Dalle tensioni ammissibili agli stati limite

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1 Dalle tensioni ammissibili agli stati limite Flessione composta Spoleto, 21 maggio 2004 Aurelio Ghersi

2 Verifica di sezioni soggette flessione composta

3 Verifica tensioni ammissibili c A s σ c max σ s / n x h d n c σ s / n As b Dati: Geometria della sezione Armature Coppia - Incognite: Posizione dell asse neutro Tensioni massime

4 Verifica tensioni ammissibili Il procedimento è abbastanza lungo e complesso, perché occorre: Controllare se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo d inerzia - delle sole armature (se è di trazione) - di armature omogeneizzate e calcestruzzo (se è di compressione) Imporre la condizione I n e n S n se il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo (equazione di terzo grado, per sezione rettangolare)

5 Verifica stato limite ultimo c A s u As x ε cu ε s α f cd h d n c b A s Dati: Geometria della sezione Armature Coppia - ε s Incognite: Posizione dell asse neutro omento resistente

6 Verifica stato limite ultimo c A s u As ε cu ε s α f cd s x c h d n c A s ε s s b Per trovare l asse neutro: c s s Sd (equilibrio alla traslazione) E poi calcolare Rd, con equilibrio alla rotazione

7 Verifica stato limite ultimo La risoluzione presenta difficoltà analoghe a quelle viste per la flessione semplice Per sezione rettangolare, parzializzata e con armature snervate, si ottiene un equazione di primo grado che ha come soluzione (A Sd s A' s ) fyd x β b α f altrimenti si ottiene una equazione di secondo grado Individuato il diagramma, si calcola facilmente il momento resistente Rd, da confrontare con Sd cd

8 Domini - per flessione composta retta

9 Domini di resistenza tensioni ammissibili Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui σ max è uguale a σ Per ricavare una coppia - del dominio sezione si assegna un diagramma σc σ c si calcolano ed σ da σ y da

10 Domini di resistenza tensioni ammissibili Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui σ max è uguale a σ Per ricavare una coppia - del dominio si calcolano ed σ da σ y da e si riporta la coppia nel diagramma

11 Domini di resistenza tensioni ammissibili Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui σ max è uguale a σ Ripetendo con tutti i possibili diagrammi si ottiene il dominio completo

12 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σs σ s

13 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σ 0 σs σ s

14 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σc σ c σs σ s

15 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σc σ c σ 0

16 Domini di resistenza tensioni ammissibili Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni σc 0. 7 σ c

17 Domini di resistenza tensioni ammissibili Cambiando l armatura, si ottengono tanti diagrammi A s 0

18 Domini di resistenza stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui ε max è uguale a ε lim Per ricavare una coppia - del dominio sezione si assegna un diagramma di ε di σ εc ε cu σc α f cd si calcolano ed σ da σ y da

19 Domini di resistenza stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui ε max è uguale a ε cu Per ricavare una coppia - del dominio si calcolano ed σ da σ y da e si riporta la coppia nel diagramma

20 Domini di resistenza stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui ε max è uguale a ε cu Ripetendo con tutti i possibili diagrammi si ottiene il dominio completo

21 Domini di resistenza stato limite ultimo Ogni punto corrisponde a un diverso diagramma di tensioni

22 Domini di resistenza stato limite ultimo A ε su B ε 0 B A ε su C C C ε cu ε yd C D ε cu ε 0 ε cu D E ε c1 E ε su

23 Domini di resistenza stato limite ultimo Cambiando l armatura, si ottengono tanti diagrammi A s 0

24 Domini: confronto tra TA e SLU Il confronto può essere effettuato sovrapponendo i domini ricavati per TA e SLU Poiché i carichi allo SLU sono maggiori (di ) di quelli alle TA, il dominio relativo alle TA deve essere opportunamente scalato (ad esempio x 1,45)

25 Domini: confronto tra TA e SLU Senza armatura TA SLU Differenze abbastanza modeste

26 Domini: confronto tra TA e SLU SLU Con armatura TA essuna differenza in trazione Differenze molto forti in compressione

27 Progetto e verifica allo SLU con i domini - (sezioni rettangolari, A s A s )

28 Dominio - allo SLU L andamento delle curve è in più tratti parabolico punto di massimo A s s,rd tratti parabolici A s 0 s,rd

29 Dominio - allo SLU Il punto di massimo momento si ottiene derivando h h β b x α f κ x 2 A f c cd s yd 2 2 d dx h h β b α f 2 x 0 cd κ x h h 2 4 κ 198 Il punto di massimo è individuato da crd crd srd b h αf cd s,rd A s b h 2 α f (h 2 c) f yd cd

30 Dominio - allo SLU s,rd A s (h 2 c) f yd punto di massimo b h 2 α f cd s,rd A s tratti parabolici A s 0 assimo sforzo normale di trazione 2 A s,rd s f yd s,rd b h α f cd

