Corso introduttivo pluridisciplinare Matrici e sistemi lineari

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1 Corso introduttivo pluridisciplinare Matrici e sistemi lineari anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 30

2 index Argomenti 1 Argomenti 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 La nozione di determinante 4 La nozione di caratteristica 5 Sistemi di equazioni lineari 6 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 7 Il teorema di Rouché Capelli Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 2 / 30

3 Argomenti Strutture algebriche Gruppi (esempi: gruppi di trasformazioni, gruppi ciclici. Anelli (esempi: l anello degli interi, anelli di classi di resti, anelli di polinomi. Campi (esempi: il campo dei numeri razionali, il campo delle classi di resti modulo p primo. Spazi vettoriali (esempi: lo spazio dei vettori geometrici, gli spazi R n. Polinomi Calcolo letterale. Polinomi e funzioni polinomiali. Polinomi di una variabile. Operazioni. Divisione tra polinomi. Riducibilità. Teorema di Ruffini. Massimo comun divisore. Matrici e sistemi di equazioni lineari Matrici e operazioni tra matrici. Determinante di una matrice quadrata. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Il teorema di Rouché-Capelli. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 3 / 30

4 Argomenti 27 gennaio 2014 (4 ore Programma di massima Matrici e risoluzione dei sistemi lineari Polinomi 3 febbraio 2014 (2 ore Strutture algebriche 6 febbraio 2014 (2 ore preappello prova scritta Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 4 / 30

5 Argomenti Nel corso di Didattica della Matematica 1 4 ore, classi A047 e A049 : Isometrie Similitudini Gruppi di trasformazioni Il concetto di uguaglianza - Invarianti Ulteriori 4 ore, solo classe A047 : Trasformazioni geometriche: aspetti analitici Trasformazioni geometriche: elementi uniti Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 5 / 30

6 index Matrici e operazioni tra matrici 1 Argomenti 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 La nozione di determinante 4 La nozione di caratteristica 5 Sistemi di equazioni lineari 6 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 7 Il teorema di Rouché Capelli Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 6 / 30

7 Matrici e operazioni tra matrici A = (a ij i=1,...,m,j=1,...,n Mat(m, n (matrici reali a m righe e n colonne. Somma di matrici + : Mat(m, n Mat(m, n Mat(m, n (a ij + (b ij = (a ij + b ij Prodotto per uno scalare : R Mat(m, n Mat(m, n λ (a ij = (λa ij Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 7 / 30

8 Matrici e operazioni tra matrici Prodotto di matrici Prodotto riga per colonna : Mat(m, n Mat(n, p Mat(m, p notazione = A = (a ij (m righe e n colonne, B = (b hk (n righe e p colonne (numero delle colonne di A = numero delle righe di B C = A B con m righe e p A = c rs = a r1 b 1s + a r2 b 2s + + a rn b ns. a 11 a a 1n a r1 a r2... a rn a m1 a m2... a mn, B = b b 1s... b 1p b b 2s... b 2p b n1... b ns... b np ( ( = ( Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 8 / 30

9 Matrici e operazioni tra matrici (Mat(m, n, + è un gruppo abeliano in cui l elemento neutro è la matrice nulla O = (0 e la matrice opposta di (a ij è ( a ij. (Mat(m, n, +, = prodotto per scalare è uno spazio vettoriale reale. (Mat(n, +, = prodotto riga per colonna è un anello commutativo con unità I n, dove I n = Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 9 / 30

10 index La nozione di determinante 1 Argomenti 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 La nozione di determinante 4 La nozione di caratteristica 5 Sistemi di equazioni lineari 6 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 7 Il teorema di Rouché Capelli Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 10 / 30

11 La nozione di determinante Determinante det(a di matrice quadrata A = (a ij Mat(n 1 determinante definito in modo esplicito det(a = σ ɛ(σa 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n dove la sommatoria è estesa a tutte le permutazioni σ : {1,..., n} {1,..., n} e dove ɛ(σ = 1 (risp. 1 se (σ(1, σ(2,..., σ(n si ottiene da (1,..., n con un numero pari (risp. dispari di scambi. 2 determinante introdotto in modo ricorsivo come somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna fissata per i rispettivi complementi algebrici ; 3 determinante introdotto tramite una proprietà "universale": unica applicazione multilineare alternante che vale 1 su I n. det : Mat(n = R n R n R n R Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 11 / 30

