caricata da solo carico verticale e le condizioni di vincolo poste sono equivalenti alle condizioni di vincolo carrello. Nota l incognita iperstatica, è possibile studiare le due parti di strutture isostatiche, e ricavare, attraverso le equazioni di equilibrio, le reazioni vincolari e i relativi diagrammi delle sollecitazioni, momento flettente e taglio: 3 Risoluzione delle strutture iperstatiche

4 Figura 1.6 In particolare: RA = (ql1/2) (X/L1) RC = (ql2/2) (X/L2) RB = V B s+v B d = (ql1/2) + (X/L1) + (ql2/2) + (X/L2) destra, di B) (somma dei tagli a sinistra e a Ottenuti i valori delle reazioni vincolari, sarà facile determinarsi la funzione degli andamenti delle sollecitazioni di taglio: V(z) = RA - q z [Taglio generico Luce L1] V(z) = V B - q z [Taglio generico Luce L1+L2] e quelle di Momento Flettente: M(z) = RA z - (qz²/2) [Momento generico Luce L1] M(z) = - X+V B z - (qz²/2) [Momento generico Luce L1+L2] Ricordando la relazione esistente tra sollecitazione di momento e taglio: dm(z) = V(z) dz l ascissa in cui si verifica il momento massimo in campata può essere determinata imponendo il Taglio pari a zero: V A =0 RA - q z max = 0 z max = (RA/q) Il massimo valore del momento nella campata AB sarà quindi pari a: M max = RA z max - (qz max ²/2) I diagrammi di sollecitazione relativi allo schema in esame sono riportati in Figura Risoluzione delle strutture iperstatiche

5 Figura 1.7. Sollecitazioni di Taglio (V) e Momento flettente (M) ESEMPIO 1. Si veda la trave iperstatica in Fig.1.8, con carico concentrato F, e applicando il metodo delle forze, si ricavi il valore dell incognita iperstatica: Figura 1.8. schema geometrico e di carico Come nel caso precedente si assume quale incognita iperstatica il momento sull appoggio in B. L uguaglianza delle rotazioni nel nodo B, appartenente alla trave AB e BC, rappresenta la condizione di congruenza. Le equazioni risolutive sono: Figura 1.9. Risoluzione con il metodo delle forze XL1 = φbs = φbd = _ XL2 + FL2² ; 3EI 3EI 16EI X (L1 + L2) = FL2² ; 3EI 16EI X = 3FL2² 16 (L1 + L2) ESEMPIO 2. Struttura iperstatica con sbalzo Si risolva la struttura iperstatica di Figura 1.10, caratterizzata dalla presenza di uno sbalzo. 5 Risoluzione delle strutture iperstatiche

6 Figura Schema strutturale Si proceda alla soluzione della struttura con il metodo delle forze, con l introduzione dell incognita iperstatica e relative condizioni di congruenza, sull appoggio in B (φbs = φbd): R=q L sb Figura 1.11 È possibile semplificare la presenza dello sbalzo che, essendo la, equivale alla trasmis-sione di una coppia M (e di una forza concentrata, considerata fittizia ai fini del calcolo dell incognita iperstatica), sull appoggio in C, ottenendo lo schema rappresentato in Fig.9. Da qui si procede al calcolo delle singole rotazioni, a destra e a sinistra, relative all appoggio in B: Figura 1.12 Si ottengo i valori: XL1 = φbs = φbd = _ XL2 _ M L2 ; 3EI 3EI 6EI X(L1 + L2) = _ M L2 ; 3EI 6EI X = _ M L2 6 Risoluzione delle strutture iperstatiche

7 (L1 + L2) 1.3 Diagrammi a maniera Attraverso uno studio intuitivo delle strutture, è possibile definire diagrammi utili al fine paragonativo del risultato finale ottenuto analiticamente, e alla comprensione della posizione delle fibre tese (dove sarà necessario di inserire l acciaio) nella fase di progetto della sezione in cemento armato Schemi notevoli Dallo studio di casi semplici, di cui si è ricavati i relativi diagrammi delle sollecitazioni, sarà possibile sfruttare i risultati per la progettazione, e ovvia verifica, di strutture a trave continua, apiù campate: Figura 1.13 OSSERVAZIONE. Lo schema incastro-appoggio, per la simmetria è equivalente ad una trave continua a più appoggi. Altri casi: 7 Risoluzione delle strutture iperstatiche

