COEFFICIENTI BETA. per sezioni in cemento armato SEZIONI RETTANGOLARI E SEZIONI A T ITALO MARCHIONNI

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1 ITALO MARCHIONNI COEFFICIENTI BETA per sezioni in cemento armato SEZIONI RETTANGOLARI E SEZIONI A T * Trattazione teorica completa Coeffi cienti Beta e relative grandezze correlate per sezioni rettangolari e sezioni a T in cemento armato considerate nei domini di resistenza D2 D4 e D5 * Esercitazioni pratiche * Tabulazioni di riferimento Aggiornato al D.M. 14 gennaio 2008 (Norme Tecniche per le Costruzioni) SOFTWARE INCLUSO TRATTAZIONE COMPLETA ED ELABORAZIONE DEI COEFFICIENTI BETA CALCOLO IMMEDIATO DI COEFFICIENTI BETA E RELATIVE GRANDEZZE CORRELATE

2 Italo Marchionni ISBN EAN Quaderni, 19 Prima edizione, febbraio 2015 Marchionni, Italo <1962-> / Italo Marchionni. Palermo : Grafill, (Quaderni ; 19) ISBN Strutture in cemento armato Calcolo CDD-22 SBN Pal CIP Biblioteca centrale della Regione siciliana Alberto Bombace Il volume è disponibile anche in versione ebook (formato *.pdf) compatibile con PC, Macintosh, Smartphone, Tablet, ereader. Per l acquisto di ebook e software sono previsti pagamenti con conto corrente postale, bonifico bancario, carta di credito e paypal. Per i pagamenti con carta di credito e paypal è consentito il download immediato del prodotto acquistato. Per maggiori informazioni inquadra con uno smartphone o un tablet il codice QR sottostante. I lettori di codice QR sono disponibili gratuitamente su Play Store, App Store e Market Place. GRAFILL S.r.l. Via Principe di Palagonia, 87/ Palermo Telefono 091/ Fa 091/ Internet grafill@grafill.it Finito di stampare nel mese di febbraio 2015 presso Andersen S.p.A. Frazione Piano Rosa Boca (NO) Tutti i diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica e di riproduzione sono riservati. Nessuna parte di questa pubblicazione può essere riprodotta in alcuna forma, compresi i microfilm e le copie fotostatiche, né memorizzata tramite alcun mezzo, senza il permesso scritto dell Editore. Ogni riproduzione non autorizzata sarà perseguita a norma di legge. Nomi e marchi citati sono generalmente depositati o registrati dalle rispettive case produttrici.

3 a mia madre, che mi ha trasmesso l interesse per la conoscenza; a mio padre, che mi ha trasmesso il senso di responsabilità; a mia moglie ed ai miei figli, con debito di affetto.

4 SPONSOR Questo volume è stato realizzato con il contributo di: IV

5 INDICE Coefficienti BETA D2 D4... p. 1 Coefficienti BETA D Coefficienti BETA D2 D4 sez. T Coefficienti BETA D5 sez. T APPLICAZIONI NUMERICHE TABELLE NUMERICHE INSTALLAZIONE DEL SOFTWARE INCLUSO Note sul software incluso Requisiti hardware e software Download del software e richiesta della password di attivazione Installazione ed attivazione del software V

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7 NTC 2008 coefficienti BETA D2 D4 indice formulaz. coeff. BETA D2 D4 file T 01 R teoria statica del CEMENTO ARMATO METODO AGLI STATI LIMITE METODO DI INTEGRAZIONE ED APPLICAZIONE DELLE RELAZIONI NOTE DELLA GEOMETRIA DELLE MASSE laboratorio di COSTRUZIONI 1

