Verifiche di sicurezza di una costruzione 1/2

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1 Verifiche di sicurezza di una costruzione 1/2 Le costruzioni devono soddisfare opportuni requisiti di sicurezza nei confronti della loro capacità portante Capacità portante Attitudine di una struttura a sostenere le azioni trasmesse dall ambiente circostante Crisi Condizione che determina la perdita della capacità portante

2 Verifiche di sicurezza di una costruzione 2/2 La capacità portante di una costruzione dipende dalla resistenza dei materiali e dalla sua stabilità globale. Resistenza (verifica di resistenza) Proprietà meccanica del materiale che ne definisce il limite di sopportabilità delle tensioni Instabilità (verifica di stabilità) Riduzione della rigidezza che determina l insorgere di grandi spostamenti

3 Verifiche di resistenza Si assume che la crisi (perdita della capacità portante) si manifesti in corrispondenza del superamento del limite elastico del materiale. Il limite elastico è espresso in termini di: - resistenza a trazione σ t e resistenza a compressione σ c per un materiale fragile - tensione di snervamento σ s per un materiale duttile Queste quantità sono desunte da prove sperimentali eseguite in regime monoassiale. Nel caso di uno stato tensionale monoassiale, la verifica di resistenza consiste nel controllare che in ogni punto della struttura sia soddisfatta la condizione: σ c s σ σ t s σ σ s s (per materiali fragili) (per materiali duttili) in cui s > 1 è un coefficiente di sicurezza che tiene conto delle incertezze esecutive e di modellazione.

4 Criteri di resistenza Nel caso di uno stato tensionale pluriassiale, la verifica di resistenza può essere condotta attraverso un appropriato criterio di resistenza. In generale, un criterio di resistenza definisce analiticamente una grandezza derivata dal tensore degli sforzi che, quando raggiunge un valore limite, determina l insorgere della crisi. In questo modo è possibile definire una tensione ideale equivalente σ id che, se agisse in uno stato tensionale monoassiale, presenterebbe la stessa pericolosità dello stato tensionale considerato. La verifica di resistenza, quindi, viene condotta controllando che in ogni punto della struttura sia soddisfatta la condizione: σ c s σ id σ t s σ id σ s s (per materiali fragili) (per materiali duttili) Un criterio di resistenza definisce nello spazio delle componenti del tensore degli sforzi la regione degli stati tensionali sicuri, detta dominio di resistenza. Tale dominio è delimitato da una frontiera convessa detta superficie limite. I punti della superficie limite rappresentano stati tensionali di crisi, in cui il materiale non si comporta più elasticamente. I punti esterni alla superficie limite rappresentano stati tensionali non raggiungibili, perché il materiale è già andato in crisi.

5 Criterio di resistenza di Galileo-Rankine 1/2 È applicabile nel caso dei materiali fragili. Assume che la crisi del materiale avviene quando la massima tensione principale eguaglia la resistenza a trazione σ t, o quando la minima tensione principale eguaglia la resistenza a compressione σ c. Nello spazio delle tensioni principali (O, σ I, σ II, σ III ) il criterio conduce alle relazioni: σ I = σ t σ I = σ c σ II = σ t σ II = σ c σ III = σ t σ III = σ c che rappresentano le equazioni di sei piani paralleli ai piani coordinati. Il dominio di resistenza è un cubo avente un diametro coincidente con l asse idrostatico.

6 Criterio di resistenza di Galileo-Rankine 2/2 Stato tensionale piano: σ III = 0. Le condizioni di crisi si scrivono T = 0 τ sz τ sz σ z σ I = σ t σ I = σ c σ II = σ t σ II = σ c e il dominio di resistenza si riduce a un quadrato. O C T Se T è il punto rappresentativo di uno stato tensionale, il suo coefficiente di sicurezza vale s = OC OT > 1 Le tensioni principali assumono il ruolo di tensioni ideali σ id1 = σ I = σ z σ z 2 + 4τ 2 sz < σ t σ id2 = σ II = σ z σ z 2 + 4τ 2 xy > σ c

7 Criterio di resistenza di Tresca 1/3 Assume che la crisi del materiale avviene quando la tensione tangenziale massima raggiunge un valore limite. Rispetta le condizioni di simmetria e indipendenza dalla pressione idrostatica. Nello spazio delle tensioni principali (O, σ I, σ II, σ III ) il criterio conduce alla relazione: 1 2 max { σ I σ II, σ II σ III, σ III σ I }= τ s In uno stato tensionale monoassiale risulta τ s = σ s 2 e la condizione di crisi si scrive quindi σ id = max{ σ I σ II, σ II σ III, σ III σ I }= σ s La superficie limite (di snervamento) è determinata dalle relazioni σ I σ II = ±σ s σ II σ III = ±σ s σ III σ I = ±σ s che rappresentano sei piani, paralleli a due a due, che individuano un cilindro a direttrice esagonale avente come asse la retta idrostatica.

8 Criterio di resistenza di Tresca 2/3 Nel caso di uno stato tensionale piano si ha σ III = 0 e le condizioni di crisi si scrivono σ I σ II = ±σ s σ II = ±σ s σ I = ±σ s Tali condizioni rappresentano sei rette parallele a due a due. Il dominio di resistenza si riduce a un esagono, dato dall intersezione del cilindro con il piano (σ I, σ II ).

9 Criterio di resistenza di Tresca 3/3 Per il solido di De Saint Venant (trave) lo stato tensionale è piano (σ III = 0). Nel piano delle tensioni il tensore degli sforzi si scrive T = Le tensioni principali non nulle valgono 0 τ sz τ sz σ z σ I = 1 ( 2 σ z + σ z 2 ) 2 + 4τ sz > 0 σ II = 1 ( 2 σ z σ z 2 ) 2 + 4τ < 0 sz e la tensione ideale risulta σ id = σ I σ II = σ 2 2 z + 4τ sz

10 Criterio di resistenza di von Mises 1/2 Nel caso di uno stato tensionale piano, la tensione ideale si scrive σ id = σ 2 I + σ 2 II σ I σ II e la condizione di crisi assume la forma σ 2 I + σ 2 2 II σ I σ II = σ s Nel piano (σ I, σ II ), il dominio di resistenza è un ellisse che risulta circoscritta all esagono di Tresca. Per questa ragione il criterio di Tresca è più conservativo del criterio di Mises.

11 Criterio di resistenza di von Mises 2/2 Per il solido di De Saint Venant (trave) lo stato tensionale è piano. Nel piano delle tensioni il tensore degli sforzi si scrive e la tensione ideale assume la forma T = 0 τ sz τ sz σ z σ id = σ 2 2 z + 3τ sz Si nota che, a parità di stato tensionale, la tensione ideale calcolata secondo il criterio di Mises è inferiore a quella calcolata secondo il criteri di Tresca. Il criterio di Mises è dunque meno conservativo del criterio di Tresca.

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