Dalle tensioni ammissibili agli stati limite

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1 Dalle tensioni ammissibili agli stati limite Flessione composta Spoleto, 21 maggio 2004 Aurelio Ghersi Verifica di sezioni soggette flessione composta 1

2 Verifica tensioni ammissibili h d c n A s x σ c max σ s / n c σ s / n As b Dati: Geometria della sezione Armature Coppia - Incognite: Posizione dell asse neutro Tensioni massime Verifica tensioni ammissibili Il procedimento è abbastanza lungo e complesso, perché occorre: Controllare se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo d inerzia - delle sole armature (se è di trazione) - di armature omogeneizzate e calcestruzzo (se è di compressione) Imporre la condizione I n e n S n se il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo (equazione di terzo grado, per sezione rettangolare) 2

3 Verifica stato limite ultimo c A s u As x ε cu ε s α f cd h d n c b A s Dati: Geometria della sezione Armature Coppia - ε s Incognite: Posizione dell asse neutro omento resistente Verifica stato limite ultimo c A s u As ε cu ε s α f cd s x c h d n c A s ε s s b Per trovare l asse neutro: c + s + s Sd (equilibrio alla traslazione) E poi calcolare Rd, con equilibrio alla rotazione 3

4 Verifica stato limite ultimo La risoluzione presenta difficoltà analoghe a quelle viste per la flessione semplice Per sezione rettangolare, parzializzata e con armature snervate, si ottiene un equazione di primo grado che ha come soluzione + (A Sd s A' s ) fyd x β b α fcd altrimenti si ottiene una equazione di secondo grado Individuato il diagramma, si calcola facilmente il momento resistente Rd, da confrontare con Sd Domini - per flessione composta retta 4

5 Domini di resistenza tensioni ammissibili Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui σ max è uguale a σ Per ricavare una coppia - del dominio sezione si assegna un diagramma σc σ c si calcolano ed σ da σ y da Domini di resistenza tensioni ammissibili Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui σ max è uguale a σ Per ricavare una coppia - del dominio si calcolano ed σ da σ y da e si riporta la coppia nel diagramma 5

6 Domini di resistenza tensioni ammissibili Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui σ max è uguale a σ Ripetendo con tutti i possibili diagrammi si ottiene il dominio completo Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σs σ s 6

7 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σ 0 σs σ s Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σc σ c σs σ s 7

8 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σc σ c σ 0 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σ 0 σ c. 7 c 8

9 Domini di resistenza tensioni ammissibili Cambiando l armatura, si ottengono tanti diagrammi A s 0 Domini di resistenza stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui ε max è uguale a ε lim Per ricavare una coppia - del dominio sezione si assegna un diagramma di ε di σ εc ε cu σ α c f cd si calcolano ed σ da σ y da 9

10 Domini di resistenza stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui ε max è uguale a ε cu Per ricavare una coppia - del dominio si calcolano ed σ da σ y da e si riporta la coppia nel diagramma Domini di resistenza stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui ε max è uguale a ε cu Ripetendo con tutti i possibili diagrammi si ottiene il dominio completo 10

11 Domini di resistenza stato limite ultimo Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni Domini di resistenza stato limite ultimo A ε su B ε 0 B A ε su C C C ε cu ε yd C D ε cu ε cu D ε 0 E ε c1 E ε su 11

12 Domini di resistenza stato limite ultimo Cambiando l armatura, si ottengono tanti diagrammi A s 0 Domini: confronto tra TA e SLU Il confronto può essere effettuato sovrapponendo i domini ricavati per TA e SLU Poiché i carichi allo SLU sono maggiori (di ) di quelli alle TA, il dominio relativo alle TA deve essere opportunamente scalato (ad esempio x 1,45) 12

13 Domini: confronto tra TA e SLU Senza armatura TA SLU Differenze abbastanza modeste Domini: confronto tra TA e SLU SLU Con armatura TA essuna differenza in trazione Differenze molto forti in compressione 13

14 Progetto e verifica allo SLU con i domini - (sezioni rettangolari, A s A s ) Dominio - allo SLU L andamento delle curve è in più tratti parabolico punto di massimo A s tratti parabolici A s 0 14

15 Dominio - allo SLU Il punto di massimo momento si ottiene derivando h h β b x α f κ x + 2 A f c cd s yd 2 2 d h h β b α f 2 x 0 cd κ x h h dx 2 4 κ 198 Il punto di massimo è individuato da 289 b h α f 594 cd crd crd + srd A (h 2 c) f s b h 2 α f yd cd Dominio - allo SLU s A (h 2 c) f b h 2 αf cd yd punto di massimo A s tratti parabolici A s 0 assimo sforzo normale di trazione 2 A s f yd 289 b h α f 594 cd 15

