APPUNTI SULLA STATICA

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1 PPUNTI SULL STTI GNDEZZE VETTOILI: sono grandezze rappresentate da un modulo (numero x unità di misura), da una linea d azione (retta lungo la quale agiscono), da un verso (senso in cui agiscono). Esempi: forza (N), peso (N), velocità (m/s), accelerazione (m/s ). VETTOE: è un ente geometrico (segmento) definito da linea d azione (o direzione), verso (freccia del segmento), modulo (lunghezza) e punto di applicazione (coda del segmento). direzione Modulo Verso NOT: per assegnare la direzione di un vettore si deve specificare un angolo rispetto a una direzione nota. Nel caso in figura è assegnato l angolo rispetto all orizzontale. OPPOSTO DI UN VETTOE: è lo stesso vettore col verso camiato; se è un vettore, il suo opposto si indica con - (attenzione! Il modulo di - è positivo) - Il vettore - ha lo stesso modulo e la stessa direzione del vettore OZE: sono le cause che camiano lo stato di quiete o di moto di un corpo. SOMME più forze significa calcolare la ISULTNTE che è quella forza unica che produce lo stesso effetto di tutte le forze insieme, chiamate componenti. ISULTNTE DI OZE ONODI VENTI STESS LINE D ZIONE: è una forza che ha la stessa linea d azione e lo stesso verso delle componenti e, per modulo la somma aritmetica dei moduli delle componenti. orze componenti concordi = + ISULTNTE DI OZE DISODI VENTI STESS LINE D ZIONE: è una forza che ha la stessa linea d azione il verso delle forze maggiori e, il modulo uguale alla somma algerica dei moduli delle componenti. orze componenti discordi = ISULTNTE DI DUE OZE INIDENTI OTOGONLI: è la forza data dalla diagonale del rettangolo che ha per lati le forze componenti. Le forze e sono le forze componenti, la forza è la risultante Per definire in modo completo la risultante occorre conoscere il suo verso che si determina graficamente, il suo modulo (cioè la sua lunghezza) e la sua direzione (per esempio l angolo ) Notare che dalla costruzione grafica del parallelogramma si sono formati due triangoli rettangoli.

2 ISULTNTE DI DUE OZE INIDENTI QULSISI: è una forza data dalla diagonale del parallelogramma che ha per lati le forze componenti. Le forze e sono le forze componenti, la forza è la risultante Per definire in modo completo la risultante occorre conoscere il suo verso che si determina graficamente, il suo modulo (cioè la sua lunghezza) e la sua direzione (per esempio l angolo ) Notare che dalla costruzione grafica del parallelogramma si sono formati due triangoli non più rettangoli. Per risolvere prolemi di composizione di forze incidenti perpendicolari è necessario conoscere teoremi e proprietà del triangolo rettangolo. ISOLUZIONE TINGOLO ETTNGOLO TEOEM DI PITGO: in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. β = + = + ipotenusa ; cateto ; cateto (alfa) angolo opposto al cateto β (eta) angolo opposto al cateto La somma degli angoli interni è sempre 80, quindi essendo un angolo di 90, ne segue che + β = 90 Si danno di seguito, le definizioni di seno, coseno, tangente di un angolo in un triangolo rettangolo. SENO (sin) DI UN NGOLO: è il rapporto tra il cateto opposto all angolo e l ipotenusa. cateto opposto all'angolo seno angolo = ipotenusa sin = ; = sin ; = sin sinβ = ; = sin β ; = β sin OSENO (cos) DI UN NGOLO: è il rapporto tra il cateto adiacente all angolo e l ipotenusa. cateto adiacente all'angolo coseno angolo = ipotenusa cos = ; = cos ; = cos cosβ = ; = cos β ; = cosβ TNGENTE (tg) DI UN NGOLO: è il rapporto tra il cateto opposto all angolo e il cateto adiacente all angolo. cateto opposto all'angolo tangente angolo = cateto adiacente all'angolo tg = ; = tg ; = tg tgβ = ; = tg β ; = β tg

3 ESEIZI SULL OMPOSIZIONE DELLE OZE Determinare la somma e la differenza delle forze = 000 N ed = 000 N aventi stessa linea d azione orizzontale. = + = 5000N = = 000N con verso opposto a quello di Determinare la risultante delle forze ortogonali incidenti rappresentate in figura: si compongono con la regola del parallelogramma = 000 N = 00 N Dal triangolo rettangolo si calcola = + = + = = 6400 N 00 tg = = = = 000, = tg (,) = 5,4 ESEIZI SULL SOMPOSIZIONE DELLE OZE Scomporre una forza vuol dire sostituire ad una forza assegnata due forze secondo due direzioni assegnate. Si opera in modo inverso rispetto alla composizione, applicando la regola del parallelogramma. Esempio. Determinare le componenti della forza = 5000 N in figura, secondo le direzioni assegnate: Dal triangolo rettangolo si calcola: 5 = cos 5 = 5000 x 0,89 = 4095,7 N = sin 5 = 5000 x 0,57 = 867,8 N MOMENTO DI UN OZ rispetto ad un punto: è un vettore il cui modulo è dato dal prodotto dell'intensità della forza per la sua distanza (raccio) dal punto. Il IO è inteso come distanza dal punto alla linea d azione della forza e NON al punto di applicazione della forza. Momento = forza raccio M = (N m) L'effetto di un momento di una forza è sempre quello di produrre una rotazione attorno al punto di riferimento (polo dei momenti). P rotazione oraria momento positivo + M P = P rotazione antioraria momento negativo M P = - ( ) -

