Vettori, tensori e matrici

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1 Vettori, tensori e matrici Gianni Comini 11 aprile Introduzione In gran parte dei testi di termofluidodinamica, le espressioni compatte delle equazioni di conservazione e trasporto sono riportate con notazione vettoriale o tensoriale. Nell ambito del metodo degli elementi finiti, per contro, le forme discretizzate delle equazioni di conservazione e trasporto sono riportate con notazione matriciale. Per chi si occupa di elementi finiti, quindi, le notazioni matriciali risultano, per necessità, familiari, mentre le notazioni vettoriali e tensoriali possono, talvolta, apparire poco chiare a causa, ad esempio, della gran varietà di simboli adottati in letteratura per descrivere le stesse operazioni. D altra parte, le notazioni vettoriali e tensoriali hanno il pregio dell estrema sinteticità e, di conseguenza, si prestano meglio delle notazioni matriciali alla scrittura delle equazioni che governano i processi. Al fine di conciliare le esigenze, ugualmente importanti, di chiarezza e sintesi, nel seguito si riporteranno le rappresentazioni in forma matriciale delle principali operazioni con vettori e tensori a cui si fa riferimento nei modelli matematici utilizzati nella termofluidodinamica. 1.1 Convenzioni e regole Nelle rappresentazioni matriciali, un vettore w va trattato come una matrice di una sola colonna scritta nella forma { } u w (1 v mentre la trasposta w T dello stesso vettore va trattata come una matrice di una sola riga scritta nella forma w T [ u v ] (2 Prodotto scalare w w Attese le convenzioni (1 e (2, la rappresentazione matriciale del prodotto scalare di un vettore per se stesso è w w w T w [ u v ] { u v e, come deve essere, ha per risultato uno scalare. } u 2 + v 2 (3 1

2 Prodotto diadico ww Per contro, la rappresentazione matriciale del prodotto diadico di un vettore per se stesso è ] ww ww T { u v } [ [ ] uu uv u v vu vv e, come deve essere, ha per risultato un tensore (ovvero una matrice quadrata ottenibile attraverso un operazione su due vettori. Prodotto misto n T di un vettore n per un tensore T Più complesso da rappresentare in forma matriciale è il prodotto misto di un vettore per un tensore, dal quale si ottiene per risultato un vettore. Si faccia riferimento, ad esempio, al prodotto misto n T del vettore normale ad una superficie { } nx n (5 n y (4 per il tensore degli sforzi agenti sulla superficie stessa [ ] σxx τ T xy τ yx σ yy (6 La rappresentazione matriciale di tale prodotto è ( [ n T (n T T T ] [ ] T σ nx n xx τ xy y τ yx σ yy [ ] T n x σ xx + n y τ yx n x τ xy + n y σ yy { } nx σ xx + n y τ yx n x τ xy + n y σ yy (7 e, come deve essere, ha per risultato un vettore. 1.2 Operatore nabla L operatore nabla ricorre con grande frequenza nelle espressioni compatte delle equazioni di conservazione e trasporto. Esso può venire considerato un vettore e, come tale, essere rappresentato mediante la matrice di una sola colonna Il nome e le notazioni per le derivate vettoriali in cui compare sono richiamati nel seguito. x y (8 2

3 Prodotto t Il prodotto t, dove t è una funzione scalare (come, ad esempio, la temperatura, prende il nome di gradiente. Esso va trattato come prodotto di un vettore per uno scalare che ha per risultato un vettore t x y t t x t y coincidente, a meno del verso, con il gradiente della funzione scalare. Dalla definizione di divergenza di un campo vettoriale e dall applicazione delle regole enunciate nel paragrafo precedente, scaturiscono alcuni risultati importanti. Prodotto scalare w Il prodotto scalare dell operatore nabla per un vettore prende il nome di divergenza del vettore. In particolare, dalla regola (3 si deduce che il prodotto scalare dell operatore nabla per il vettore velocità può essere rappresentato nella forma matriciale [ ] { } w T u w u x y v x + v (10 y e, di conseguenza, ha per risultato uno scalare che è, appunto, la divergenza del vettore velocità. Prodotto scalare Il prodotto scalare dell operatore nabla per sé stesso prende il nome di Laplaciano. Ancora dalla regola (3 si deduce che tale prodotto può essere rappresentato nella forma matriciale T [ x y ] x y (9 2 x + 2 y 2 (11 che ha per risultato l operatore scalare 2, comunemente definito laplaciano. Prodotto diadico w Dalla regola (4, si deduce che il prodotto diadico dell operatore nabla per il vettore velocità può essere rappresentato nella forma matriciale w w T x y e, di conseguenza, ha per risultato un tensore. 3 [ ] u v u x u y v x v y (12

