Introduzione ai problemi piani in elasticità lineare

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1 Introduzione ai problemi piani in elasticità lineare 19 novembre Fondamenti dei problemi piani 1.1 Relazioni generali Si consideri un corpo immerso in uno spazio Euclideo tridimensionale R 3 avente un sistema di coordinate Ox 1 x 2 x 3 (fig. 1). Sia Ω l insieme dei punti definiti dal corpo e la sua frontiera Ω suddivisa in due regioni Ω σ e Ω u tali che Ω u Ωσ = Ω Ω u Ωσ = (1) su cui sono applicate condizioni al contorno di Dirichlet, ovvero in termini di spostamenti, e Neumann, ovvero in termini di forze, rispettivamente. Considerando un materiale elastico lineare, omogeneo e isotropo, ed essendo u i un insieme di funzioni continue e derivabili caratterizzanti il campo Figura 1: Solido immerso nello spazio R 3 1

2 di spostamenti, la soluzione del problema elastico è data da un sistema lineare di equazioni differenziali alle derivate parziali con condizioni al contorno miste - equazioni di equilibrio forma compatta σ ij,i + b j = 0 (2) forma estesa σ 11,1 + σ 12,2 + σ 13,3 + b 1 = 0 σ 21,1 + σ 22,2 + σ 23,3 + b 2 = 0 σ 31,1 + σ 32,2 + σ 33,3 + b 3 = 0 (3) - equazioni di congruenza implicite forma compatta forma estesa - leggi costitutive forma compatta ε ij = 1 2 ( ui,j + u j,i ) ε 11 = u 1,1 ε 22 = u 2,2 ε 33 = u 3,3 ε 12 = 1 2 (u 1,2 + u 2,1 ) ε 13 = 1 2 (u 1,3 + u 3,1 ) ε 23 = 1 2 (u 2,3 + u 3,2 ) (4) (5) nelle tensioni σ ij = 2µ ε ij + λ I ε δ ii (6) nelle deformazioni ε ij = 1 ( ) λ σ ij 2µ 3λ + 2µ I σ δ ii (7) 2

3 forma estesa nelle tensioni nelle deformazioni σ 11 = 2µ ε 11 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) σ 22 = 2µ ε 22 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) σ 33 = 2µ ε 33 + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 ) σ 12 = 2µ ε 12 σ 13 = 2µ ε 13 σ 23 = 2µ ε 23 ε 11 = 1 2µ ε 22 = 1 2µ ε 33 = 1 2µ ε 12 = 1 2µ σ 12 ε 13 = 1 2µ σ 13 ε 23 = 1 2µ σ 23 [ σ11 λ (σ 3λ+2µ 11 + σ 22 + σ 33 ) ] [ σ22 λ (σ 3λ+2µ 11 + σ 22 + σ 33 ) ] [ σ33 λ (σ 3λ+2µ 11 + σ 22 + σ 33 ) ] (8) (9) Dalle (5) discendono direttamente le equazioni di congruenza esplicite espresse da Saint-Venant che assicurano la compatibilità interna dello stato deformativo ε 11,22 + ε 22,11 = 2ε 12,12 ε 22,33 + ε 33,22 = 2ε 23,23 ε 33,11 + ε 11,33 = 2ε 31,13 (10) ε 11,23 + ε 23,11 = ε 12,13 + ε 13,12 ε 22,31 + ε 31,22 = ε 23,21 + ε 21,23 ε 33,12 + ε 12,33 = ε 31,32 + ε 32,31 Le equazioni (3)-(10) valgono in ogni punto interno del solido. Nei punti di frontiera si hanno condizioni al contorno date da un sistema di forze ˆt i : Ω σ R 3 e un campo di spostamenti û i : Ω u R 3 assegnati, per cui σ ij n j = ˆt i x Ω σ (11) u i = û i x Ω u. 1.2 Stato piano generalizzato Si definisce stato piano generalizzato un generico stato elastico caratterizzato da tensori di tensione e deformazione funzioni di sole due coordinate. Per generalità si consideri σ ij = σ ij (x 1, x 2 ), ε ij = ε ij (x 1, x 2 ). (12) 3