12 La nozione di determinante Qualche considerazione di tipo didattico L unica proponibile a livello di scuola secondaria è la 2, eventualmente solo per matrici 2]times2 oppure 3 3. Nel caso n = 3 molti libri introducono la regola di Sarrus. Lo eviterei: spesso studenti pensano di poterla "generalizzare" a matrici di ogni ordine. Ha senso parlare di determinante solo se si riesce a legare il concetto a quello di dipendenza e indipendenza lineare di vettori invertibilità di matrici (non solo, ad esempio, per proporre la regola di Cramer!. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 12 / 30

13 index La nozione di caratteristica 1 Argomenti 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 La nozione di determinante 4 La nozione di caratteristica 5 Sistemi di equazioni lineari 6 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 7 Il teorema di Rouché Capelli Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 13 / 30

14 La nozione di caratteristica Caratteristica (o rango car(a di matrice A = (a ij Mat(m, n 1 caratteristica come massimo ordine di matrice quadrata estratta da A con determinante non nullo; 2 caratteristica come numero di righe non nulle di una riduzione a scalini (v. dopo; 3 caratteristica come numero di righe (o colonne della matrice linearmente indipendente. Qualsiasi definizione si dia è fondamentale arrivare alla nozione 3 (altrimenti si può evitare di introdurre la caratteristica. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 14 / 30

15 index Sistemi di equazioni lineari 1 Argomenti 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 La nozione di determinante 4 La nozione di caratteristica 5 Sistemi di equazioni lineari 6 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 7 Il teorema di Rouché Capelli Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 15 / 30

16 Sistemi di equazioni lineari Sistema lineare, matrice dei coefficienti e matrice completa Sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x 1, x 2,..., x n (a ij, b h R a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Matrice completa del sistema: [A b] = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m A = matrice dei coefficienti del sistema, b = colonna dei termini noti Sistema in forma matriciale: Ax = b Soluzione del sistema: n upla di numeri reali (x 1, x 2,..., x n tali che Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 16 / 30

17 Sistemi di equazioni lineari Sistema lineare impossibile: non ammette alcuna soluzione determinato: ammette una ed una sola soluzione indeterminato: ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite. Se un sistema è indeterminato e le sue soluzioni dipendono da s parametri, si dice che il sistema ha s soluzioni. Se invece il sistema è determinato, si dice anche che ha 0 soluzioni. Due sistemi lineari (con lo stesso numero di incognite si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni. Principi di equivalenza: operazioni con cui si passa da un sistema ad uno equivalente. Principi di equivalenza per equazioni lineari. Principio di sostituzione. Principio di riduzione (o somma e differenza. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 17 / 30

18 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari index 1 Argomenti 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 La nozione di determinante 4 La nozione di caratteristica 5 Sistemi di equazioni lineari 6 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 7 Il teorema di Rouché Capelli Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 18 / 30

19 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari STRATEGIA: passare dalla matrice [A b] ad un altra matrice [A b ] che rappresenti un sistema equivalente, ma molto più semplice da risolversi. OPERAZIONI SULLE RIGHE (lecite, ovvero che fanno passare da un sistema ad un altro equivalente; legame con principi di equivalenza 1 scambiare due righe tra loro; ( ( R 1 R Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 19 / 30

20 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 2 moltiplicare una riga per una costante diversa da zero; ( ( R sommare ad una riga il multiplo di un altra. ( ( R R N.B. Le operazioni vanno fatte sulla matrice completa [A b], non solo sulla matrice A dei coefficienti. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 20 / 30

21 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari Matrici "semplici" ESEMPIO 1. ( x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 z 3w = 4 dall ultima equazione si ricava z = 3w + 4, che si può sostituire nella seconda trovando y in funzione di w e alla fine, sostituendo la z e la y nella prima si ricava anche x in funzione di w. Le soluzioni del sistema sono della forma (x, y, z, w = (23w + 30, 10w 12, 3w + 4, w. Il sistema è indeterminato ed ha 1 soluzioni. ESEMPIO 2. ( x + 2y z = y + 3z + w = = 4 che è evidentemente impossibile. Negli esempi 1 e 2 le matrici sono a gradini con un 1 come coefficiente dell incognita di ogni "gradino". Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 21 / 30