4 4 MOMENTO DI UN SISTEM DI OZE rispetto ad un punto: è la somma algerica dei momenti delle singole forze calcolati rispetto allo stesso punto. Esempio: per il sistema di tre forze, come in figura, il momento calcolato rispetto al punto vale M = + amiando il punto rispetto a cui si calcola il momento, varia il valore del momento del sistema di forze, perché camiano le distanze tra punto e direzioni delle forze. TEOEM DI VIGNON: in un sistema di forze complanari il momento della risultante rispetto ad un punto è uguale alla somma algerica dei momenti delle singole forze rispetto allo stesso punto. momento della risultante = somma dei = momenti delle forze n n = Per il sistema in figura, se è la risultante delle tre forze componenti, risulterà: = + i i ESEMPIO: verificare la validità del teorema di Varignon per il sistema di forze in figura, calcolando il momento rispetto al punto assegnato, che giace nella direzione di e che dista m dalla direzione di. = 000 N = 00 N onsiderando le forze componenti, il momento rispetto ad vale M = 0 + = 00 N m = 600 Nm desso calcoliamo la risultante e di questa ne facciamo il momento rispetto allo stesso punto = + = = 640, N tg = = =, = tg (,) = 5,4 Per il calcolo del raccio della risultante si considera il triangolo rettangolo = sin = sin 5.4 =,585 m Il momento della risultante vale: = 640, N,585 m 600 Nm che è uguale a M OPPI: sistema di due forze complanari, parallele, di uguale intensità e di verso opposto. MOMENTO DI UN OPPI: prodotto dell'intensità di una delle due forze per la distanza tra le forze. Il momento di una coppia è OSTNTE qualunque sia il punto considerato. M = OSTNTE per qualsiasi punto del piano

5 5 OPO IGIDO: corpo ideale assolutamente indeformaile, cioè la distanza tra due suoi punti qualsiasi è sempre uguale. Un corpo che si muove in un piano ha tre possiilità di movimento o tre gradi di liertà: u v φ traslazione orizzontale traslazione verticale rotazione nel piano v Φ u ONDIZIONI DI EQUILIIO: un corpo è in equilirio se il sistema di forze cui è sottoposto ha risultante nulla e momento nullo rispetto ad un punto qualsiasi del piano. = 0 M = 0 il corpo è in equilirio. VINOLO: qualunque collegamento esterno adatto ad impedire i vari movimenti di un corpo. EZIONE VINOLE: forza esercitata dal vincolo per impedire i movimenti del corpo rigido. tipo di vincolo rappres. grafica MOVIMENTI EZIONI VINOLI ENIE SOEVOLE (vincolo semplice) v=0 Φ 0 u 0 V ENIE ISS (vincolo doppio) v=0 Φ 0 u=0 V H v=0 V INSTO (vincolo triplo) Φ=0 u=0 M I H H reazione vincolare orizzontale V reazione vincolare verticale M I reazione vincolare di momento Ogni vincolo esplica tante reazioni quanti sono i movimenti che impedisce ed ogni reazione ha la direzione del movimento impedito. STUTTU ISOSTTI: quando il numero di vincoli è strettamente necessario per garantirne l'equilirio o per impedirne qualsiasi movimento. EQUZIONI DINLI DELL STTI: sono tre equazioni di equilirio che ci permettono di calcolare le reazione vincolari in strutture isostatiche. ix = 0 x + x + + nx + H = 0 equilirio alla traslazione orizzontale iy = 0 y + y + + ny + V = 0 equilirio alla traslazione verticale i i = n n + MI = 0 equilirio alla rotazione rispetto ad un punto qualsiasi del piano LOLO EZIONI VINOLI: strategia di risoluzione.

6 6 ) Si scompongono eventuali forze inclinate secondo le direzioni perpendicolare e parallela (o coincidente) all'asse della struttura. ) Si segnano le reazioni vincolari (incognite del prolema) che i vincoli possono esplicare assegnandogli un verso aritrario. ) Si scrivono e si risolvono le tre equazioni cardinali della statica tenendo conto sia delle forze esterne che delle reazioni vincolari, da cui si calcolano le reazioni vincolari incognite. 4) Se le reazioni vincolari risultano positive vuol dire che i versi scelti aritrariamente sono esatti, se qualcuna delle reazioni vincolari risulta negativa vuol dire che il verso scelto aritrariamente è errato, quindi isogna camiargli il verso. L'INSIEME DELLE OZE ESTENE PPLITE LL STUTTU E DELLE EZIONI VINOLI OSTITUISONO UN SISTEM DI OZE VENTE = 0, M = 0 (IOÈ EQUILITO), QUINDI L STUTTU È IN EQUILIIO.

7 ESEIZI SVOLTI SUI MOMENTI ) alcolare il momento della forza = 000 N rispetto ai punti,, segnati in figura:, m, m 0,6 m 7 = = ( 000,) = 400 N m = = ( 000 0,6) = 00 N m = = ( 000,) = 00 N m ) alcolare il momento di una coppia avente = 500 N e raccio =,5 m rispetto ai punti,, segnati in figura: Poiché il momento di una coppia di forze è costante qualunque sia il punto rispetto a cui si calcola si ha: = M = M = = ( 500,5) = 750 N m negativo perché ha senso di rotazione antiorario ) alcolare la risultante del sistema di forze = 000 N, = 000 N, = 500 N, 4 = 000 N parallele, rappresentato in figura, applicando il teorema di Varignon. Della risultante da calcolare sono noti l intensità = = = 5500 N, m, m,5 m il verso (dall alto in asso) e la direzione che è parallela alle direzioni delle forze componenti, ma non conosco per quale punto passa; applico il teorema di Varignon calcolando i momenti rispetto ad un punto scelto 4 aritrariamente: 4 = dove l incognita è il raccio della risultante + + = , 500, + 000,8 = =,6 m 5500