4 Le equazioni di compatibilità si riducono alle seguenti ε 11,22 + ε 22,11 = 2ε 12,12 (13) ε 33,22 = 0 (14) ε 33,11 = 0 (15) ε 23,11 = ε 13,12 (16) ε 13,22 = ε 23,12 (17) ε 33,12 = 0 (18) Le equazioni (14)-(15)-(18) impongono la linearità della ε 33 in x 1 e x 2 ε 33 = Ax 1 + Bx 2 + C (19) in cui A, B e C sono costanti. Dall equazione di congruenza implicita (5) con i = j = 3 si ottiene quindi la forma di u 3 u 3 = (Ax 1 + Bx 2 + C)x 3 + h(x 1, x 2 ). (20) Derivando rispetto a x 3 e con l ipotesi (12), le restanti equazioni (5) assumono la seguente forma u 1,13 = 0 u 2,23 = 0 u 1,23 + u 2,13 = 0 (21) u 1,33 + u 3,31 = 0 u 2,33 + u 3,32 = 0 Dalla quarta e quinta delle (21) e per la (20), si ha u 1,33 = u 3,31 = A u 2,33 = u 3,32 = B (22) da cui, integrando in x 3, si ottiene u 1 = A 2 x2 3 + fu I 1 (x 1, x 2 ) x 3 + fu II 1 (x 1, x 2 ) u 2 = B 2 x2 3 + fu I 2 (x 1, x 2 ) x 3 + fu II 2 (x 1, x 2 ). (23) Dalla prima e seconda delle (21) e per le (23), si ottiene fu I 1,1 = 0 fu I 1 = Dx 2 + F fu I 2,2 = 0 fu I 2 = Mx 1 + H. (24) Dalla terza delle (21), insieme alle (23) e (24), si ha M = D. (25) 4

5 In definitiva, ponendo fu II 1 = f e fu II 2 = g, si ottiene il campo di spostamenti proprio dello stato piano generalizzato u 1 = A 2 x2 3 + Dx 2 x 3 + F x 3 + f(x 1, x 2 ) u 2 = B 2 x2 3 Dx 1 x 3 + Hx 3 + g(x 1, x 2 ) u 3 = (Ax 1 + Bx 2 + C)x 3 + h(x 1, x 2 ). (26) Nel seguito verranno trattati nel dettaglio i casi con D = 0, F = H = 0 e h = 0, in cui ε 13 e ε 23 si annullano. Dalle equazioni (5) e (26), e considerando il legame costitutivo (8) i tensori di tensione e deformazione diventano σ ij = σ 11 σ 12 0 σ 21 σ σ 33 ε ij = ε 11 ε 12 0 ε 21 ε ε 33 Le equazioni di legame nella forma di Voigt in termini di E, ν assumono la forma ε 11 1 ν 0 ν σ 11 ε 22 = 1 ν 1 0 ν σ 22 ε 12 E ν 0 (27) σ 12 ε 33 ν ν 0 1 σ 33 σ 11 1 ν ν 0 ν ε 11 σ 22 E = ν 1 ν 0 ν ε 22 σ 12 (1 + ν)(1 2ν) ν 0 ε 12 σ 33 ν ν 0 1 ν ε 33 (28) Le equazioni di equilibrio (3) si riducono a. σ 11,1 + σ 12,2 + b 1 = 0 σ 21,1 + σ 22,2 + b 2 = 0 b 3 = 0 (29) nelle quali le componenti b 1, b 2 risultano necessariamente indipendenti da x 3, conformemente alle ipotesi iniziali. Qualora il problema sia riferito ad un solido cilindrico di asse x 3, le equazioni di equilibrio ai limiti (11) si riducono pure a due sole sulla superficie laterale (n 3 = 0) σ 11 n 1 + σ 12 n 2 = ˆt 1 σ 21 n 1 + σ 22 n 2 = ˆt 2 (30) con ˆt 3 = 0, mentre sulle basi (n 3 = ±1) si ha ±σ 33 = ˆt 3 (31) 5

