PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI (PLV) 1. PREMESSA

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1 PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI (PLV) 1. PREMESSA Il Principio dei lavori Virtuali, PLV, la cui enunciazione risale al XVII-XVIII secolo ad opera di numerosi studiosi, tra i quali Cartesio, Bernoulli, Fourier e Lagrange, può essere visto come uno strumento generale che esprime il legame fondamentale tra la condizione di congruenza, affrontata nella parte della cinematica in termini di compatibilità degli spostamenti con l ipotesi di corpo rigido, e le condizioni di equilibrio, esaminate nella parte di statica tramite le equazioni cardinali della statica. Partendo dagli studi di Cartesio ( ), questi, basandosi sul concetto di lavoro, evidenziò come Il lavoro necessario per elevare due pesi differenti a differenti altezze è lo stesso se è lo stesso il prodotto del peso per l altezza, introducendo altresì, in seguito alla corrispondenza con Padre Mersenne, il concetto di lavoro virtuale, ovvero precisando che L uguaglianza dei lavori non ha luogo qualunque sia lo spostamento, grande o piccolo, che al meccanismo si imprime: essa non sussiste in modo generale che per spostamenti infinitamente piccoli a partire dalla posizione di equilibrio.. Tale concetto venne poi ulteriormente ripreso e spiegato nello studio dello stesso studioso relativamente al caso del peso vincolato a muoversi su una superfice curva. Solo decenni più tardi vennero però ripresi gli studi di Cartesio e, in particolare, Giovanni Bernoulli ( ) enunciò il principio delle velocità virtuali, mentre Fourier fu il primo ad intuire l utilità del PLV nel caso di vincoli privi di attrito per i quali il lavoro virtuale è nullo. Fourier infatti, espresse il PLV indicandolo come Teorema dei Lavori Virtuali nel seguente modo: La condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio di un sistema materiale soggetto a vincoli privi di attrito, è che la somma dei lavori delle forze ad esso direttamente applicate, sia nulla per tutti i sistemi di spostamenti virtuali rigidi, cioè piccolissimi e compatibili con i vincoli. Successivamente, Lagrange ( ) presentò il PLV nella sua forma moderna, ovvero inteso come Condizione Necessaria e Sufficiente perché un sistema materiale sia in equilibrio, è che sia nullo il lavoro virtuale delle forze attive associato a qualunque spostamento virtuale rigido compatibile intendendo il lavoro virtuale come il lavoro compiuto da un sistema di forze associato a spostamenti virtuali. Ciò equivale a dire che, se si perturba infinitesimamente la condizione di equilibrio di un sistema, le forze esterne applicate su di esso non compiono lavoro, il sistema non muta il suo stato energetico e l energia totale è in condizione di stazionarietà. È dunque evidente come il PLV abbia una validità generale potendo essere applicato a corpi rigidi (oggetto del presente corso), a corpi deformabili, a strutture staticamente determinate o 1