8 ANNOTAZIONI 2

9 formulaz. coeff. BETA D2 D4 METODO DI INTEGRAZIONE DELLA LEGGE DI VARIAZIONE DELLE TENSIONI DEL CALCESTRUZZO ED APPLICAZIONE DELLE RELAZIONI NOTE DELLA GEOMETRIA DELLE MASSE DETERMINA I COEFFICIENTI DI RIEMPIMENTO (β1) E DI DISTANZA (β2) PER LA SEZIONE RETTANGOLARE INTEGRANDO NEL TRATTO INTERESSATO DELLA SEZIONE LA LEGGE PARABOLICA DI VARIAZIONE DELLE TENSIONI DEL CLS (CASO C1); OVVERO UTILIZZANDO LE RELAZIONI NOTE DELLA G.D.M. (CASO C2). CASO C1 - CLS BORDO SUPERIORE ELASTICO (1) ξ 0,167 2 CASO C2 - CLS BORDO SUPERIORE PLASTICO (2) ξ 0,167 2 G A1 diagramma di calcolo del conglomerato: relazione del legame costitutivo del calcestruzzo diagramma di calcolo del conglomerato: relazione del legame costitutivo del calcestruzzo si adotta di norma il diagramma parabola-rettangolo definito da: vale quanto già stabilito relativamente al CASO C1 (cfr.) - 1 arco di parabola di 2 grado passante per l'origine con asse parallelo all'asse delle ordinate (σ c ); l'area ed il baricentro del diagramma delle tensioni si calcolano applicando le soluzioni note della G.d.M.: - 1 segmento di retta parallelo all'asse delle ascisse ( ) tangente alla parabola nel punto di sommità. - l'area della parte rettangolare del diagramma è data dal prodotto della base moltiplicata per l'altezza. 2 il tratto parabolico del diagramma ha equazione: σ c = f cd ( - 0,25 ) (0.1.a) - il baricentro della parte rettangolare del diagramma è situato a metà dell'altezza. il tratto rettilineo del diagramma ha equazione: σ c = f cd (0.1.b) - l'area della parte parabolica del diagramma è data dai 2/ 3 del prodotto della base moltiplicata per l'altezza. C B A G A2 A1 C B A B' C' risulta pertanto, ad esempio, con riferimento al solo tratto parabolico: - il baricentro della parte parabolica del diagramma è situato a 3/8 dell'altezza (dove grava più massa). per = 1 σ c = 0,75 f cd - l'area complessiva del diagramma è data dalla somma delle parti rettangolare e parabolica. per = 1,5 σ c = 0,9375 f cd (0.1.a.1) - il baricentro complessivo del diagramma si calcola applicando la nota relazione della G.d.M.: y G = ΣS /ΣA per = 2 σ c = f cd riferita direttamente all'asse passante per il bordo compresso di CLS (sup. se M + ) la relazione (0.1.a) e relative esemplificazioni (0.1.a.1) individuano, nel diagramma delle tensioni riferito inoltre: alla generica sezione trasversale sollecitata, i valori di σ c relativi al bordo compresso di CLS (sup. se M + ) la distanza AB=y dall'asse neutro n individua univocamente la 1 fibra di CLS con deformazione =2, esprimibili, in generale, come: la distanza BC=-y dal bordo compresso individua l'intervallo di fibre di CLS con tensione costante σ c =f cd σ c = α f cd (0.1.a.2) tali distanze si calcolano con relazioni trigonometriche desumibili dal diagramma delle deformazioni: i valori di σ c (y) relativi alla generica fibra di calcestruzzo distante y (variabile di servizio) dall'asse neutro n ttttαα = ; ccttttαα = 1 tgα = εc (3.5); (3.6) (C2.a) si ottengono esprimendo in funzione della medesima distanza y e sostituendo il valore ottenuto in (0.1.a) relazione di proporzionalità del diagramma delle deformazioni: AAAA = BB ctgα = 2 (C2.b) (y) (1) (C2.c) = y ε y C y = BBBB = AC AB = 2 = 1 2 con deformazione assegnata al BORDO SUPERIORE COMPRESSO di CLS A 1 = f cd BC A 1 = 1 2 f cd (C2.1.1) sostituendo nella relazione (0.1.a) (equazione della parabola): (2) (C2.1.2) σ c (y) = f cd [ y 1 4 ϵ c y 2 y ] σ c (y) = f cd ( y2 2) A 2 = 2 3 f cd AB A 2 = 2 3 f cd 2 A 2 = 4 3 f cd 3.ls 4/50