6 con ˆt 1 = ˆt 2 = 0. Il problema elastico si riduce quindi a 10 equazioni (2 di equilibrio, 4 di congruenza e 4 di legame) in 11 incognite (8 componenti di tensione e deformazione e 3 di spostamento). La soluzione si ottiene mediante opportune considerazioni sull espressione di ε 33 (19), in cui le costanti A, B e C, se non sono note a priori, impongono l introduzione di ulteriori equazioni di equilibrio sulle tensioni σ 33, valutate globalmente sulla sezione in termini di traslazione e rotazione. 2 Problema piano di deformazione (A = B = C = 0) Oltre le precedenti ipotesi, si assumono A = B = 0 e C = 0. Si ottiene u 1 = f(x 1, x 2 ) u 2 = g(x 1, x 2 ) u 3 = 0. (32) Dalle equazioni implicite di congruenza (5) discende ovviamente che il tensore delle deformazioni è piano, poiché ε 13 = ε 23 = ε 33 = 0. Le componenti di tensione si ottengono direttamente dalle (8) σ 11 = 2µε 11 + λ(ε 11 + ε 22 ) σ 12 = 2µε 12 σ 22 = 2µε 22 + λ(ε 11 + ε 22 ) σ 13 = 0 σ 33 = λ(ε 11 + ε 22 ) σ 23 = 0 (33) da cui, sommando membro a membro le prime due, con riguardo alla definizione del rapporto di contrazione trasversale ν = λ/2(µ + λ), e sostituendo nella terza, si ha σ 33 = λ 2(µ + λ) (σ 11 + σ 22 ) = ν(σ 11 + σ 22 ). (34) Insieme alle equazioni di equilibrio (29), il problema elastico è risolto, quindi, con 8 equazioni in 8 incognite (σ 11, σ 22, σ 12, ε 11, ε 22, ε 12, u 1, u 2 ). 2.1 Soluzione in termini di spostamento Se nelle relazioni di legame (8) si esprimono le componenti di deformazione in termini delle derivate di spostamento date dalla congruenza σ 11 = 2µu 1,1 + λ(u 1,1 + u 2,2 ) σ 22 = 2µu 2,2 + λ(u 1,1 + u 2,2 ) σ 12 = µ(u 1,2 + u 2,1 ) (35) 6

7 le equazioni indefinite di equilibrio (29) assumono la forma µ 2 u 1 + (λ + µ)(u 1,1 + u 2,2 ),1 + b 1 = 0 µ 2 u 2 + (λ + µ)(u 1,1 + u 2,2 ),2 + b 2 = 0 (36) in cui 2 indica l operatore di Laplace nelle variabili x 1, x 2 2 ( ) = 2 ( ) x ( ) x 2 2 = ( ), 11 +( ), 22 Le equazioni differenziali del secondo ordine (36) rappresentano la particolarizzazione al problema piano di deformazione delle più generali equazioni di Navier espresse per il solido elastico tridimensionale, e ne consentono la risoluzione in termini di spostamenti. Occorre infatti le condizioni al contorno in termini di spostamenti. Qualora siano associate anche condizioni al contorno sulle tensioni dovranno essere rispettate le seguenti equazioni (da (30)) µ[2u 1,1 n 1 + (u 1,2 + u 2,1 )n 2 ] + λ(u 1,1 + u 2,2 )n 1 = ˆt 1 µ[2u 2,2 n 2 + (u 1,2 + u 2,1 )n 1 ] + λ(u 1,1 + u 2,2 )n 2 = ˆt 2 (37) 2.2 Soluzione in termini di tensione Nel problema piano in esame, le equazioni esplicite di congruenza (10) si riducono alla prima ε 11,22 + ε 22,11 = 2ε 12,12 (38) essendo le altre identicamente soddisfatte in quanto i termini in esse contenuti sono nulli. Dalla (33) sommando le prime due si ottiene da cui σ 11 + σ 22 = 2µ(ε 11 + ε 22 ) + 2λ(ε 11 + ε 22 ) = 2(µ + λ)(ε 11 + ε 22 ) (39) ε 11 + ε 22 = Esplicitando la (8) 1 in funzione di ε 11 si ha che per sostituzione della (40) diviene 1 2(µ + λ) (σ 11 + σ 22 ). (40) ε 11 = 1 [ ] σ 11 λ(ε 11 + ε 22 ) 2µ (41) ε 11 = 1 [ λ ] σ 11 2µ 2(µ + λ) (σ 11 + σ 22 ) = 1 [ ] σ 11 ν(σ 11 + σ 22 ). (42) 2µ 7