2 indeterminate, in presenza di non linearità di forze o spostamenti, in presenza di vincoli cedevoli, in presenza di effetti legati alle dilatazioni termiche o a stati di tensioni residue Infine, è interessante osservare come in letteratura siano presenti differenti nomenclature, ovvero oltre a Principio dei Lavori Virtuali, altri autori preferiscono utilizzare Teorema dei Lavori Virtuali ed altri ancora Equazione dei Lavori Virtuali. L utilizzo di diverse nomenclature è da ricercarsi nella natura astratta del termine virtuale, ovvero considerando un sistema di spostamenti virtuali (o di forze virtuali) ovvero non reale, è forse difficile per alcuni di assegnargli il valore di Principio, ovvero di legge fisica mai contraddetta dall esperienza (definizione però non sempre condivisa da tutti). Inoltre, potendo dimostrare il PLV a partire da considerazioni di equilibrio e di congruenza ed applicando il teorema della divergenza, molti autori preferiscono utilizzare il termine Teorema. L utilizzo del termine equazione deriva infine semplicemente dal fatto che viene utilizzato quando si risolve un problema della Meccanica. 2. IL PLV NEL CASO DI ATTI DI MOTO RIGIDO Nell ambito del corso di statica è stato più volte precisato che ci si occupa del caso particolare di corpi rigidi, ovvero caratterizzati dalla peculiarità che ad una qualsiasi variazione della configurazione di riferimento del corpo corrisponda una nuova configurazione (configurazione variata) caratterizzata dall invariabilità della distanza mutua tra una qualsiasi coppia di punti costituenti il corpo. Inoltre, si fa specifico riferimento al solido trave, inteso come un solido cilindrico con asse rettilineo contenuto nel piano di simmetria della sezione trasversale, e al caso di moti rigidi piani, ovvero al modello di trave rigida piana ad asse rettilineo. In tale ambito, si consideri una trave soggetta ad un sistema di forze generalizzate direttamente a applicate alla trave ( F, denominate nel seguito forze attive), nonché alle forze reattive esercitate v dai vincoli F. Assegnato alla trave un arbitrario atto di moto rigido infinitesimo e, soprattutto, non legato né alle forze esterne né alle condizioni di vincolo (denominato appunto spostamento virtuale), è possibile calcolare il lavoro compiuto da ogni forza attiva e reazione vincolare dovuto allo spostamento subito dal corrispondente punto di applicazione della forza in seguito allo spostamento virtuale (denominato lavoro virtuale). Il lavoro totale compito dalle forze attive L v,a è somma dei lavori virtuali delle singole forze attive, mentre il lavoro totale compiuto dalle reazioni vincolari Lv,r è somma dei lavori virtuali delle singole reazioni vincolari: LL vv,aa = FF aa, uu = FF yy aa, uu yy + FF zz aa, uu zz 2

3 LL vv,rr = FF rr,jj uu jj jj = FF yy rr,jj uu yy jj + FF zz rr,jj uu zz jj Segue che, il lavoro virtuale totale è dato dalla somma del lavoro totale delle forze attive e dal lavoro totale delle reazioni vincolari: LL vv = LL vv,aa + LL vv,rr È possibile dimostrare che la trave soggetta al sistema di forze attive e reazioni vincolari è in equilibrio se il lavoro virtuale totale è nullo per qualsiasi atto di moto rigido: LL vv = 0 ovvero il Principio dei Lavori Virtuali per corpi rigidi. Inoltre, si può osservare che, se gli spostamenti virtuali caratterizzanti l atto di moto rigido imposto alla trave sono compatibili con i vincoli (perfetti e lisci) della stessa, il lavoro virtuale delle reazioni vincolari è nullo: jj LL vv,rr = 0 segue dunque che, in questo caso particolare, la trave soggetta al sistema di forze attive e reazioni vincolari è in equilibrio se e solo se il lavoro virtuale totale delle forze attive è nullo per qualsiasi atto di moto rigido compatibile con i vincoli: LL vv,aa = 0 È interessante osservare come nell espressione del lavoro virtuale compaiano sia le forze esterne (note) sia le reazioni vincolari (incognite). Nel caso di strutture staticamente determinate, il PLV consente di scrivere tante equazioni algebriche quante sono le reazioni vincolari, ciascuna delle quali caratterizzata dalla presenza di una sola incognita. Infatti, imponendo alla trave un atto di moto che faccia compiere lavoro a una sola reazione, si ottiene appunto un equazione algebrica nella quale appare solo questa reazione come incognita. Ad esempio se si considera la trave isostatica di figura 1 e si ipotizza un cinematismo della stessa che fa compiere lavoro alle forze esterne e alla sola reazione vincolare esplicata dal carrello in B, il PLV si traduce nella seguente equazione: FF δδ CC + FF δδ DD + VV BB δδ BB = 0 ovvero, considerando come parametro lagrangiano la rotazione θ, si ottiene: che implica appunto: VV BB = FF FF LL θθ + FF 2LL θθ + VV BB 3LL θθ = 0 θθ 3