10 formulaz. coeff. BETA D2 D4 l'area del diagramma delle tensioni si calcola integrando, nell'intervallo 0;, la legge della generica σ c (y): A 1 = A 1 = f cd A 1 = f cd σ c y dy A 1 = 0 y ε 2 c y y f cd ( y2 2)dy 0 A 1 = f cd ε 2 c ε 2 c 4 3 A 1 = 2 ε 2 c 12 f 6 cd A 1 = 12 (C1.1) AA 11 = ββ 11 f cd ββ 11 = εc 6 εc 12 f cd (C1.2) (d.1) il baricentro del diagramma delle tensioni si calcola applicando la nota relazione della G.d.M.: y G = S n /A S n = S n = f cd σ c y ydy 0 y y 2 S n = f cd ( y3 2)dy 0 1 ε 2 c y S n = f cd ε 2 c A 1 + A 2 = f cd A 1 + A 2 = A 1 + A 2 = f cd f cd AA 11 + AA 22 = ββ 11 f cd (C2.1) ββ 11 = 3εc 2 3εc (C2.2) (d.2) S 1 = A BC S 1 = 1 2 f cd S 1 = f cd 2 S 1 = f cd 2 S 1 = 1 2 S 2 = A 2 S 2 = AB + BC S 2 = 4 f 3d c εc 22 4εc + 4 εc 22 f cd f 4 d 2 S 2 = f c 3 4d 2 c (C2.3.1) S n = f cd S n = 3 ε 2 c 16 f cd 2 S 2 = 16εc 20 12εc 22 f cd 2 (C2.3.2) SS nn = εc 16 3εc 48 f cd 2 (C1.3) y G = S 16 3ε c f n 48 cd 2 y A G = 1 6 ε c 12 f cd yy GG = (16 3εc) 4(6 εc ) S 1 + S 2 = ε 2 c S 1 + S 2 = f cd 2 f cd 2 (C1.4) S 1 + S 2 = f cd 2 S 1 + S 2 = 3εc 22 4εc + 2 (C2.3) 22 f cd εc INDICANDO CON β2 LA DISTANZA DAL BORDO SUPERIORE (COMPRESSO): INDICANDO CON β2 LA DISTANZA DAL BORDO SUPERIORE (COMPRESSO): β 2 = y G β 2 = (6 ) β 2 = [ ] 4(6 ) β 2 = S 1 + S 2 β A 1 + A 2 = f cd 2 f cd (C2.4) 4 β 2 = ββ 4(6 ) 22 = 8 εc 4(6 εc ) (C1.5) β 2 = ββ (C2.5) = εc 3εc εc 3εc 2 (e.1) (e.2).ls 5/50

11 formulaz. coeff. BETA D2 D4 NOTA (1) NOTA (2) caso C1: l'area del diagramma parabolico si calcola necessariamente per integrazione, risultando la caso C2: l'area del diagramma parabolico-rettangolare non si calcola necessariamente per integrazione, tangente alla parabola medesima, condotta per il punto di sommità, non parallela ad. risultando la tangente alla parabola medesima, condotta per il punto di sommità, parallela ad. (si utilizzano in alternativa le soluzioni note della G.d.M.) risulta infatti, ad esempio, dalle (0.1.a.1); (C1.2); (C1.1): risulta infatti, ad esempio, dalle (0.1.a.1); (C2.2); (C2.1): per = 1,5 σ c = 0,9375 f cd β 1 = ( 6 - ) / 12 = 0,5625 per = 2 σ c = f cd β 1 = ( 3-2 ) / 3 = 0,667 e quindi: e quindi: A 1 = 0,5625 f cd A 1 +A 2 = 0,667 f cd evidentemente differente da: evidentemente coincidente con: A 1 = 2/3*0,9375 f cd = 0,625 f cd A 1 +A 2 = 2/3*f cd = 0,667 f cd subito calcolabile dalle soluzioni note della G.d.M. quando la suddetta tangente risulti parallela ad. subito calcolabile dalle soluzioni note della G.d.M. risultando la suddetta tangente parallela ad. si conclude rilevando che per: ξ = 0,167 = 2 i valori dedotti dalle formulazioni dei coefficienti β 1 ; β 2 nei due casi coincidono..ls 6/50 5