8 Eseguendo simili passaggi anche per le (8) 2 e (8) 3 si ottengono le equazioni di legame inverse delle (33) [ ] ε 11 = 1 2µ (1 ν)σ11 νσ [ 22 ] ε 22 = 1 2µ (1 ν)σ22 νσ 11 (43) ε 12 = 1 σ 2µ 12 che, sostituite nella (38), permettono di esprimere la congruenza in termini di tensioni (1 ν) 2 (σ 11 + σ 22 ) = σ 11,11 + σ 22,22 + 2σ 12,12. (44) Il secondo membro della (44) può essere ulteriormente sviluppato utilizzando le prime due delle equazioni indefinite di equilibrio (29), le quali, derivando rispettivamente in x 1 e x 2 e sommate membro a membro assumono la forma σ 11,11 + σ 22,22 + 2σ 12,12 = b 1,1 b 2,2. (45) In definitiva, per sostituzione si ottengono le equazioni di Beltrami-Mitchell relative al problema piano di deformazione (1 ν) 2 (σ 11 + σ 22 ) + b 1,1 + b 2,2 = 0 (46) che in assenza di forze di massa, o più in generale si riducono a b 1,1 + b 2,2 = 0 = σ 11,11 + σ 22,22 + 2σ 12,12, (47) 2 (σ 11 + σ 22 ) = 0. (48) Alle precedenti equazioni occorre infine associare le equazioni di equilibrio al contorno. Relativamente alle equazioni di legame espresse in E, ν la relazione ε σ si ottiene immediatamente σ 11 σ 22 σ 12 = ricordando che E (1 + ν)(1 2ν) ν(σ 11 + σ 22 ) = mentre quella σ ε in inversione ε 11 ε 22 ε 12 = 1 E 1 ν ν 0 ν 1 ν ν νe (1 + ν)(1 2ν) (ε 11 + ε 22 ), 1 ν 2 ν(1 + ν) 0 ν(1 + ν) 1 ν ν σ 11 σ 22 σ 12 ε 11 ε 22 ε 12 (49). (50) 8

9 3 Problema piano di deformazione assiale (A = B = 0, C 0) Il caso di deformazione assiale è caratterizzato dal seguente campo di spostamenti (si noti in particolare che u 3 è una funzione lineare di x 3 ) u 1 = f(x 1, x 2 ) u 2 = g(x 1, x 2 ) u 3 = Cx 3 (51) da cui deriva una deformazione assiale costante in direzione x 3 in ogni punto del solido ε 11 = u 1,1 ( ) ε 12 = 1 u1,2 + u 2 2,1 ε 22 = u 2,2 ε 13 = 0 (52) ε 33 = C ε 23 = 0 Le componenti del tensore delle tensioni ottenute per mezzo delle (8) sono σ 11 = 2µε 11 + λ(ε 11 + ε 22 + C) σ 12 = 2µε 12 σ 22 = 2µε 22 + λ(ε 11 + ε 22 + C) σ 13 = 0 σ 33 = 2µC + λ(ε 11 + ε 22 + C) σ 23 = 0 (53) da cui si nota che differiscono dalle (33) solo per valori costanti. Si deduce quindi che le soluzioni ottenute in 2 sia in termini di spostamenti che in termini di tensioni nel piano continuano a valere. In particolare in assenza di forze di massa continua a sussistere la relazione (48) introdotta nel problema piano di deformazione. Se il valore della deformazione fuori piano C non è nota a priori, come ad esempio nel caso di una deformazione assiale imposta, si necessita di un ulteriore equazione per ottenere la soluzione del problema. Questa viene formulata imponendo l equilibrio alla traslazione lungo l asse x 3 delle componenti di tensione fuori piano relative alla generica sezione trasversale di area A σ 33 da = 0. (54) L espressione di ε 33 (9) in forma integrale λ + µ λ ε 33 da = σ 33 da µ(3λ + 2µ) 2µ(3λ + 2µ) A A A A ( σ11 + σ 22 ) da (55) insieme alle equazioni (52)-(54) permette di ricavare l espressione della costante C λ 1 ( ) C = σ11 + σ 22 da (56) 2µ(3λ + 2µ) A A ed il valore locale delle tensioni fuori piano [ ] λ (σ11 ) 1 ( ) σ 33 = + σ 22 σ11 + σ 22 da. (57) 2(λ + µ) A A 9

