Reazioni vincolari e equilibrio del corpo rigido. M. Guagliano

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1 Reazioni vincolari e equilibrio del corpo rigido

2 Reazioni vincolari del corpo rigido 2 I corpi rigidi sono generalmente vincolati al riferimento fisso tramite i vincoli, che esercitano delle forze sul sistema (chiamate reazioni vincolari) dipendenti dalla loro tipologia. Tali reazioni vincolari, unite alle forze esterne applicate, costituiscono un sistema di forze per le quali deve essere garantita la condizione di equilibrio (statica dei corpi rigidi).

3 Reazioni vincolari del corpo rigido 3 Per tali forze (reazioni vincolari) vale il principio di Azione e Reazione, per il quale le azioni mutue tra due corpi interagenti sono uguali in modulo e di segno opposto; a questo proposito le reazioni vincolari agenti sul corpo saranno uguali e contrarie alle azioni che il vincolo applica sul mondo esterno (nel caso di vincolo esterno) o sull asta adiacente (nel caso di vincolo interno).

4 Vincoli esterni, reazioni vincolari 4 Incastro Questo vincolo toglie tutte le tre libertà di movimento del corpo rigido, quindi è un vincolo triplo (3 GdV). Le reazioni vincolari sono costituite da due forze in direzione orizzontale e verticale (Rco e Rcv) e da un momento (Mc).

5 Vincoli esterni, reazioni vincolari 5 Cerniera Questo vincolo consente solo la rotazione attorno al proprio perno, togliendo le due possibili traslazioni: vincolo doppio (2 GdV). Le reazioni vincolari sono costituite da due forze in direzione orizzontale e verticale (Rco e Rcv) o in alternativa in direzione normale e tangenziale rispetto all asta (Rcn e Rct).

6 Vincoli esterni, reazioni vincolari 6 Carrello Questo vincolo toglie la traslazione al corpo sulla direzione normale alla sua retta di scorrimento, consentendo contemporaneamente: - traslazione lungo la retta di scorrimento (rotazione attorno al punto all infinito della normale alla retta di scorrimento); - rotazione attorno al perno della propria cerniera.

7 Vincoli esterni, reazioni vincolari 7 Le reazioni vincolari sono costituite da una forza in direzione perpendicolare alla retta di scorrimento del carrello stesso (Rc, vincolo bilatero).

8 Vincoli esterni, reazioni vincolari 8 Pattino Permette solo la traslazione lungo la retta di scorrimento, senza rotazioni (2 GdV), quindi con rotazione nel punto all infinito in direzione perpendicolare alla retta di traslazione (CIR). Le reazioni vincolari sono costituite da una forza in direzione perpendicolare alla retta di scorrimento (Rc) e da un momento (Mc).

9 Vincoli tra corpi rigidi (vincoli interni) 9 Consideriamo ora i vincoli che permettono il collegamento tra due o più aste nel piano, valutando le reazioni vincolari interne presenti.

10 Vincoli tra corpi rigidi 10 Se separiamo due aste collegate rigidamente o spezziamo un asta singola, possiamo mettere in evidenza due forze presenti nel punto di separazione (Rx e Ry) e un momento (Mz); nei due spezzoni di asta saranno presenti forze e momenti uguali e contrari. Ry B Mz C Rx Mz A Rx C D Ry

11 Vincoli tra corpi rigidi 11 Nel caso di cerniere interna tra due aste, la separazione delle aste permette di evidenziare due forze presenti nel punto di separazione in direzione orizzontale e verticale (Co e Cv) o in direzione normale e tangenziale (Cn e Ct); nelle due aste saranno presenti forze uguali e contrarie.

12 Vincoli tra corpi rigidi 12 Nel caso di cerniere interna tra due aste sottoposta ad un carico F, possiamo far rientrare nella scomposizione anche la cerniera, oltre alle due aste.

13 Equilibrio del corpo rigido 13 Possiamo ricordare il seguente enunciato: se un corpo o un sistema di corpi inizialmente in quiete in un dato sistema di riferimento, anche se soggetto ad un sistema di forze rimane in quiete, si può affermare che si trova in uno stato di equilibrio.

14 Equilibrio del corpo rigido 14 Ai fini della valutazione dello stato di equilibrio, possiamo ricordare le equazioni cardinali della statica: F 0 M 0 0 Condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio di un corpo rigido è che si annulli la risultante delle forze applicate (forze esterne e reazioni vincolari) ed il momento risultante di tutte le forze (sempre forze esterne e reazioni vincolari) ad esso applicate.

15 Equilibrio del corpo rigido 15 Queste due equazioni vettoriali equivalgono a due terne di equazioni scalari nello spazio (somma delle forze e somma dei momenti secondo le tre direzioni x, y e z), mentre nel piano si traducono in tre equazioni scalari (somma delle forze secondo le due direzioni x e y e somma dei momenti in direzione z). Nello spazio Nel piano

16 Equilibrio del corpo rigido 16 Ad esempio nel caso del corpo rigido sotto riportato, sollecitato dalla forza esterna F2 (proveniente dalla sfera a contatto), con reazioni vincolari evidenziate F1 e F2, esso è in equilibrio se la somma vettoriale delle forze è nulla (vedi triangolo chiuso dei vettori) e se il momento è nullo (se ad esempio le rette di applicazione delle tre forze passano per un solo punto, il momento rispetto a tale punto è nullo).

