Capitolo 1. Introduzione. 1.1 Argomenti Meccanica del continuo

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1 Capitolo 1 Introduzione La Scienza delle Costruzioni fornisce gli strumenti di base ed i metodi necessari per la determinazione del grado di sicurezza, inteso in senso generale, di una qualsiasi struttura soggetta a carichi statici o dinamici. La Scienza delle Costruzioni si trova a cavallo tra materie di carattere prettamente teorico, quali la Matematica, la Fisica e la Meccanica Razionale, e materie di carattere più applicativo, come la Tecnica delle Costruzioni, la Geotecnica, le Costruzioni Idrauliche, le Costruzioni di Strade, Ferrovie ed Aeroporti, le Costruzioni di Macchine, le Costruzioni Navali, le Costruzioni Aeronautiche, le Costruzioni Aerospaziali, e così via. 1.1 Argomenti La Scienza delle Costruzioni tratta i seguenti argomenti: Meccanica del continuo Teoria della trave Analisi di sistemi di travi Meccanica del continuo La Meccanica del continuo intende determinare le equazioni fondamentali che governano la deformazione di un corpo soggetto ad un assegnato sistema di forze. In particolare, lo studio si articola nei seguenti argomenti: 1. Analisi della deformazione 2. Analisi della tensione 9

2 10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 3. Principio dei lavori virtuali 4. Legame costitutivo 5. Problema dell equilibrio elastico 6. Principi variazionali 7. Criteri di resistenza Teoria della trave La teoria della trave studia un particolare problema dell equilibrio elastico: quello relativo ad un solido cilindrico con una dimensione (lunghezza del cilindro) molto maggiore delle rimanenti altre due dimensioni (sezione retta del cilindro). Il cilindro, detto trave, è soggetto a forze solo sulle due basi, ed è studiato facendo ricorso alla teoria di Saint-Venant. Per la trave si considerano i classici 4 casi di sollecitazione semplice: 1. Sforzo normale 2. Flessione 3. Torsione 4. Taglio Analisi di sistemi di travi Si forniscono gli strumenti fondamentali per l analisi di sistemi costituiti da una o più travi vincolate. Il grado di vincolo è tale che le sole equazioni di equilibrio non sono sufficienti a definire univocamente lo stato di sforzo e di deformazione a cui è soggetto il sistema di travi. Vengono allora forniti gli strumenti e le metodologie fondamentali per affrontare tale studio: 1. Equazione della linea elastica della trave 2. Principio dei lavori virtuali per la trave 3. Equazioni di conguenza (metodo delle forze) 4. Equazioni di equilibrio (metodo degli spostamenti)

3 1.2. NOTAZIONI Notazioni Nelle pagine che seguono si è generalmente indicato con le lettere latine maiuscole in grassetto i tensori, con le lettere latine minuscole in grassetto i vettori e con le lettere greche gli scalari. Questa regola generale è stata talvolta violata, nei casi in cui esisteva nella letteratura scientifica una consolidata abitudine ad un differente uso dei simboli. Così, a titolo di esempio, in letteratura i tensori delle deformazioni e delle tensioni sono quasi sempre indicati rispettivamente con ε e σ, mentre il vettore momento statico è indicato con S. Tale notazione è di così corrente uso che non è sembrato opportuno cambiarla, sebbene ciò infrangesse le regole generali di notazione. Scelta che sia una base, le componenti dei tensori e vettori sono indicati con i rispettivi simboli (lettere latine maiuscole ovvero minuscole) ma non in grassetto e con gli indici riportati a pedice. Così, la componente (ij) del tensore T, è indicata con T ij elacomponente(i) del vettore v è indicata con v i. Le lettere minuscole latine usate come indici delle componenti sia per tensori che vettori possono assumere valorida1a3(i, j,.. =1, 2, 3). Le lettere minuscole greche usate come indici delle componenti sia per tensori che vettori possono assumere valori da 1 a 2 (α, β,.. = 1, 2). Si utilizza inoltre la notazione di sommatoria contratta (notazione di Einstein), per cui gli indici ripetuti nell operazione di prodotto si intendono sommati: così che w i = T ij v j = T i1 v 1 + T i2 v 2 + T i3 v 3 w 1 = T 1j v j = T 11 v 1 + T 12 v 2 + T 13 v 3 w 2 = T 2j v j = T 21 v 1 + T 22 v 2 + T 23 v 3 w 3 = T 3j v j = T 31 v 1 + T 32 v 2 + T 33 v 3 Come regola generale, la derivata parziale di una funzione rispetto alla variabile x i è indicata con la virgola seguita da i, riportati in pedice. Così, per esempio: ω x i = ω,i Gli operatori differenziali utilizzati nel seguito sono denotati come: div (divergenza): div(v) = v i,i [div (T)] i = T ij,j