10 4 Problema piano di tensione Gli stati elastici piani trattati fino ad ora sono stati affrontati partendo da ipotesi fatte sul campo di spostamenti. Il problema piano di tensione invece si basa sull ipotesi di tensore delle tensioni piano, cioè con σ 13 = σ 23 = σ 33 = 0. Nel seguito si vedrà quali siano le restrizioni che permettono l esistenza del problema piano di tensione e le eventuali metodologie approssimate che si possono adottare per ovviare a soluzioni non congruenti. Dalle ipotesi appena fatte e considerando le equazioni di equilibrio (29) e (30) si ottengono le seguenti relazioni di legame Dalla terza delle (58) si ha σ 11 = 2µε 11 + λ(ε 11 + ε 22 + ε 33 ) σ 12 = 2µε 12 σ 22 = 2µε 22 + λ(ε 11 + ε 22 + ε 33 ) 0 = ε 13 (58) 0 = 2µε 33 + λ(ε 11 + ε 22 + ε 33 ) 0 = ε 23 che sostituita nelle prime due fornisce ε 33 = λ 2µ + λ (ε 11 + ε 22 ) (59) σ 11 = 2µε 11 + λ(ε 11 + ε 22 ) λ2 (ε 2µ+λ 11 + ε 22 ) σ 22 = 2µε 22 + λ(ε 11 + ε 22 ) λ2 (ε 2µ+λ 11 + ε 22 ). Raggruppando gli stessi termini e ponendo le (60) diventano (60) 2µλ 2µ + λ = λ (61) σ 11 = 2µε 11 + λ (ε 11 + ε 22 ) σ 22 = 2µε 22 + λ (ε 11 + ε 22 ) (62) che risultano formalmente uguali alle prime due delle (33) trovate per il problema piano di deformazione. Si possono quindi utilizzare i risultati ottenuti in 2 sostituendo λ con λ e ν con ν dove ν = λ 2(µ + λ ) = ν 1 + ν. (63) Inoltre, sommando i membri delle (62) e per sostituzione nella (59), si ottiene un importante relazione di dipendenza lineare fra il primo invariante di tensione e la deformazione fuori piano σ 11 + σ 22 = 2(µ + λ ) 2µ + λ ε 33 = Kε 33. (64) λ 10

11 Come si è visto nel problema piano di deformazione, la soluzione si ottiene utilizzando le equazioni di congruenza (10), che in questo caso si riducono alle ε 11,22 + ε 22,11 = 2ε 12,12 ε 33,22 = 0 (65) ε 33,11 = 0 ε 33,12 = 0 Con procedimento analogo a quello fatto in precedenza, dalla prima relazione si perviene alle equazioni di Beltrami-Mitchell (1 ν ) 2 (σ 11 + σ 22 ) + b 1,1 + b 2,2 = 0. (66) Dalle altre tre equazioni si ottiene la ben nota condizione di linearità per la ε 33 (19), che per la (64) si riflette sull invariante primo di tensione σ 11 + σ 22 = Ax 1 + Bx 2 + C. (67) Inoltre, poiché nella (67) è intrinseca la proprietà (48) per 2 (σ 11 + σ 22 ), dalla (66) segue che lo stato piano di tensione può esistere soltanto se b 1,1 + b 2,2 = 0 ossia se divb = 0 (68) In questo caso le equazioni di legame in E, ν sono espresse nella seguente forma ε 11 ε 22 = 1 + ν 1 ν 0 σ 11 ν 1 0 σ 22 E ε ν σ 12 (69) σ 11 1 ν 0 σ 22 = E ε 11 ν 1 0 ε (1 ν) σ ν ε 12 (70) Le due condizioni (67) e (68) limitano fortemente la valenza applicativa del problema piano di tensione. La prima si ritrova nelle osservazioni fatte in 3 in merito ai valori che la componente di tensione σ 33 può assumere al variare delle condizioni al contorno, mentre la seconda pone essenzialmente restrizioni sul materiale. Tali ostacoli possono essere superati accettando una soluzione non congruente, oppure adottando una trattazione approssimata, che prende il nome di problema piano generalizzato di tensione, la quale fornisce una soluzione comunque accettabile per solidi cilindrici di spessore molto piccolo rispetto alle dimensioni della sezione trasversale, quali, ad esempio, le lastre piane sottili sollecitate nel proprio piano. 11

