TEOREMA DI BETTI E LINEE DI INFLUENZA (prof. Elio Sacco)

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1 Capitolo 5 TEOEMA DI BETTI E LINEE DI INFLUENZA (prof. Elio Sacco) 5.1 Teorema di Betti Siano S 1 = {b 1, p 1, û 1 } ed S 2 = {b 2, p 2, û 2 } due differenti sistemi di sollecitazioni agenti sul medesimo corpo Ω esianos 1 = {u 1, ε 1, σ 1 } ed s 2 = {u 2, ε 2, σ 2 } iduestati elastici soluzioni dei corrispondenti problemi dell equilibrio elastico. Betti 1 dimostrò che: Il lavoro L 12 compiuto dal sistema di sollecitazione S 1 per gli spostamenti u 2 provocati da un secondo sistema di sollecitazione S 2 è uguale al lavoro L 12 compiuto dal sistema S 2 per gli spostamenti u 1 provocati dal sistema S 1. In formula: Ω b1 u 2 dv+ f Ω p1 u 2 da+ u Ω σ1 n û 2 da = Ω b2 u 1 dv+ f Ω p2 u 1 da+ σ2 uω n û 1 (5.1) da Il teorema di Betti si dimostra ricorrendo al principio dei lavori virtuali. Infatti, si ha: L 12 = Ω b1 u 2 dv+ f Ω p1 u 2 da+ uω σ1 n û 2 da = Ω σ1 ε 2 dv = Ω Cε1 ε 2 dv = Ω Cε2 ε 1 dv= Ω σ2 ε 1 dv = Ω b2 u 1 dv+ f Ω p2 u 1 da+ uω σ2 n û 1 da (5.2) Si evidenzia che nella dimostrazione del teorema di Betti si è utilizzata la proprietà di simmetria maggiore del tensore elastico C, ovvero il materiale deve essere iperelastico. 1 Enrico Betti (Pistoia 1823-Pisa 1892), matematico italiano. Professore dal 1867 all Università di Pisa, deputato (1862) e senatore (1884). Fondatore della scuola italiana di matematica, fu maestro di U. Dini, L. Bianchi, V. Volterra. Studiò inizialmente problemi di algebra e la teoria delle funzioni ellittiche, sviluppò e chiarì la teoria delle equazioni di E. Galois dando dimostrazioni per risultati che vi erano solo enunciati. In seguito diede notevoli contributi anche alla fisica matematica, in particolare alla teoria dell elasticità. 67

2 68CAPITOLO 5. TEOEMA DI BETTI E LINEE DI INFLUENZA (POF. ELIO SACCO) Il teorema di Betti si può dimostrare anche calcolando l energia immagazzinata nel corpo Ω. Infatti,sisuppongacheΩ sia soggetto a due storie di carico: 1. agisce solo la sollecitazione S 1 e successivamente agisce anche S 2, 2. agisce solo la sollecitazione S 2 e successivamente agisce anche S 1. Facendo ricorso al teorema di Clapeyron, l energia elastica calcolata nei due casi vale: h E 0 = 1 2 Ω b1 u 1 dv+ f Ω p1 u 1 da+ uω σ1 n û dai 1 + Ω b1 u 2 dv + f Ω p1 u 2 da + σ1 uω n û 2 h Ω b2 u 2 dv+ f Ω p2 u 2 da+ (5.3) uω σ2 n û dai h E 00 = 1 2 Ω b2 u 2 dv+ f Ω p2 u 2 da+ uω σ2 n û dai 2 + Ω b2 u 1 dv + f Ω p2 u 1 da + σ2 uω n û 1 h Ω b1 u 1 dv+ f Ω p1 u 1 da + uω σ1 n û dai (5.4) Poichè il materiale che compone il corpo è iperelastico, le due energie devono assumere lo stesso valore, da cui si deduce l equazione (5.1). Allo scopo di rendere più evidente le espressioni (5.3) e (5.4), si considera una trave soggetta a due forze F 1 ed F 2, come illustrato in figura 5.1. F 1 F 2 F 1 v 1S1 agisce solo F 1 F 1 F 2 agisce F 1 ed F 2 v 1S1 V 2S2 v 2S1 Figura 5.1: Teorema di Betti.