4 12 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE O (gradiente): (laplaciano): (Oω) i = ω,i (Ov) ij = v i,j ω = ω,ii = ω,11 + ω,22 + ω,33 Inoltre si denota con δ ij il simbolo di Kronecker: δ ij = 1 se i = j δ ij = 0 se i 6= j Sono poi introdotte le seguenti operazioni sugli scalari, sui vettori e sui tensori: somma di due vettori (il risultato è un vettore): w = v + u (w i = v i + u i ) prodotto di uno scalare per un vettore (il risultato è un vettore): w = αv (w i = αv i ) prodotto scalare tra due vettori (il risultato è uno scalare): α = v u (α = v i u i ) prodotto diadico o tensoriale tra due vettori (il risultato è un tensore): T = v u (T ij = v i u j ) somma di due tensori (il risultato è un tensore): T = A + B (T ij = A ij + B ij ) prodotto di uno scalare per un tensore (il risultato è un tensore): T = αa (T ij = αa ij ) prodotto scalare tra due tensori (il risultato è uno scalare): α = A B (α = A ij B ij ) applicazione di tensore ad un vettore (il risultato è un vettore) u = Tv (u i = T ij v j ) Infine T T è il trasposto di T, T 1 è l inverso di T e T T è il trasposto dell inverso ovvero l inverso del trasposto di T.

5 1.3. BIBLIOGRAFIA Bibliografia Ritengo infine necessario citare almeno alcuni tra i testi che più mi hanno aiutato nello studio della Scienza delle Costruzioni: 1. ASCIONE L. - GRIMALDI A., Introduzione alla Meccanica dei Solidi, Liguori Editore, ASCIONE L., Elementi di Scienza delle Costruzioni, CUES Collana Didattica di Ingegneria, BALDACCI R., Scienza delle Costruzioni, Vol. 1 - Vol. 2, Utet, Torino, BENVENUTO E., La Scienza delle Costruzioni ed il suo Sviluppo Storico, Sansoni, Firenze, CARPINTERI A., Scienza delle Costruzioni, Pitagora Editrice, Bologna, CERADINI G., Scienza delle Costruzioni, Vol. 3, Teoria della Trave, E.S.A., Roma, CORRADI DELL ACQUA L., Meccanica delle Strutture, Vol. 1, Vol. 2, Vol. 3, McGraw-Hill, DI TOMMASO A., Fondamenti di Scienza delle Costruzioni, Parte I, Patron, Bologna, FRANCIOSI V., Scienza delle Costruzioni, Vol.1, Vol. 2, Vol. 3, Liguori, Napoli, GAMBAROTTA l., NUNZIANTE L., TRALLI A., Scienza delle costruzioni, McGraw-Hill, GURTIN M., An introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, MALVERN L.E., Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice-Hall, MASE G.E., Meccanica dei Continui, Collana Schaum, LUONGO A. - PAOLONE A., Scienza delle Costruzioni (1), CEA, LUONGO A. - PAOLONE A., Scienza delle Costruzioni: Saint-Venant (2), CEA, 2005

6 14 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 16. PODIO GUIDUGLI P., Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Parte I. Travi e travature, Aracne, PODIO GUIDUGLI P., Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Parte II. Stato di sforzo nelle travi, Aracne, ROMANO G., Scienza delle Costruzioni, Tomo I: Cinematica ed Equilibrio, Hevelius Edizioni, ROMANO G., Scienza delle Costruzioni, Tomo II: Elasticità e resistenza dei materiali, Hevelius Edizioni, SACCO E., Argomenti di Scienza delle Costruzioni, Aracne, SOLLAZZO A. - MARZANO S., Scienza delle Costruzioni, Vol. 2, UTET, Torino, SOKOLNIKOFF I.S., Mathematical Theory of Elasticity, Third Edition, International Student Edition, SPARACIO R:, La Scienza e i Tempi del Costruire, UTET Università, TIMOSHENKO S.P. - GOODIER J.N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill, VIOLA E., Scienza delle Costruzioni, 1 Teoria dell Elasticità, Pitagora Editrice, Bologna, VIOLA E., Scienza delle Costruzioni, 3 Teoria della Trave, Pitagora Editrice, Bologna, 1992.