4 Prodotto misto T Dalla regola (7, si deduce che il prodotto misto dell operatore nabla per il tensore degli sforzi può essere rappresentato nella forma matriciale T ( T T T [ σxx x σ xx x + τ yx y ([ x + τ yx y τ xy x + σ yy y y ] [ σxx τ xy τ yx τ xy x + σ yy y σ yy ] T ] T (13 Prodotto misto (ww Ancora dalla regola (7 si deduce che il prodotto misto dell operatore nabla per il tensore originato dal prodotto diadico del vettore velocità per se stesso può essere rappresentata nella forma matriciale (ww ( T (ww T [ (uu x + (vu y (uu x + (vu y (uv x + (vv y ([ x y (uv x ] [ uu uv vu vv + (vv y ] T ] T (14 Prodotto misto w ( w Sempre dalla regola (7 si deduce che il prodotto misto del vettore velocità per il tensore originato dal prodotto diadico dell operatore nabla per il vettore velocità 4

5 può essere rappresentata nella forma matriciale u x w ( w (w T ( w T [ ] u v u y [ u u x + v u u v y x + v v y u u x + v u y u v x + v v y ] T v x v y Prodotto misto ( w Dalla regola (7, infine, si deduce che il prodotto misto della divergenza per il tensore originato dal prodotto diadico dell operatore nabla per il vettore velocità può essere rappresentata nella forma matriciale [ ( w ( T ( w T x y [ ( u + ( u x x y y ( u + ( u x x y y x ( v + x y ( v y u ] x u y ( v x x v x v y + y T T ( ] v T y Esempio 1 Con riferimento ai risultati sin qui ottenuti si verifichi che, nelle ipotesi di validità della relazione: w 0, si ha: ( w T 0 Soluzione Dalla (12 si ricava la rappresentazione matriciale del prodotto diadico u v x x w u y 5 v y (15 (16

6 e, di conseguenza, la rappresentazione matriciale della trasposta del prodotto diadico viene ottenuta dalla relazione precedente attraverso un semplice scambio righe per colonne ( w T Con riferimento all espressione di ( w T ed alla relazione (16, si ricava subito u x v x u x u y v y u y [ ] ( w T x y v v x y [ ( u + ( ( v u x x y y x x ( u + ( v x x x y x y ( u x ( w + ( v y y 0 0 x T + y ( ] v T y ( u x + v y Si noti che, nel passaggio dalla trasposta della matrice riga del terzo membro al vettore colonna del quarto membro, si è invertito l ordine di derivazione delle derivate miste, in quanto è ragionevole assumere che le derivate seconde delle velocità siano funzioni continue. Esempio 2 Con riferimento ai risultati sin qui ottenuti si verifichi che, nelle ipotesi di validità della relazione: w 0 e di viscosità costante, si ha: Soluzione Se la viscosità è costante, dalla (?? si ha w w 0 2 u x u y 2 2 v x v y 2 6

7 e di conseguenza risulta ( w ( 2 u x 2 x 2 x u y 2 ( u x + v y + ( 2 v y + 2 y 2 x v y 2 ( u x + v 0 y Si noti che, anche in questo caso, nel passaggio dal secondo al terzo membro si è invertito l ordine di derivazione. Esempio 3 Con riferimento ai risultati sin qui ottenuti si verifichi che, nelle ipotesi di validità della relazione: w 0, si ha: ( v u (w w 2 x y u v x y Soluzione Si noti che, nelle ipotesi poste, risulta e, dalla (??, si ottiene w w Di conseguenza risulta (w w x w u x + v y 0 u x v y 2 u u x + v u y u v x + v v y ( u v ( v u x y + v u + y y y u v x y u v y + v u y u v x v u x ( u v x v u x Si noti che, nel passaggio dal secondo al terzo membro, si sono invertiti gli ordini di derivazione e si è utilizzata la relazione: w 0. 7