CORSO DI PROGETTAZIONE COSTRUZIONI ED IMPIANTI

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1 CORSO DI PROGETTAZIONE COSTRUZIONI ED IMPIANTI A.S LA STATICA DEI SISTEMI RIGIDI - DISP. 2

2 Definizione analitica di sistema equilibrato Abbiamo visto, nelle esercitazioni precedenti, come la condizione di equilibrio sia riconducibile ad una condizione di risultante nulla delle forze (equilibrio delle traslazioni) e risultante nulla dei momenti (equilibrio delle rotazioni). Nella procedura grafica ciò veniva assicurato dalla geometria del poligono funicolare (poligono chiuso, primo e ultimo lato allineati). La necessità di esprimere tutto in forma analitica produce una serie di considerazioni. Quale che sia il sistema delle azioni squilibranti, questo alla fine sarà rappresentato da un unico vettore A (azione) equivalente al sistema squilibrante, che, rispetto alle coordinate del sistema, potrà scomporsi in una componente verticale ed in una orizzontale. La condizione di equilibrio può porsi, limitatamente alle traslazioni come: AH + RH = 0 AV + RV = 0 Se applichiamo il teorema di Varignon ad un sistema equilibrato la rotazione risultante deve essere nulla, quindi l'espressione generale di Varignon, nel caso equilibrato diventa: MA + MR = 0 Sintetizzando il tutto abbiamo le "equazioni cardinali della statica"

3 Analisi cinematica, sistemi isostatici, labili, iper statici Indicati con N il numero dei corpi rigidi di cui è composto il sistema, il numero di grado di libertà risulta dal prodotto 3xN. Se indichiamo con m la molteplicità, intesa come singolo movimento impedito, il totale dei movimenti impediti dall'insieme dei vincoli efficaci, risulta dalla somma di tutte le molteciplità. Un sistema di corpi rigidi si definisce cinematicamente determinato o anche ISOSTATICO quando i vincoli sono strettamente sufficienti ad impedire ogni atto di moto rigido d'insieme o di ogni parte. Un sistema di corpi rigidi si definisce cinematicamente indeterminato o anche LABILE quando i vincoli sono insufficienti ad impedire ogni atto di moto rigido d'insieme o di ogni parte. Quando i vincoli risultano sovrabbondanti rispetto al grado di libertà, il sistema di corpi rigidi si definisce staticamente indeterminato o anche IPERSTATICO

4 Dalla procedura grafica a quella analitica - soluzione grafica

5 La soluzione analitica di un sistema isostatico richiede preliminarmente la verifica della condizione di ISOSTATICITÀ - nel nostro caso abbiamo in A un vincolo semplice m=1, in B un vincolo doppio m=2 - i vincoli risultano efficaci in quanto capaci di bloccare ogni atto di moto. Analiticamente risulta: 1+2= 1x3 Quindi si possono sostituire ai vincoli le reazioni VINCOLARI nella direzione degli spostamenti impediti dai vincoli

6 Applichiamo le tre equazioni cardinali della statica HB = 0 ; VA + VB = 0 VA * (6) - 2 * (2) + 5 * (2) = 0 (calcoliamo il momento prodotto rispetto al polo B) VA = ( )/ 6 = -1KN (sostituiamo il valore della reazione vincolare nella seconda equazione) Riscriviamo l'equazione di equilibrio alla traslazione verticale (con i segni giusti) VB =0 ; VB = 8KN

7 The man on the ladder Una scala può considerarsi come un sistema strutturale destinato a sostenere, oltre al proprio peso, quello di una persona dotata delle attrezzature necessarie ad effettuare dei lavori. Immaginiamo che nella scala in foto si rompa il ritegno centrale e che lo si debba sostituire con uno spago, come rappresentato nella immagine di destra. Quanta forza deve sostenere lo spago?

8 Il vincolo costituito dal pavimento e dalla corda è assimilabile ad una cerniera, il cavalletto può assimilarsi ad una biella. Il sistema è correttamente vincolato, quindi isostatico e risolvibile. Applicando le tre equazioni della statica abbiamo: HA + HB = 0 ; VA VB = 0 ; RA x (d) x (2,84-2,00) - 30 x (2,84-2,40) = 0 Calcoliamo (d): sin36ºx (RadQ ( (0,92*0,92)+(2,5*2,5)) = 1,56m Sostituiamo nella terza equazione e calcoliamo RA = (100,80+13,20)/1,56 = 73,08daN Ricaviamo HA = 73,08*cos72 = 22,58daN; VA= 73,08*sin72 = 69,50daN Quindi: HB = 22,58daN; VB = ,50 = 80,50daN