Università degli studi di Cagliari. Corso di aggiornamento. Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ

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1 Università degli studi di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Strutturale Corso di aggiornamento Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ RELATORE: Ing. Igino MURA imura@unica.it Giugno Instabilità: Metodo di verifica

2 INSTABILITA NELLE ASTE IN C.A.: VERIFICA DELLE ASTE 1. Rapporto di snellezza λ Il rapporto di snellezza λ è definito dall Eurocodice come il rapporto fra la lunghezza di inflessione l 0 ed il raggio d inerzia i. Pertanto: λ = l 0 / i con : i = ( I / A ) 0.5 Numerose normative utilizzano lo spessore del pilastro invece che il raggio d inerzia. Questo conduce a valori più bassi. Non esistono motivi specifici per sostenere che una formulazione possa essere migliore dell altra; ambedue sono misure di rigidezza flessionale (nonostante il problema specifico non sia esattamente corrispondente a quello della classica instabilità euleriana). L uso del raggio d inerzia ha però il vantaggio di consentire una trattazione più compatta, comprensiva anche di sezioni di forma non rettangolare. Esempio di calcolo: Determinare il rapporto di snellezza di un pilastro avente lunghezza di inflessione di 2,63 m e sezione quadrata di 350 x 350 mm.

3 2. Riduzione del carico per effetto della snellezza Consideriamo un pilastro tozzo ( λ 0 ) soggetto ad un carico assiale eccentrico N Sd. Esso produce un momento N Sd e 0 nel pilastro. Ignorando l effetto di ogni inflessione possiamo disegnare il sentiero corrispondente alla crescita del carico sino a collasso nel dominio M N. Consideriamo ora l inflessione e gli effetti del secondo ordine. L inflessione produce nel pilastro un momento N Sd e 0 aggiuntivo rispetto al primo. Questo riduce la capacità portante del pilastro (carico di collasso): più grande è la snellezza tanto maggiore è la riduzione. Per λ=25 la riduzione è molto modesta e può normalmente essere ignorata, ma quando λ=90 la riduzione è considerevole e deve essere messa in conto. Per questi valori di snellezza il sentiero di carico è stabile e il collasso avviene per schiacciamento del materiale nei punti A e B. Quando λ=200 il pilastro collassa per instabilità dell equilibrio: il punto di equilibrio indifferente è il punto C che separa il tratto stabile del sentiero ( quello ascendente ) dalla parte instabile ( quella discendente verso il limite del dominio).

4 3. Metodi di progetto Ogni parte dei telai a nodi spostabili deve essere progettata ponendo in conto gli effetti degli spostamenti. I pilastri isolati sono membrature soggette a compressione che costituiscono parti integrali di strutture a nodi fissi. Quando λ non supera λ min, dato dal più grande fra 15 / (ν u ) , gli effetti della snellezza possono essere trascurati. e Quando λ supera λ min il pilastro è snello, ma se non supera λ crit non sono richiesti particolari calcoli essendo sufficiente progettare il pilastro assumendo alle sue estremità il momento pari a 0.005hN Su. ( con h lato della sezione quadrata del pilastro ) Con M 01 e M 02 momenti all estremità del pilastro con

5 4. determinazione di λ crit Il valore di λ crit si determina considerando l influenza di un momento addizionale dovuto all inflessione, che si aggiunge all iniziale momento di progetto. Vincoli momento momento momento di estremità agente addizionale totale Il progetto deve individuare la configurazione inflessa a collasso. L analisi elastica non può essere utilizzata in quanto il calcestruzzo armato quando raggiunge il carico di collasso non ha comportamento elastico. Neppure si può far ricorso all analisi plastica perché questa non consente la determinazione degli spostamenti a collasso. L Eurocodice indica allora di adottare il metodo delle curvature.

6 5. Metodi di risoluzione L Eurocodice indica due approcci fondamentali: L analisi non-lineare rigorosa della struttura. Si tratta di un metodo complesso la cui esposizione esula da questo Corso. L analisi con metodi semplificati per le situazioni più usuali. Questi metodi saranno considerati nel seguito. Tutti i metodi devono contemplare la possibilità che la struttura possa essere realizzata fuori piombo ovvero non verticale. Nei telai a nodi spostabili si deve introdurre una inclinazione addizionale ν : Nelle colonne isolate si deve introdurre una eccentricità accidentale e a del carico assiale:

7 METODI SEMPLIFICATI ( colonne isolate) L obiettivo di una rigorosa analisi non lineare (iterativa) è quella di determinare il massimo valore del carico limite di un pilastro snello individuando la legge carichi-inflessioni. Scopo di un metodo semplificato è trovare il carico allo stato ultimo con un unico calcolo. Il metodo della Colonna Modello proposto dall Eurocodice ha come obiettivo di predire l inflessione alla quale inizia il collasso del calcestruzzo, ovvero quello che corrisponde alla massima deformazione ammessa. Il punto di cui sopra corrisponde sia al carico ultimo effettivo di cui al punto ( A ) oppure ad una valutazione di limite inferiore ( B ). Questo metodo in definitiva fornirà talvolta un limite inferiore del carico di collasso.