17 Carichi esterni e reazioni vincolari 17 Generalmente nelle applicazioni meccaniche sono presenti sui componenti o sistemi carichi esterni noti (forze e momenti), derivanti dalla funzione svolta, e reazioni vincolari originate dai vincoli che collegano il corpo o il sistema con il mondo esterno (a terra).

18 Carichi esterni e reazioni vincolari 18 Nelle operazioni da effettuare per il calcolo delle reazioni vincolari (incognite), possiamo utilizzare le seguenti regole: 1) Le forze applicate possono essere traslate lungo la propria retta di applicazione, in quanto tali traslazioni non cambiano le condizioni di equilibrio nel corpo rigido.

19 Carichi esterni e reazioni vincolari 19 2) Le forze applicate possono essere spostate lungo una retta parallela, a patto di aggiungere un momento (denominato momento di trasporto) pari al prodotto dell intensità della forza per la distanza tra le rette di applicazione.

20 Carichi esterni e reazioni vincolari 20 3) Ad un insieme di forze applicate nello stesso punto del corpo rigido è possibile sostituire la sua risultante (somma vettoriale).

21 Carichi esterni e reazioni vincolari 21 4) Considerando un corpo rigido soggetto ad una coppia di forze parallele, di intensità uguale e di verso discorde (1), tale sistema di forze può essere sostituito da una coppia di forze con diversa intensità (ma uguale tra loro), complanari con la prima e con momento uguale.

22 Calcolo delle reazioni vincolari 22 Le equazioni di equilibrio del corpo rigido possono essere utilizzate per calcolare le reazioni vincolari, operazione necessaria per configurare e dimensionare opportunamente il vincolo (ad es. cuscinetto) ma soprattutto per poter valutare quali sono gli effetti dei carichi esterni (e delle corrispondenti reazioni vincolari) sulla condizione di sollecitazione interna della struttura.

23 Calcolo delle reazioni vincolari 23 Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente.

24 Calcolo delle reazioni vincolari 24 Mettiamo in evidenza le reazioni vincolari incognite:

25 Calcolo delle reazioni vincolari 25 Scriviamo le equazioni di equilibrio:

26 Calcolo delle reazioni vincolari 26 Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente.

27 Calcolo delle reazioni vincolari 27 Mettiamo in evidenza le reazioni vincolari incognite:

28 Calcolo delle reazioni vincolari 28 Scriviamo le equazioni di equilibrio:

29 Calcolo delle reazioni vincolari 29 Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente, con applicato un carico distribuito.

30 Calcolo delle reazioni vincolari 30 Mettiamo in evidenza le reazioni vincolari incognite (W risultanti carico distribuito, applicate nel baricentro di ogni tratto):

31 Calcolo delle reazioni vincolari 31 Scriviamo le equazioni di equilibrio:

32 Equilibrio dei sistemi di corpi rigidi nel piano 32 Nel caso più generale di sistemi di corpi rigidi isostatici composti da n corpi rigidi, l isostaticità del sistema richiede la presenza di 3. n GdV e quindi di 3. n reazioni vincolari incognite. Si può affermare in proposito che condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio dell insieme è che ogni corpo rigido stia in equilibrio sotto l azione delle forze interne ed esterne che gli competono. Poiché per ogni corpo rigido si possono scrivere 3 equazioni di equilibrio, il numero totale di equazioni utilizzabili è 3. n, che permette di ottenere 3. n reazioni vincolari.

33 Equilibrio dei sistemi di corpi rigidi nel piano 33

34 Equilibrio dei sistemi di corpi rigidi nel piano 34

35 Reazioni vincolari in un arco a tre cerniere 35 Per la struttura sotto riportata (a), schematizzabile come un arco a tre cerniere (b), è possibile prevedere la cancellazione totale del vincolo interno (c) mettendo in evidenza le reazioni mutue tra le aste, permesse dal vincolo interno.

36 Reazioni vincolari in un arco a tre cerniere 36 In alternativa è possibile prevedere la cancellazione parziale dei vincoli, in modo da scrivere un numero inferiore di equazioni di equilibrio

37 Reazioni vincolari in un arco a tre cerniere 37 Per quanto riguarda l asta BC, si può notare che la risultante RB delle reazioni vincolari interne deve essere diretta come l asta stessa, altrimenti si avrebbero rotazioni dell asta attorno a C.

38 Reazioni vincolari in un arco a tre cerniere 38 Passando quindi all asta AB, possiamo scrivere l equazione di equilibrio alla rotazione dell asta AB attorno ad A, ricavando la sola reazione vincolare interna RB.

39 Reazioni vincolari in un arco a tre cerniere 39 Considerando sempre l asta AB, possiamo scrivere le altre due equazioni che ci permettono di valutare le reazioni in A:

40 40 Esempio di cancellazione totale dei vincoli interni

41 41 Esempio di cancellazione progressiva dei vincoli E possibile la seguente cancellazione progressiva dei vincoli: 1) Cancellazione carrello in C

42 Esempio di cancellazione progressiva dei vincoli 42 2) Cancellazione cerniera interna in E

43 Esempio di cancellazione progressiva dei vincoli 43 3) Cancellazione cerniere interne in B e D

44 Esempio di cancellazione progressiva dei vincoli 44 4) Cancellazione cerniera A