PROGETTAZIONE DI STRUTTURE MECCANICHE

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1 PROGETTAZIONE DI STRUTTURE MECCANICHE Andrew Ruggiero A.A. 2011/12 Analisi matriciale delle strutture: caratterizzazione degli elementi A. Gugliotta, Elementi finiti Parte I

2 Elementi e strutture Una qualsiasi costruzione meccanica viene studiata dal progettista scomponendola in elementi semplici di cui sono note le proprietà e le modalità con cui ogni elemento è collegato agli altri Scomposizione naturale o semplice

3 Elementi e strutture Analogamente un sistema tubiero può essere suddiviso in elementi sia in corrispondenza di giunzioni fisiche o in corrispondenza di sezioni arbitrarie. Indipendentemente dalla suddivisione - naturale o arbitraria - le proprietà della struttura calcolate dopo la suddivisione in elementi devono essere invarianti rispetto al tipo di suddivisione adottata

4 Elementi e strutture Scelta degli elementi rappresentativi con cui suddividere la struttura La caratterizzazione dell elemento può essere: Esatta. Qualsiasi sia la suddivisione della struttura i risultati sono gli stessi rigorosamente. La suddivisione segue solo criteri di comodità Approssimata. La scelta della suddivisione influenza la soluzione complessiva che dipende dal livello di approssimazione delle leggi che governano il singolo elemento

5 Analisi Matriciale ed Elementi Finiti Esistono diverse strategie per la sistematizzazione delle relazioni che descrivono il comportamento di una struttura Es: Differenze finite Metodi di collocazione o trasferimento Metodi variazionali Il metodo FEM è il più comune (metodi variazionali) Vantaggi metodo FEM: Buone proprietà numeriche dei sistemi risolutivi Possibilità di analizzare con un unica formulazione strutture comunque complesse Condizioni al contorno pressoché qualsiasi

6 Analisi Matriciale ed Elementi Finiti La formulazione più utilizzata è quella detta a spostamenti imposti Il metodo FEM formulato in spostamenti imposti è un estensione del metodo matriciale delle strutture formate da elementi aste/travi Nella panoramica sulla analisi matriciale delle strutture si esamineranno due momenti: A. caratterizzazione degli elementi, ovvero formulazione matematica della cinematica in relazione alle condizioni di equilibrio B. costruzione della struttura, ovvero tecnica di assemblaggio, descrizione matematica dell appartenenza di un elemento alla struttura, soluzione del sistema di equazioni derivanti

7 Analisi Matriciale ed Elementi Finiti Notazione Tutte le variabili che definiscono il comportamento dell elemento sono indicate con lettere minuscole Tutte le variabili che definisco il comportamento dei punti della struttura sono indicate con le lettere maiuscole

8 Caratterizzazione dell elemento trave y z 1 2 L x Elemento trave: elemento ad asse inizialmente rettilineo, individuato da due nodi 1,2 collocati agli estremi attraverso cui l elemento scambia le azioni verso l esterno Ad esso è associato un sistema di riferimento locale (x coincidente con l asse della trave), y, z coincidenti con le direzioni principali di inerzia

9 Caratterizzazione dell elemento trave y z 1 2 L x A seconda dei carichi a cui è soggetto l elemento trave può comportarsi in maniera differente: Asta (puntone-tirante), se sollecitato solo da carichi assiali Barra di torsione, se sollecitato da soli momenti torcenti Trave inflessa, se sollecitato solo da sforzi di taglio e/o momenti flettenti

10 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) u 1 u 2 f u1 l f u2 f u1, f u2 sono le risultanti delle distribuzioni di forze all esterno che dall esterno sono applicate agli estremi (nodi) dell elemento u 1 e u 2 sono gli spostamenti ai nodi Condizione d equilibrio f 1 + f = 0 u u2

11 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) u 1 u 2 f u1 l f u2 Equazione differenziale d u dx = fu EA Integrando sulla lunghezza l, supponendo costanti la forza assiale e l area della sezione retta l u2 u1 = fu2 EA

12 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) u 1 u 2 f u1 l f u2 Pertanto il comportamento statico dell elemento è definito attraverso le sole informazioni al contorno che possono essere scritte in forma matriciale u1 fu1 = 1 1 l u 0 f EA 2 u2

13 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Moltiplicando la prima riga per l/ea, sommando alla seconda e sostituendo al posto della prima l u1 1 = EA fu 1 1 u2 l 2 0 fu EA EA 1 1 u1 f 1 = u 1 1 l u f 2 u2