8 1. Inflessione nella Colonna Modello L inflessione di un pilastro incernierato agli estremi viene calcolata a partire dalla conoscenza delle sue curvature, ma per calcolare le curvature in ciascuna sezione occorre conoscere la deformata. Poiché non si vuole utilizzare un calcolo iterativo (rigoroso ) la forma della deformata deve essere assegnata a priori. Numerose forme di pilastro inflesso producono una inflessione al centro pari a β l 0 2 (1/r). Le forme triangolare e rettangolare forniscono i casi estremi, quella parabolica e sinusoidale ( π 2 = 9.82 ) definiscono con maggiore precisione l andamento effettivo della deformata che deriverebbe da un calcolo rigoroso. L Eurocodice assume per semplicità il valore β = 1/10.

9 2. Procedura di calcolo della Colonna Modello Step 1. L Eurocodice modifica l equazione che fornisce e 2 introducendo un coefficiente correttivo k 1 che tiene conto dei bassi valori di snellezza compresi fra 15 e 35. Pertanto: Tuttavia λ crit risulta normalmente più grande di 35 e pertanto questa correzione può non doversi effettuare ( k 1 = 1 ).

10 Step 2. Nel passo successivo si deve calcolare la curvatura ( 1/r ). Questo può ottenersi a partire dal dominio di interazione M-N. Nel punto di bilanciamento la deformazione di compressione del calcestruzzo raggiunge il suo massimo valore e la deformazione di trazione nell acciaio è quella di snervamento. Ora, la curvatura nella sezione ( 1/r bal ) è uguale alla variazione di deformazione lungo lo spessore della sezione: Formula semplificata dell EC2: (spessore asse neutro 0.55d) La curvatura (1/r u ) al carico centrato ultimo N ud della sezione è zero. Si assume che la curvatura vari linearmente fra 1/r u e 1/r bal per cui si determina la curvatura 1/r in modo agevole con una semplice proporzione:

11 Step 3. Nel passo finale si determina il massimo momento di progetto. Il massimo momento di progetto si verifica nel punto centrale della lunghezza di inflessione, che generalmente è molto prossima alla mezzeria dell asta. Una stima ragionevole del momento del primo ordine in quasto punto, per momenti di estremità M01 e M02 è data da: con N.B. - L eurocodice esprime la precedente relazione in termini di eccentricità e = M / N. In pratica tuttavia sono i momenti di estremità ad essere conosciuti e la grandezza richiesta è il momento di progetto, per cui appare privo di significato pratico dividerli per il carico assiale. Si ottiene il massimo momento di progetto addizionando il momento accidentale N Sd e a (e a = 0.5 ν l 0 ) : Tuttavia questo non sempre risulta essere il massimo momento. Questo può anche determinarsi all estremità della colonna. L Eurocodice trascura il momento M 01 perché raramente critico, mentre richiede di effettuare la verifica all estremità M 02, quindi:

12 La determinazione del massimo momento di progetto fra: ora non risulta difficile. Si deve osservare che M sd,min dipende da e 2 che a sua volta dipende da k 2. Quest ultimo non può essere calcolato finché non è determinata l area di armatura, poiché N ud = A c f cd + A s f yd (per una sezione rettangolare simmetricamente armata N bal può essere assunto come pari a 0.4 A c f cd ). Si considerano le relazioni seguenti: e si utilizza un procedimento iterativo: 1. si assume k 2 = 1; 2. si calcola M Sd,mid ; 3. si calcola l area d acciaio richiesta nella sezione della colonna per il carico assiale N Sd e per il piu grande fra i momenti M Sd,mid e M Sd,end ; 4. se il momento di progetto è M Sd,end, il procedimento è concluso, 5. diversamente bisogna ricalcolare k se questo valore di k 2 differisce in modo significativo deal precedente valore si ritorna a l punto 2.