12 formulaz. coeff. BETA D2 D4 EQUAZIONI DI EQUILIBRIO ADIMENSIONALIZZATE (trattazione valida per entrambi i casi) E' SEMPRE IPOTIZZABILE, IN TERMINI DI FORZE, CONSIDERARE LA SEZIONE RETTANGOLARE bh, IN PARTE COMPRESSA ED IN PARTE TESA (PECULIARITA' DEI DOMINI D2 D4), COMPOSTA DA: - DIAGRAMMA (PARABOLA OVVERO PARABOLA-RETTANGOLO) DELLE TENSIONI CIRCOSCRITTO NEL RETTANGOLO fcd, con risultante della forza interna Fc, CUI SI ASSOCIANO: IL COEFFICIENTE DI RIEMPIMENTO β1 INDICATIVO DELLA PERCENTUALE DI AREA DEL SUDDETTO RETTANGOLO EFFETTIVAMENTE INTERESSATA DAL DIAGRAMMA DELLE TENSIONI DEL CLS. IL COEFFICIENTE DI DISTANZA β2 INDICATIVO DELLA POSIZIONE, RISPETTO AL BORDO SUPERIORE COMPRESSO, DEL BARICENTRO DEL SUDDETTO DIAGRAMMA. - ARMATURA COMPRESSA As', soggetta alla tensione σs', con risultante della forza interna Fs' (prodotto dell'area per la corrispondente tensione); - ARMATURA TESA As, soggetta alla tensione σs, con risultante della forza interna Fs (prodotto dell'area per la corrispondente tensione). NELLO SVILUPPO DELLE EQUAZIONI SI INTRODUCONO I COEFFICIENTI DI SICUREZZA E LE PERCENTUALI MECCANICHE DELLE ARMATURE OLTRE AI PARAMETRI SOLITI DEGLI S.L. (ξ; δ). si definiscono coefficienti di sicurezza delle armature i rapporti: ( s' 1 ; s 1 ) (a) s = σ s σ f s = s f yd yd si replicano i parametri soliti degli STATI LIMITE: si definiscono percentuali meccaniche di armatura (C e T) i rapporti: (02) EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE NEL BARICENTRO DELL'ARMATURA TESA M As = Mest (C: COMPRESSA) (l) ω = A s f yd (T: TESA) ΣM As = M f cd ββ 11 b d ββ 22 + σ s A bbdf s d d cd = M (n) ω = A sf yd bbdf cd f cd ββ 11 bξd d ββ 22 ξd + s f yd A s d δd = M si definisce momento adimensionalizzato il rapporto (1) : f cd ββ 11 bξd 2 1 ββ 22 ξ + s f yd A s d 1 δ = M rottura LATO ACCIAIO rottura LATO CLS (1) μ* da non confondere con μ = As' / As s = σ s f yd σ s = sf yd d = ξ = ξd d d = δ d = δd μ = M bbdd 22 f cd (c) (A) (B) (p) adimensionalizzazione dell'equazione: (si divide M.A M. per b d 2 f cd ) ββ 11 ξ 1 ββ 22 ξ + s f yda s d bd 2 f cd 1 δ = M bd 2 f cd ββ 11 ξ 1 ββ 22 ξ + s ω 1 δ = μ ( 02 ) in caso di ARMATURA SEMPLICE As' = 0 ω' = 0 ; risulta inoltre: ββ 11 ξ 1 ββ 22 ξ = μ 0 ( 02.a ) (il pedice "0" indica ARMATURA SEMPLICE). 6.ls 7/50

13 formulaz. coeff. BETA D2 D4 (01) EQUAZIONE DI EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE LUNGO L'ASSE z: S Fz = 0 (in D2 D4 per FLESSIONE SEMPLICE N = 0) ΣF z = 0 f cd ββ 11 b + σ s A s σ s A s = 0 f cd ββ 11 bξd + s f yd A s sf yd A s = 0 adimensionalizzazione dell'equazione: (si divide M.A M. per b d f cd ) ββ 11 ξ + s f yda s s f yda s = 0 bdf cd bdf cd ββ 11 ξ + s ω sω = 0 ( 01 ) in caso di ARMATURA SEMPLICE As' = 0 ω' = 0 ; risulta inoltre: ( 01.a ) ω = ω 0 = ββ 11ξ s (il pedice "0" indica ARMATURA SEMPLICE). con: s = 1 per ε s ε yd s = 1 S in campo 2 e 3 s = ε s / ε yd per ε s < ε yd s < 1 S in campo 4 7.ls 8/50