4 Figura 1 Allo stesso modo, il PLV può essere utilizzato per valutare le reazioni vincolari andando ad esempio a sopprimere soltanto il vincolo corrispondente alla reazione che si cerca e sostituendolo con la reazione stessa. La struttura in questo modo diviene una volta labile, ammettendo dunque cinematismi compatibili con i restanti vincoli e caratterizzati da un unico parametro lagrangiano. Imponendo uno qualsiasi di tali cinematismi (arbitrarietà dell atto di moto rigido imposto), le uniche forze che compiono lavoro saranno le forze esterne e la reazione vincolare corrispondente al vincolo semplice soppresso, che adesso viene vista come una forza esterna applicata alla struttura. Utilizzando il PLV, ovvero uguagliando a zero il lavoro compiuto da questo nuovo sistema di forze attive, LL vv,aa = 0, si ottiene un equazione nella sola incognita reazione vincolare del vincolo soppresso. Infatti, riprendendo in esame la trave della figura 1, e volendo sempre determinare la reazione del carrello in B, si può pensare di sopprimere il carrello in B sostituendolo con la corrispondente reazione e rendendo la trave una volta labile (esistenza di un centro di rotazione assoluta coincidente con A). Considerando proprio un cinematismo individuato dalla rotazione della trave rigida attorno al centro di rotazione assoluta della trave ed annullando il lavoro delle forze esterne (compresa la reazione vincolare del solo vincolo soppresso) agenti sul nuovo schema labile di trave, si perviene alla stessa equazione di sopra e dunque allo stesso valore della reazione vincolare. La comodità di sopprimere il vincolo e rendere la trave labile consente di individuare facilmente la famiglia di cinematismi compatibili con i restanti vincoli e quindi di essere sicuri che le reazioni vincolari esplicate da questi non compiano lavoro. 4

5 La dimostrazione del PLV per corpi rigidi discende direttamente dalle equazioni cardinali della statica, che esprimono appunto una condizione di equilibrio del corpo: RR = FF = 00 MM = (xx xx OO ) FF + mm = 00 e dall espressione di cinematismi compatibili ovvero congruenti con l ipotesi di corpo rigido: uu = uu OO + θθ (xx xx OO ) dove θθ = θθee, essendo θ l ampiezza della rotazione subita dal corpo, ed e il versore normale al piano dove avviene la rotazione. Infatti, scrivendo l espressione del lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne e dalle reazioni vincolari, si perviene alla seguente espressione: LL vv = FF uu OO + FF [θθ (xx xx OO )] + mm θθ ovvero, utilizzando le proprietà del prodotto vettoriale, si ha: LL vv = FF uu OO + (xx xx OO ) FF ee + mm θθ che risulta essere nulla qualunque sia lo spostamento individuato dai parametri lagrangiani uu OO, θθ. La peculiarità di maggiore rilievo del PLV nell unire condizioni di equilibrio e condizioni di congruenza consiste nel fatto che utilizzando ad esempio la condizione legata alla congruenza degli spostamenti con l ipotesi di corpi rigidi con la condizione di annullamento del lavoro virtuale, espressa appunto dal PLV, si può pervenire alla condizione di equilibrio espressa dalle equazioni cardinali della statica. Infatti, partendo da: uu = uu OO + θθ (xx xx OO ) LL vv = 0 uu OO, θθ ed esplicitando l espressione del lavoro virtuale, si ottiene: LL vv = FF uu OO + θθ (xx xx OO ) FF ee + mm = 0, uu OO, θθ che, dovendo valere per ogni cinematismo arbitrario ma congruente con l ipotesi di corpo rigido, richiede appunto che siano soddisfatte le equazioni cardinali della statica: 5

6 RR = FF = 00 MM = (xx xx OO ) FF + mm = 00 Allo stesso modo, unendo la condizione legata all equilibrio, ovvero le equazioni cardinali della statica, con la condizione di annullamento del lavoro virtuale, espressa appunto dal PLV, si perviene all espressione di spostamenti congruenti con l ipotesi di corpo rigido. Infatti, partendo da: RR = FF = 00 MM = (xx PP xx OO ) FF + mm = 00 LL vv = 0 uu OO, θθ e sviluppando sempre l espressione del lavoro virtuale, dove la risultante delle forze compirà lavoro per il generico spostamento uu OO subito dal corpo, mentre la risultante dei momenti compirà lavoro per la generica rotazione θ del corpo, si ottiene: ovvero: LL vv = RR uu OO + MM θθ = 0, uu OO, θθ LL vv = FF uu OO + (xx xx OO ) FF ee + mm θθ = 0 dalla quale: LL vv = FF [uu OO + θθ (xx xx OO )] + mm θθ = 0 In questa espressione si riconosce come il lavoro compiuto dalla forza generica Fi sia proprio legato allo spostamento uu = uu OO + θθ (xx xx OO ) che rispetta appunto la compatibilità (congruenza) con l ipotesi di corpi rigidi, alla quale si voleva pervenire. 6