12 Figura 2: tensione. Solido di riferimento per il problema piano generalizzato di 4.1 Problema piano generalizzato di tensione Si consideri una lastra piana sottile, cioè un solido cilindrico retto con superfici di base parallele e spessore molto piccolo rispetto alle dimensioni delle basi. Sia inoltre Ox 1 x 2 x 3 un sistema di riferimento con il piano x 1, x 2 appartenente al piano medio della lastra. Tutti i carichi sono applicati sulla superficie laterale del solido, indipendenti da x 3 e paralleli al piano medio. Questi carichi sono chiaramente simmetrici rispetto al piano medio, come lo sono b 1 e b 2, mentre si considera b 3 = 0 (fig. 2). Sotto queste ipotesi i punti appartenenti al piano medio non subiscono alcuno spostamento in direzione x 3, mentre per tutti gli altri punti u 3 assumerà valori molto piccoli, così come le variazioni di spostamento sullo spessore delle componenti u 1 e u 2. Questo suggerisce di poter lavorare con valori mediati sullo spessore. Si definisce quindi ū 1 (x 1, x 2 ) = 1 +h ū 2 (x 1, x 2 ) = 1 ū 3 (x 1, x 2 ) = 1 h u 1(x 1, x 2, x 3 )dx 3 u h 2(x 1, x 2, x 3 )dx 3 (71) u h 3(x 1, x 2, x 3 )dx 3 in cui il simbolo denota il valore medio. Essendo u 3 (x 1, x 2, x 3 ) una funzione dispari, si ha che ū 3 = 0. Poiché per ipotesi le basi del solido sono libere da carichi esterni, cioè σ 13 (x 1, x 2, ±h) = σ 23 (x 1, x 2, ±h) = σ 33 (x 1, x 2, ±h) = 0 (72) si può considerare, dato il piccolo spessore del solido, con buona approssimazione σ 33 = 0 ovunque. Si definiscono quindi le medie delle componenti di 12

13 tensione σ 11, σ 22 e σ 12 come di seguito σ 11 = 1 h σ 11 dx 3, σ 22 = 1 e analogamente delle forze di massa b1 = 1 h h b 1 dx 3, b2 = 1 σ 22 dx 3, σ 12 = 1 h h σ 12 dx 3 (73) b 2 dx 3. (74) Si hanno quindi le seguenti equazioni di equilibrio definite in media σ 11,1 + σ 12,2 + b 1 = 0 σ 12,1 + σ 22,2 + b 2 = 0 (75) e le relazioni costitutive, anche queste espresse in termini di valori medi sullo spessore σ 11 = 2µ ε 11 + λ ( ε 11 + ε 22 ) σ 22 = 2µ ε 22 + λ ( ε 11 + ε 22 ) (76) σ 12 = 2µ ε 12 Queste ultime equazioni insieme a quelle di equilibrio permettono di determinare le 5 incognite ū 1, ū 2, σ 11, σ 22 e σ 12, tutte funzioni solo in x 1 e x 2. Infatti sostituendo le (76) nelle (75) si ottengono due equazioni in termini di deformazioni e spostamenti medi µ 2 ū 1 + (λ + µ)( ε 11 + ε 22 ),1 + b 1 = 0 µ 2 ū 2 + (λ + µ)( ε 11 + ε 22 ),2 + b 2 = 0 (77) Infine, le componenti di deformazioni medie soddisfano le condizioni esplicite di congruenza, in modo da ottenere le equazioni di Beltrami-Mitchell in termini di tensioni medie 2 ( σ 11 + σ 22 ) + 2(λ + µ) λ + 2µ ( b 1 + b 2 ) = 0. (78) 13