22 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari SCOPO DEL METODO: Ridurre la matrice [A b] in una forma a gradini del tipo: in cui in ogni riga compaiono meno incognite della riga precedente. STRUMENTO UTILIZZATO: le operazioni lecite sulle righe viste sopra. Si tratta di un algoritmo: dopo un numero finito di passi si ottiene una matrice dalla quale risulta evidente se il sistema ammette soluzioni oppure no e che, in caso affermativo, permette di trovare le soluzioni ricavando via via le incognite a partire dall ultima equazione e procedendo a ritroso. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 22 / 30

23 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari Illustrazione del metodo Come "creare" i gradini? Salvo effettuare scambi di righe, si parte da una matrice in cui la prima incognita compaia nella prima equazione. Moltiplicando la prima riga per una costante si ottiene una matrice in cui il primo elemento della prima riga è 1 R 2 ar 1 R 3 br 1,...,... 1 a a 1n b 1 a a a 2n b 2 b a a 3n b a a 1n b 1 0 a a 2n b 2 0 a a 3n b Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 23 / 30

24 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari A questo punto nel sistema dalla seconda equazione in poi non compare più la prima incognita, quindi compaiono al più n 1 incognite. Su questo sistema con una equazione in meno e con meno incognite si opera analogamente a quanto visto sopra. Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla interamente (cioè diventa ( , tale riga può essere cancellata (corrisponde all equazione 0 = 0. Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla in tutte le entrate salvo che nell ultima (cioè diventa ( k, k 0, il sistema è impossibile (tale riga infatti corrisponde all equazione 0 = k. Alla fine della procedura la matrice è ridotta a gradini, e il sistema, se risolubile, può essere risolto a partire dall ultima equazione a ritroso. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 24 / 30

25 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari ESEMPIO A 3x + y = 4 + x 2y = 3 x 3y = 8 ( 1/5R 2 R 1 R 2 ( ( ( / Il sistema quindi è impossibile. R 2 +3R 1 R 3 +R 1 R 3 +5R 2 ( ( / Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 25 / 30

26 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari ESEMPIO B x 2y + z = 0 2x + y = 1 3x 4y + z = 2 ( ( /5 1/ (x, y, z = ( z+2 5, 2z+1 5, z Il sistema è indeterminato R 2 2R 1 R 3 +3R 1 ( R 4 +10R 2 (1/5R 2 ( /5 1/ Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 26 / 30

27 index Il teorema di Rouché Capelli 1 Argomenti 2 Matrici e operazioni tra matrici 3 La nozione di determinante 4 La nozione di caratteristica 5 Sistemi di equazioni lineari 6 Il metodo di Gauss per la risoluzione dei sistemi lineari 7 Il teorema di Rouché Capelli Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 27 / 30

28 Il teorema di Rouché Capelli Il procedimento di riduzione a gradini può essere applicato ad una qualsiasi matrice (indipendentemente dal fatto che provenga da un sistema lineare. Il numero delle righe non nulle che si ottengono alla fine del procedimento (non dipende dalle operazioni che si sono fatte per ridurre a gradini la matrice e rappresenta il numero di righe (o colonne linearmente indipendenti: pertanto è la caratteristica o rango della matrice. TEOREMA (di Rouché Capelli - Il sistema lineare Ax = b ha soluzioni se e solo se la caratteristica della matrice dei coefficienti A coincide con la caratteristica della matrice completa [A b]. Inoltre, se il sistema è risolubile, le soluzioni del sistema sono n r, ove n è il numero delle incognite e r è la caratteristica di A (e di [A b]. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 28 / 30

29 Il teorema di Rouché Capelli Qualche considerazione di tipo didattico I principi di equivalenza sono fondamentali, non ha senso parlare di metodi risolutivi, senza collegarli a principi di equivalenza. Molti testi non ne parlano nemmeno. Il metodo di riduzione a scalini mette in luce il fatto fondamentale: il sistema Ax = b è impossibile se e solo se c è una relazione tra le espressioni a primo membro che non sussiste (con gli stessi coefficienti tra i termini noti. Non occorre distinguere tra sistemi 2 2, sistemi 3 3, ecc. e soprattutto non è necessario limitarsi a sistemi quadrati! Con il metodo di riduzione a scalini si spiega facilmente come mai un sistema lineare che abbia più di una soluzione ne ha infinite. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 29 / 30

30 Il teorema di Rouché Capelli ESEMPI di sistemi con parametri (h, t, a, b R h t t t t 1 t 1 + t ( a ( xy z ( xy z = h + 2 = t x ( yz 01 = w b Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 30 / 30