16 Valori base per dominio - Calcestruzzo Acciaio 289 b h 594 f 2 A α cd s yd f 289 b h 2376 f A (h 2 c) f 2 α cd s yd Formulazione analitica omento resistente: Rd ( + ) 1 Rd + m con m

17 Formulazione analitica Verifica di resistenza: Sd + + Sd + m 1 con m Formule alternative per Sd < 0 (tensoflessione) Sd Sd 1 per 0 < Sd < Sd + Sd 2 1 per Sd > Sd + + Sd + n 1 con n

18 Confronto 600 km A s 15 cm 2 rigorosa approssimata eq. unica 150 A s k approssimata eq. a tre tratti -600 Esempio verifica a pressoflessione Dati geometrici Sezione 40x70 A s A s 3 Ø14 3 Ø cm 2 ateriale Calcestruzzo R ck 25 Pa Acciaio FeB44k 2 Ø14 Sollecitazioni sd 1300 k sd 350 km 3 Ø14 18

19 Esempio verifica a pressoflessione Valori resistenti del calcestruzzo: 289 b h α f k cd b h α f km cd Esempio verifica a pressoflessione Valori resistenti dell acciaio: 2 A s f yd k A s ( h 2c) f 4.62 ( ) km yd

20 Esempio verifica a pressoflessione omento resistente: m 1 + Rd ( + + ) 1 ( ) km Rd + m < Sd Rd Sezione verificata Esempio verifica a pressoflessione Oppure: m Sd + + Sd + m Sezione verificata 20

21 Progetto della sezione Le espressioni possono essere trasformate in formule per il progetto della sezione d r b Il coefficiente r è in questo caso dipendente da: - sforzo normale adimensionalizzato ν Sd /2 - percentuale geometrica di armatura che si vuole disporre ρ A s /bh - caratteristiche dei materiali Valori di r ν ρ0 ρ0.002 ρ0.004 ρ0.006 ρ0.008 ρ

22 Progetto dell armatura Il momento affidato alle armature è Sd,red Sd Sd 1 2 L armatura necessaria è quindi A s Sd,red z f yd z è il braccio della coppia interna costituita dalle armature z h 2 c 0.9 d ota: la formula vale rigorosamente solo per 0 Sd Esempio progetto dell armatura Dati geometrici Sezione 40x70 A s A s 3 Ø14 Sollecitazioni sd 1300 k sd 350 km Sd,red 92.3 km Armatura necessaria: 92.3 A s cm

23 Domini - per flessione composta deviata Pressoflessione deviata Procedimento per la costruzione del dominio y - z - - analogo a quello descritto per pressoflessione retta - più complicato per l inclinazione dell asse neutro 0 ε cu α f cd f yd A sz α x n y h d c A sy z b A sz A sy ε yd ε yd a) deformazioni ε f yd cls acc b) tensioni σ 23

24 Dominio alle TA y z otare la sezione trasversale: la presenza contemporanea di y e z è molto penalizzante Dominio allo SLU y z 24

25 Dominio allo SLU y 600 km A s 15 cm k z Dominio allo SLU y p + z y z,rd y,rd q 1 Consiglio: usare p q 1.5 z ν 2 ν 0.75 ν 1 y ν 0.25 ν 0 ν 0.5 ν 0.25 z 25

26 Considerazioni el calcolare il momento resistente Rd,y si dovrebbe prendere in considerazione anche l armatura sul lato verticale A s,y e viceversa A s,z Considerazioni Ciò porterebbe ad un incremento del momento resistente 600 km 450 A sz 15 cm 2 A sz 15 cm 2, A sy 6 cm A sz 0, A sy 6 cm A sz k

27 Considerazioni Ciò porterebbe ad un incremento del momento resistente Rd ( + sz,rd + sy,rd ) 1 Rd + sz,rd + sy,rd m con m sz,rd sy,rd + sy,rd Considerazioni Contemporaneamente, la presenza di momento nella direzione trasversale riduce il momento resistente ν 2 ν 0.75 ν 1 y y,rd ν 0 ν 0.25 ν 0.5 ν y,rd z z,rd * z,rd 0.9 z,rd 27

28 Indicazioni operative Finché il momento trasversale non è eccessivo, i due effetti si compensano E possibile progettare a pressoflessione retta, separatamente per le due direzioni, e poi effettuare un controllo a pressoflessione deviata FIE Parzialmente tratto dalla presentazione Cemento armato 4 () Bibliografia: A.Ghersi,.uratore Verifica e progetto allo stato limite ultimo di pilastri in c.a. a sezione rettangolare: un metodo semplificato Per questa presentazione: coordinamento A. Ghersi realizzazione A. Ghersi ultimo aggiornamento 10/05/

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