14 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato assialmente (asta) Formulazione di rigidezza EA 1 1 u1 f 1 = u 1 1 l u f 2 u2 [ k]{ s} = { f} [ k] EA 1 1 = l 1 1 T { s} = { u u } 1 2 { f} { f f } = u 1 u 2

15 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato a torsione (barra di torsione) α x1 α x2 m x1 l m x2 Equazione d equilibrio m x1 + mx2 = 0 Equazione differenziale dα = dx mx GJ x con G modulo a taglio, J x momento polare di inerzia rispetto all asse x della trave

16 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato a torsione (barra di torsione) α x1 α x2 m x1 l m x2 Integrando e manipolando in maniera analoga a quanto fatto per l asta GJ l x 1 1 α x1 mx1 = 1 1 α m x2 x2

17 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) v 1, f v1 α z1 αz2 v 2, f v2 m z1 l m z2 Hp: Si considerano solo i carichi ed i vincoli agenti ortogonalmente alla linea dell asse in modo che gli spostamenti della struttura avvengono in direzione normale all asse indeformato Si considerano le sole deformazioni dovute al momento flettente e si trascura il taglio Le variabili cinematiche sono 4, misurabili ai nodi Così come sono 4 i carichi esterni applicati ai nodi

18 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) v 1, f v1 α z1 αz2 v 2, f v2 m z1 l m z2 Delle 4 relazioni che legano le 8 variabili, 2 sono equazioni d equilibrio f v1 + fv2 = 0 f l+ m + m = v1 z1 z2 0

19 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) 2 sono ricavate dall equazione differenziale dα = dx con E modulo elastico longitudinale, J z momento d inerzia trasversale mz EJ z Esprimendo m z, momento in una sezione generica, in funzione di f v1 e m z1 e integrando sulla lunghezza l dell elemento α z2 l αz1 = mz1 + EJ z z 2 l 2EJ 2 3 l l v2 v1 αz1l= mz1 + f 2EJ 6EJ z f v1 z v1

20 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) Le 4 equazioni formano il seguente sistema v l fv α m l l 2 z1 z1 = v2 2EJz EJz fv l 1 0 αz2 l l mz EJz 2EJz [ ]{ } = [ ]{ } [ ] a s b f con a singolare due volte

21 Caratterizzazione dell elemento trave Elemento trave sollecitato a flessione (trave inflessa) Moltiplicando ambo i membri per l inversa della matrice Si ottiene la scrittura di rigidezza k s = f [ ]{ } { } [ b] EJ z l l l l v1 fv1 α m 2 2 l l l l z1 z = v2 fv l l l l αz2 mz l l l l

22 Formulazione di rigidezza Un elemento è caratterizzato da un numero di equazioni n pari al numero di gradi di libertà cinematici Le n equazioni complessive, di cui L sono di equilibrio, legano tra loro 2n variabili: n forze generalizzate e n spostamenti generalizzati Separando spostamenti e forze possiamo sempre scrivere: [ a]{ s} = [ b]{ f} Se l elemento non è infinitamente rigido nessuna riga di Premoltiplicando per [ b] 1 arriviamo a scrivere [ k] [ k][ b] 1 = [ a] è detta matrice di rigidezza in quanto ad un aumento dei coefficienti corrisponde un aumento della rigidezza complessiva dell elemento [ b] è nulla.

23 Scrittura di deformabilità { s} = [ a] 1 [ b]{ f} { s} = [ d]{ f} [ d] = [ a] 1 [ b] N.B. In ambito strutturale si riesce sempre ad ottenere una formulazione in rigidezza mentre quasi mai si può ottenere quella in cedevolezza. Commento: Se esistesse una formulazione in cedevolezza, potrei pensare di inserire in {f} forze arbitrarie ed ottenere gli spostamenti: assurdo in quanto le condizioni di equilibrio non possono essere assicurate per forze arbitrarie Ponendo dei carichi equilibrati si potrebbe ottenere il campo di spostamenti: anche questo è assurdo in quanto per un assegnata configurazione di carichi esistono infiniti soluzioni in spostamenti che differiscono per un moto rigido