8 2 ql 12 Figura 1.14 Volendo utilizzare tali casi notevoli, per la risoluzione del modello di trave continua a due campate, con uno sbalzo, il diagramma delle sollecitazioni flessionali (diagramma del momento), sarà come raffigurato in Fig Il caso presenta il carico q, posto sullo sbalzo, quindi è da lì che inizieremo lo studio del diagramma, dalla campata caricata: Figura 1.15 Come si è già detto, lo sbalzo si comporta come una mensola incastrata all estremità della trave continua. Procedendo nello studio delle altre campate, vediamo che la campata AB si comporta come lo schema notevole, precedentemente studiato (Fig.1.13), ovvero, come una via di mezzo tra un appoggio-appoggio con una coppia all estremità. La campata BC, invece si comporterà come un incastro-appoggio, perché per la presenza di elementi di continuità (la trave continua), il vincolo in B, si comporterà come un incastro imperfetto (o come una molla rotazionale imperfetta), dando un valore di momento, a differenza dello schema in Fig.1.14, inferiore a M/2. 8 Risoluzione delle strutture iperstatiche

9 Si prenda ora il caso di trave continua a tre campate, con uno sbalzo, con carico q, stavolta, posto su una delle due campate, vedremo che il diagramma delle sollecitazioni di flessione, sarà: Figura 1.16 Lo sbalzo (elemento isostatico), dato che non è caricato, non fornirà alcun momento Esempi di strutture a telaio È possibile riscontrare, oltre alla struttura a travata continua, anche varie tipologie di strutture, sia isostatiche che iperstatiche, come le strutture a telaio, o a stampella (pensiline, elementi di ponti, ecc.): ESEMPIO 1. Si consideri una struttura isostatica, a T, con un vincolo di incastro, questa presenterà sicuramente un comportamento a mensola (struttura isostatica), di semplice calcolo. É possibile ottenere, tramite il sistema delle forze, tutto ciò che occorre ai fini della risoluzione dell equilibrio e dei diagrammi del taglio e del momento. Per la risoluzione a maniera, ci si baserà sull equilibrio o sulla rappresentazione della linea elastica dello schema, permettendoci di individuare le fibre tese: 9 Risoluzione delle strutture iperstatiche

10 Figura 1.17 Nella definizione del diagramma del momento, è possibile notare che l elemento a sbalzo, soggetto alla forza, si comporterà come una mensola, con le fibre tese posizionate nella parte superiore della sezione, con il massimo del momento nel nodo. Lo sbalzo scarico, presenterà momento pari a zero, comportando che, per l equilibrio, al nodo si avrà un ribaltamento del momento sull asta verticale, proseguendo un modulo costante, in quanto l elemento verticale presenta un comportamento a mensola caricata da una coppia pari a FL. Dato che questo caso, presenta una sola forza agente, l esercizio è molto semplice, ma se ci si riscontrasse in un caso con più forze, è consigliato operare secondo la sovrapposizione degli effetti. ESEMPIO 2. Si consideri ora una struttura iperstatica, a forma di T, vincolata da un incastro ed un appoggio. Basandosi sempre sulle condizioni di congruenza ed equilibrio, si studieranno le deformazioni sotto l azione dei carichi. L elemento caricato, sullo sbalzo, si comporterà come sempre come una mensola, mentre l altro elemento a sbalzo, non sarà più mobile (non segue la deformazione), ma fisso a causa della presenza del vincolo. Da ciò è possibile comprendere che il nodo non varierà la sua posizione, ruotando solamente attorno al punto centrale, definendo così la deformata, e il diagramma dei momenti: Figura Risoluzione delle strutture iperstatiche