3 5.2. TEOEMA DI BETTI GENEALIZZATO 69 Per effetto della forza F 1 la sezione S1 subisce uno spostamento v 1S1. L energia elastica immagazzinata dal sistema, per il teorema di Clapeyron, vale: E 0 1 = 1 2 F 1v 1S1 (5.5) Quindi, successivamente agisce la forza F 2. La sezione S1 subisce un ulteriore spostamento v 2s1, mentre la sezione S2 subisce lo spostamento v 2s2. L energia elastica immagazzinata dal sistema, per il teorema di Clapeyron, vale: E 0 2 = F 1 v 2S F 2v 2S2 (5.6) L energia totale si determina sommando le quantità calcolate tramite le (5.5) e (5.6): E 0 = E E 0 2 = 1 2 F 1v 1S1 + F 1 v 2S F 2v 2S2 (5.7) Analogamente applicando prima la forza F 2 epoilaforzaf 1, l energia vale: DacuiilteoremadiBetti: E 00 = 1 2 F 2v 2S2 + F 2 v 1S F 1v 1S1 (5.8) E 0 = E 00 F 1 v 2S1 = F 2 v 1S2 (5.9) 5.2 Teorema di Betti generalizzato Il teorema di Betti viene generalizzato considerando nei due sistemi di sollecitazioni S 1 ed S 2 agenti sul corpo Ω anche delle possibili distorsioni δ 1 e δ 2,cosìcheS 1 = {b 1, p 1, û 1, δ 1 } ed S 2 = {b 2, p 2, û 2, δ 2 }. Come nel caso precedente siano s 1 = {u 1, ε 1, σ 1 } ed s 2 = {u 2, ε 2, σ 2 } i due stati elastici soluzioni dei corrispondenti problemi dell equilibrio elastico. Il lavoro virtuale che le forze del sistema S 1 compiono per gli spostamenti dello stato elastico s 2,vale: L 12 = Ω b1 u 2 dv + f Ω p1 u 2 da + u Ω σ1 n û 2 da = Ω σ1 ε 2 dv = Ω C ε 1 δ 1 ε 2 dv (5.10) essendo ε 1 δ 1 la deformazione elastica presente nello stato s 1. Analogamente, il lavoro virtuale che le forze del sistema S 2 spostamenti dello stato elastico s 1,vale: compiono per gli L 21 = Ω b2 u 1 dv + f Ω p2 u 1 da + u Ω σ2 n û 1 da = Ω σ2 ε 1 dv = Ω C ε 2 δ 2 ε 1 dv (5.11)

4 70CAPITOLO 5. TEOEMA DI BETTI E LINEE DI INFLUENZA (POF. ELIO SACCO) Sottraendo membro a membro le (5.10) e (5.11) si ottiene: Ω b1 u 2 dv + f Ω p1 u 2 da + u Ω σ1 n û 2 da Ω b2 u 1 dv f Ω p2 u 1 da uω σ2 n û 1 da = Ω C ε 1 δ 1 ε 2 dv Ω C ε 2 δ 2 ε 1 dv Sommando e sottraendo al secondo membro la stessa quantità si ha: Ω C ε 1 δ 1 ε 2 dv Ω C ε 2 δ 2 ε 1 dv = Ω Cε1 ε 2 dv Ω Cε2 δ 1 dv + Ω Cδ2 δ 1 dv Ω Cε2 ε 1 dv + Ω Cε1 δ 2 dv Ω Cδ1 δ 2 dv = Ω C ε 1 δ 1 δ 2 dv Ω C ε 2 δ 2 δ 1 dv Confrontando la (5.12) con la (5.13) si ottiene: Ω b1 u 2 dv + f Ω p1 u 2 da + uω σ1 n u 2 da Ω C ε 1 δ 1 δ 2 dv = Ω b2 u 1 dv + f Ω p2 u 1 da + u Ω σ2 n u 1 da Ω C ε 2 δ 2 δ 1 dv che equivale a: Ω b1 u 2 dv + f Ω p1 u 2 da + u Ω σ1 n u 2 da Ω σ1 δ 2 dv = Ω b2 u 1 dv + f Ω p2 u 1 da + σ2 uω n u 1 da Ω σ2 δ 1 dv (5.12) (5.13) (5.14) (5.15) 5.3 Linee di influenza Le linee di influenza sono una particolare applicazione del teorema di Betti generalizzato al problema delle travature. Si consideri il caso in cui le il sistema di sollecitazione S 1 consista in una forza applica F 1 ed una distorsione 1, mentre il sistema S 2 consista in una forza applica F 2 ed una distorsione 2 ; si consideri inoltre per la trave solo il problema flessionale, per cui per spostamento si intende l inflessione v e per tensione il momento flettente M. Il teorema di Betti generalizzato (5.15) prende la forma: F 1 v 2 M 1 2 = F 2 v 1 M 2 1 (5.16) Per evidenziare l utilità del teorema di Betti generalizzato, nella forma espressa dalla (5.16), si consideri il problema di voler determinare lo spostamento v 1 di una sezione A della trave, per effetto della forza F 1 = 1 applicata nella sezione B. A tale scopo si pone 1 =0. Inoltre, si pone F 2 = 1 applicata nella sezione A con 2 =0. La formula (5.16) si semplifica in: v 2 = v 1 (5.17) In altri termini, spostamento v 1 della sezione A della trave per effetto della forza unitaria F 1 =1inB è uguale allo spostamento v 2 provocatodallaforzaunitariaf 2 =1