31 Valori base per dominio - Calcestruzzo Acciaio b h f 2 A α cd s,rd s yd f (h 2 c) 2 b h α fcd s,rd s yd A f

32 Formulazione analitica omento resistente: Rd ( s,rd ) 1 Rd s,rd m con m 1 s,rd

33 Formulazione analitica Verifica di resistenza: Sd s,rd Sd s,rd m 1 con m 1 s,rd

34 Formule alternative per Sd < 0 (tensoflessione) Sd s,rd Sd s,rd 1 per 0 < Sd < Sd s,rd Sd 2 1 per Sd > Sd s,rd Sd s,rd n 1 con n 1 s,rd 2

35 Confronto 600 km A s 15 cm 2 rigorosa approssimata eq. unica 150 A s k approssimata eq. a tre tratti -600

36 Esempio verifica a pressoflessione Dati geometrici Sezione 40x70 A s A s 3 Ø14 3 Ø cm 2 ateriale Calcestruzzo R ck 25 Pa Acciaio FeB44k 2 Ø14 Sollecitazioni sd 1300 k sd 350 km 3 Ø14

37 Esempio verifica a pressoflessione Valori resistenti del calcestruzzo: 289 b h α f k cd b h αf km cd

38 Esempio verifica a pressoflessione Valori resistenti dell acciaio: s,rd 2 A s f yd s,rd k s,rd A s ( h 2c) f 4.62 ( ) yd s,rd km

39 Esempio verifica a pressoflessione omento resistente: m Rd 1 ( (262.2 s,rd s,rd km ) ) Rd s,rd m < Sd Rd Sezione verificata

40 Esempio verifica a pressoflessione Oppure: m Sd s,rd Sd s,rd m Sezione verificata

41 Progetto della sezione Le espressioni possono essere trasformate in formule per il progetto della sezione d r b Il coefficiente r è in questo caso dipendente da: - sforzo normale adimensionalizzato ν Sd /2 - percentuale geometrica di armatura che si vuole disporre ρ A s /bh - caratteristiche dei materiali

42 Valori di r ν ρ0 ρ0.002 ρ0.004 ρ0.006 ρ0.008 ρ

43 Progetto dell armatura Il momento affidato alle armature è Sd,red Sd 1 Sd 2 L armatura necessaria è quindi A s z Sd,red f yd z è il braccio della coppia interna costituita dalle armature z h 2 c 0.9 d ota: la formula vale rigorosamente solo per 0 Sd

44 Esempio progetto dell armatura Dati geometrici Sezione 40x70 A s A s 3 Ø14 Sollecitazioni sd 1300 k sd 350 km Sd,red km Armatura necessaria: 92.3 A s cm 2

45 Domini - per flessione composta deviata

46 Pressoflessione deviata Procedimento per la costruzione del dominio y - z - - analogo a quello descritto per pressoflessione retta - più complicato per l inclinazione dell asse neutro 0 ε cu α f cd f yd A sz α x n y h d c A sy z b A sz A sy ε yd ε yd a) deformazioni ε f yd cls acc b) tensioni σ

47 Dominio alle TA y z otare la sezione trasversale: la presenza contemporanea di y e z è molto penalizzante

48 Dominio allo SLU y z

49 Dominio allo SLU y 600 km A s 15 cm k -300 z

50 Dominio allo SLU y z y z,rd p y,rd q 1 Consiglio: usare p q 1.5 z ν 2 ν 0.75 ν 1 y ν 0 ν 0.25 ν 0.5 ν 0.25 z

51 Considerazioni el calcolare il momento resistente Rd,y si dovrebbe prendere in considerazione anche l armatura sul lato verticale A s,y e viceversa A s,z

52 Considerazioni Ciò porterebbe ad un incremento del momento resistente 600 km A sz 15 cm 2, A sy 6 cm A sz 15 cm 2 A sz 0, A sy 6 cm A sz k

53 Considerazioni Ciò porterebbe ad un incremento del momento resistente m sy,rd sz,rd Rd sy,rd sz,rd Rd 1 ) ( sy,rd sz,rd sy,rd 1 m con

54 Considerazioni Contemporaneamente, la presenza di momento nella direzione trasversale riduce il momento resistente ν 2 ν 0.75 ν 1 y y,rd ν 0 ν 0.25 ν 0.5 ν y,rd z z,rd * z,rd 0.9 z,rd

55 Indicazioni operative Finché il momento trasversale non è eccessivo, i due effetti si compensano E possibile progettare a pressoflessione retta, separatamente per le due direzioni, e poi effettuare un controllo a pressoflessione deviata

56 FIE Parzialmente tratto dalla presentazione Cemento armato 4 () Bibliografia: A.Ghersi,.uratore Verifica e progetto allo stato limite ultimo di pilastri in c.a. a sezione rettangolare: un metodo semplificato Per questa presentazione: coordinamento A. Ghersi realizzazione A. Ghersi ultimo aggiornamento 10/05/2004