11 Nella definizione del diagramma del momento, si vedrà che il primo elemento a sbalzo, caricato all estremità, presenta un momento lineare crescente verso il nodo, dove ai fini dell equilibrio, data la deformazione di tutte le aste, si avrà momento su tutte le aste non caricate, in modo da opporsi (coppia reagente) al momento generato dall elemento a sbalzo caricato (coppia agente). Non sarà noto il valore di tale momento, dato che lo studio a maniera è qualitativo, ma è ovvio che sarà dipendente dalla rigidezza dell asta, dalla geometria della sezione, dal grado di vincolo e dalla lunghezza. Se tutte le aste sarebbero state della stessa lunghezza L, il ritto verticale avrebbe avuto più momento, data la maggiore rigidezza, per il grado di vincolo più elevato (incastro), viceversa in questo caso il ritto verticale è più lungo e, sebbene il grado di vincolo sia diverso, non è errato affermare che i momenti siano simili, come le rigidezze. Una volta definito il momento reagente al nodo, a seconda delle rigidezze, nel ritto verticale è possibile notare che il suo comportamento non è come una mensola, ma d asta incernierataappoggiata (schema notevole) dove si sa che il momento alla base è pari alla metà di segno opposto, con un invertimento delle fibre tese (flesso). ESEMPIO 3. Si consideri ora una struttura iperstatica, a T, vincolata da un incastro ed un carrello, dove dalla deformata, si nota che il nodo può traslare per la presenza del carrello, comportando così che il ritto verticale tenderà a comportarsi come una mensola. Figura Risoluzione delle strutture iperstatiche Nella definizione del diagramma del momento si vedrà che al nodo si ha sempre il momento agente dovuto al carico, con coppie reagenti da parte delle altre aste e alle proprie rigidezze. Nel ritto verticale quindi il comportamento sarà come una mensola, caricata da una coppia, dovuto allo scorrimento permesso. 1.4 Massimizzazione delle sollecitazioni di flessione Si voglia schematizzare l elemento solai, attraverso una struttura a travata continua a tre campate e uno sbalzo (elemento balcone), e da qui vedere le possibili tipologie di carico, a cui può essere sottoposto: Carichi permanenti (peso proprio): questi carichi si ripartiranno uniformemente lungo tutta la luce (in questo caso di pari entità), anche se sono possibili casi di disuniformità di tali carichi. Da 11 Risoluzione delle strutture iperstatiche

12 qui si andrà ad ottenere il relativo diagramma a maniera e calcolo dei valori del momento (due condizioni di congruenza φbs=φbd e φcs=φcd). Carichi variabili (persone ed arredi) nella loro posizione o entità: questa tipologia sono contenuti all interno normativa e possono essere posizionati a discrezione del progettista in modo da ottenere la massimizzazione delle sollecitazioni, a seconda della loro posizione. Se si considerano dei carichi variabili su tutta la lunghezza della travatura continua, si otterrà solo un aumento dei valori su tutta la trave, a differenza se il carico viene localizzato in varie posizioni differenti, potendo capire se è possibile ottenere delle sollecitazioni maggiori rispetto ai pesi propri, in campata o sugli appoggi, studiandone vari casi. Risoluzione delle strutture iperstatiche 13 Per avere massimo momento in campata AB si devono prendere tutti quegli schemi che danno momento positivo nella campata stessa (andandosi a sommare al momento della travatura soggetta ai soli carichi permanenti). - Per massimizzare Mmax in AB si considerano gli schemi 1 e 3; - Per massimizzare Mmax in BC si considerano gli schemi 2 e 4; - Per massimizzare Mmax in CD si considerano gli schemi 3 e 1; - Per massimizzare Mmax in DE si considerano gli schemi 4 e 2; Si noti che per massimizzare le sollecitazioni in campata, il carico variabile deve essere localizzato sulla campata stessa e una sì e una no, denominato sistema a scacchiera. 12 Risoluzione delle strutture iperstatiche

13 Per massimizzare (minimizzare, in questo caso dato, che il momento su gli appoggi nel caso della trave soggetta ai soli carichi permanenti è negativo) agli appoggi i schemi che dovremo tenere in considerazione, sono quelli che danno momento negativo: Mmax in B carico sulle campate 1, 2 e 4 Mmax in C carico sulle campate 2 e 3 Da qui si comprende che per massimizzare agli appoggi si devono caricare le campate adiacenti all appoggio e poi di nuovo a scacchiera. OSSERVAZIONE 1. Da massimizzare sono le sole sollecitazioni in campata (che nella trave soggetta ai soli carichi permanenti presenta momento positivo). OSSERVAZIONE 2. Queste condizioni sono ottenute per massimizzare il caso di trave continua, soggetta ai carichi permanenti. Non è necessario definire uno schema per massimizzare l appoggio D, perché tutte le volte che si aggiunge un carico variabile sullo sbalzo si è già dato un valore massimo di momento a D. 13 Risoluzione delle strutture iperstatiche