5 5.4. ESECIZI SULLE LINEE DI INFLUENZA 71 applicata nella sezione A. Al variare della sezione B di applicazione della forza unitaria F 1, il valore dello spostamento in A varia ed assume il valore dello spostamento che avviene nella sezione B dove è applicata la forza F 1.Indefinitiva, il diagramma dello spostamento in A provocato da una forza unitaria comunque posizionata lungo la linea d asse della trave è uguale al diagramma dello spostamento provocato da una forza unitaria applicata nella sezione B. Tale diagramma viene comunemente indicato come la linea di influenza dello spostamento in A dovuto ad una forza unitaria viaggiante. Applicando tale procedura a differenti situazioni si possono determinare le linee di influenza di varie grandezze, di notevole interesse applicativo. In generale, si assume il sistema S 1 come sistema effettivo in cui l ente sollecitante sia mobile (ente viaggiante), ed il sistema S 2 come sistema ausiliario nel quale determinare il diagramma equivalente. 1. Determinare la linea d influenza dello spostamento v 1 di una sezione A della trave, per effetto della forza viaggiante F 1 = 1. A tale scopo si pone 1 =0. Inoltre, si pone F 2 = 0 applicata nella sezione A con 2 =0. La formula (5.16) si semplifica in: v 2 = v 1 (5.18) La linea d influenza dello spostamento v 1 della sezione A della trave per effetto della forza unitaria viaggiante è uguale all inflessione v 2 provocato dalla forza unitaria F 2 applicata nella sezione A. 1. Determinare la linea d influenza del momento flettente M 1 di una sezione A della trave, per effetto della forza viaggiante F 1 = 1. A tale scopo si pone 1 =0. Inoltre, si pone F 2 =0e 2 = ϕ 2 =1in A. La formula (5.16) si semplifica in: v 2 = M 1 (5.19) La linea d influenza del momento flettente M 1 della sezione A della trave per effetto della forza unitaria viaggiante è uguale all inflessione v 2 provocato dalla distorsione 2 = ϕ 2 =1applicata nella sezione A. 5.4 Esercizi sulle linee di influenza Esercizio 1 Si intende determinare la linea d influenza dello spostamento della sezione A della trave riportata in figura 5.2, per effetto di una forza viaggiante.

6 72CAPITOLO 5. TEOEMA DI BETTI E LINEE DI INFLUENZA (POF. ELIO SACCO) F=1 A L L/2 L/2 Figura 5.2: Linea d influenza dello spostamento per la trave continua. 1 A L L/2 L/2 Figura 5.3: Schema di calcolo della linea d influenza. Sulla base dell equazione (5.18) il valore dello spostamento nella sezione A provocato dalla forza unitaria F è uguale allo spostamento della sezione nella quale agisce la forza F per effetto di una forza unitaria applicata in corrispondenza della sezione A. Ne consegue che la linea d influenza cercata è fornita dalla deformata ottenuta nello schema riportato in figura 5.3. In figura 5.4 è riportata la linea d influenza desiderata ricavata sviluppando un programmainmaple,dandoiseguentivalorinumericiaidatigeometricidellatrave oggetto di studio: E = MPa I = 200ˆ4 mm 4 L =6000mm Nota: infigura 5.4 è stato cambiato il segno della funzione nel plottaggio dell inflessione. Dalla soluzione derivata si deduce che per ottenere il massimo valore dello spostamento in A, la forza viaggiante deve assumere la posizione z =2L. Lo spostamento minimo si ottiene ponendo la forza viaggiante all ascissa che annulla la rotazione della prima campata.

7 5.4. ESECIZI SULLE LINEE DI INFLUENZA 73 Figura 5.4: Linea d influenza dello spostamento di una trave contìnua per forza unitaria viaggiante (esercizio 1) Esercizio 2 Per la trave considerata nell esercizio precedente si determini la linea d inluenza del momento flettente nella sezione A per effetto della forza unitaria viaggiante F =1. Per l equazione (5.19), il valore del momento flettente nella sezione A provocato dalla forza unitaria F è uguale allo spostamento della sezione nella quale agisce la forza F per effetto di una distorsione angolare ϕ =1applicata in corrispondenza della sezione A. In figura 5.5 è riportata la linea d influenza desiderata ricavata sviluppando un programma in MAPLE, dando gli valori numerici ai dati geometrici assegnati nell esercizio precedente. Nota: in figura 5.5 è stato cambiato il segno della funzione nel plottaggio dell inflessione.

8 74CAPITOLO 5. TEOEMA DI BETTI E LINEE DI INFLUENZA (POF. ELIO SACCO) Figura 5.5: Linea d influenza del momento flettente di una trave contìnua per forza unitaria viaggiante (esercizio 2).