13 Si possono considerare nel procedimento diagrammi con riportate le linee a k 2 costante:

14 TELAI A NODI SPOSTABILI ( Metodi semplificati ) L Eurocodice non fornisce esplicitamente alcuna procedura semplificata per il progetto dei telai a nodi spostabili, ma consente di utilizzare procedimenti semplificati come quello della Colonna Modello, garantito che sia assicurato il richiesto livello di sicurezza. Il metodo successivamente indicato è fondato sul metodo della Colonna Modello, ma adattato alle particolari condizioni richieste dai telai a nodi spostabili. Le assunzioni fondamentali sono le seguenti: le inflessioni globali di ogni pilastro del telaio, a ogni livello del telaio, sono le medesime; il collasso del telaio interviene quando il primo pilastro strutturalmente significativo, di qualunque livello di piano, raggiunge l inflessione ultima. Questo pilastro è denominato pilastro critico. L inflessione ultima è calcolabile con le equazioni utilizzate nel metodo della Colonna Modello, ovvero: La curva di inflessione dell assegnato pilastro si assume parabolica, con il suo massimo al momento e inflessione ultima.

15 Le precedenti assunzioni conducono alla seguente procedura di progetto: 1. si calcola l inflessione ultima del pilastro critico. Si determina l inflessione ultima di ciascun pilastro assumendo che siano tutti indipendenti e soggetti allo spostamento dei nodi. La più piccola inflessione determinata in questo modo sarà l inflessione critica alla quale il telaio andrà fuori servizio. 2. Si progetta ciascun pilastro in modo tale che, assoggettato al suo carico assiale di progetto e alla sua inflessione critica esso sviluppi almeno il suo richiesto momento di progetto. Usare la seguente relazione: dove: M Sd è il momento ultimo di progetto, uguale a M 0 + N Sd e crit M Sde è il momento ultimo di progetto effettivo; e crit è l inflessione critica dovuta al momento M Sd ; e u è l inflessione ultima dovuta al momento M Sde. Per ciascun pilastro e u può essere espresso come una costante k 2, e questo riduce le incognite a M Sde e k 2. Si può in questo modo innestare un procedimento iterativo utilizzando la precedente equazione e il Diagramma di progetto. Ovviamente per la colonna critica M Sde = M Sd e critica e u = e crit. 3. Infine ciascun pilastro può essere verificato come un pilastro isolato controventato. Progettare per un carico assiale N Sd ed un momento di progetto M Sde.

16 INFLESSIONE BIASSIALE Finora la trattazione degli effetti di snellezza ha riguardato la flessione uni assiale, in modo che i momenti del secondo ordine agiscono in direzione del medesimo asse di quelli del primo ordine. In realtà esistono due ulteriori condizioni che devono essere considerate. I momenti del primo ordine riguardano la direzione dell asse maggiore e quelli del secondo la direzione di quello minore che presenta maggiore snellezza. Momenti del primo ordine secondo ambedue gli assi (flessione biassiale). Uno solo o ambedue sono snelli.

17 Ciascuna direzione deve essere considerata indipendentemente dall altra e soggetta al carico assiale N Sd e ad un appropriato momento, pertanto: Nell espressione di M1 i termini fra parentesi [ ] son applicabili solo se il pilastro è più snello secondo l asse maggiore. Quando e 0z supera 0.2 h il progetto lungo l asse minore deve essere basato su uno spessore ridotto di sezione, uguale a quello della zona compressa secondo l asse maggiore. La distanza y fra il baricentro della sezione ed il punto dove lo sforzo è nullo è data da: Lo spessore ridotto della sezione per la sezione rettangolare vale: Quando ci sono momenti significativi secondo le due direzioni simultaneamente occorre effettuare una rigorosa verifica biassiale.

18 Questo può richiedere di considerare due circostanze, se il pilastro è snello secondo ambedue gli assi. e Tuttavia l Eurocodice fornisce un approccio semplificato per cui si può progettare la sezione considerando la flessione uni assiale secondo i due assi indipendentemente. Questo approccio può essere applicato quando la flessione è quasi uni assiale nella sezione critica, ovvero: oppure Ma, quando e0z supera 0.2 h il progetto in direzione dell asse minore deve essere basato sulla sezione ridotta h, ovvero: E quindi per una sezione rettangolare:

19 TRAVI ALTE SOTTILI Quando una trave è alta in confronto alla sua luce ed al suo spessore è possibile che essa possa collassare per instabilità. Tuttavia la probabilità che possano occorrere simili travi è abbastanza modesta è l Eurocodice utilizza semplici e cautelativi strumenti di verifica che risultano normalmente sufficienti. Questi strumenti stabiliscono che è sufficiente assicurarsi che ambedue le seguenti relazioni siano verificate: Dove: e l ot b h è la lunghezza della flangia compressa misurata fra i vincoli laterali; è lo spessore della flangia compressa; è lo spessore totale della trave. L Eurocodice non fornisce metodi ulteriori se le condizioni precedenti non sono verificate. Appare ragionevole in tale eventualità far ricorso alla Colonna Modello.