24 Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza La matrice di rigidezza può essere determinata direttamente attraverso il principio dei lavori virtuali o mediante combinazioni lineari a partire dalle equazioni di equilibrio e deformazione È possibile legare i quattro spostamenti misurabili agli estremi con le forze e momenti esercitati utilizzando un sistema di riferimento opportunamente scelto Le singole colonne godono di una interpretazione fisica

25 Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza a b -a b v1 fv1 b c b d α m z1 z1 = a b a b v2 fv2 b d b c αz2 mz2 12EJ z /l 3 6EJz/l 2 12EJ z /l 3 Moltiplicata per v 1 fornisce forze e momenti necessari per avere solo v 1 e tutti gli altri nulli v=1 6EJ z /l 2

26 Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza α=1 6EJ z /l 2 6EJ z /l 2 Seconda colonna 4EJ z /l 2EJ z /l 12EJ z /l 3 12EJ z /l 3 Terza colonna 6EJ z /l 2 6EJ z /l 2 v=1

27 Significato fisico dei coefficienti della matrice di rigidezza Sovrapponendo linearmente i quattro stati di deformazione distinti si può ottenere uno stato di deformazione qualsiasi Inoltre, è possibile determinare la matrice di rigidezza colonna per colonna imponendo ad ogni variabile cinematica nodale una variazione unitaria e determinando le forze ed i momenti nodali necessari per produrla Considerazioni analoghe per qualsiasi tipo di elemento

28 Sistemi di riferimento locale e globale La semplicità della formulazione dipende dalla scelta del sistema di riferimento. Sistema locale nel riferimento elemento nel quale le proprietà sono definite Sistema globale, utile per la struttura per la definizione complessiva delle forze agenti, nel quale il sistema locale del singolo elemento viene ruotato opportunamente Cambio di riferimento è un operazione lineare l

29 Sistemi di riferimento locale e globale L insieme degli spostamenti generalizzati nel sistema di riferimento locale xyz è ottenuto come combinazione lineare dell analogo campo nel riferimento XYZ y Y x u = lu + mv + nw x 1 X 1 X 1 X v = lu + mv + nw x 2 X 2 X 2 X w = lu + mv + nw x 3 X 3 X 3 X X Z z

30 Sistemi di riferimento locale e globale In notazione matriciale { u} = [ R]{ u} x { f} = [ R]{ f} x X X con [ R] ortogonale 1 [ R] = [ R] T nel caso bidimensionale l m R l m [ ] =

31 Sistemi di riferimento locale e globale Considerando separatamente i due estremi della trave { s1} = [ R1]{ s } x 1 { s } = [ R ]{ s } 2 x 2 2 X X { } { } { } { } s1 R1 0 s1 = 0 s R s 2 x 2 2 analogamente X { s} = [ R]{ s} x { f} = [ R]{ f} x X X Quindi, 1 [ k] [ R]{ s} = [ R]{ f } [ R] [ k] [ R]{ s} = { f} x X X x X X [ k] { s} = { f} X X X 1 [ k] = [ R] [ k] [ R] X T [ k] = [ R] [ k] [ R] X x x

32 Carichi nodali equivalenti Nella configurazione considerata fino ad ora i carichi esterni considerati sono solo quelli applicati ai nodi Esistono tuttavia una serie di carichi esterni che non possono essere inseriti direttamente nelle equazioni: carichi distribuiti effetti termici giochi o interferenze La strategia consiste nel sostituire tali carichi con carichi equivalenti agenti sui nodi: equivalente nel senso che producono i medesimi effetti ai fini del campo di spostamenti ma che produrranno risultati diversi all interno dell elemento [ k]{ u} = { f} + { f } e

33 Carichi nodali equivalenti Elemento asta: carico distribuito u 1 f u1 q u l u 2 f u2 Equazione d equilibrio fu1 + fu2 + ql u = 0 Equazione di deformazione 2 l l u u = f + q EA 2EA 2 1 u2 u

34 Carichi nodali equivalenti Elemento asta: carico distribuito u 1 f u1 q u l u 2 f u2 Scrittura di rigidezza EA 1 1 u1 fu1 ql 1 u = l u2 fu Vettore carichi nodali equivalenti ad un carico distribuito assialmente u u { f } e T ql ql = 2 2

35 Carichi nodali equivalenti Elemento asta: effetto termico Allungamento per aumento della temperatura u u =α lt * 2 1 m Scrittura di rigidezza EA 1 1 u1 fu1 1 * = + α m 1 1 EAT l u2 fu 2 1 Vettore carichi nodali equivalenti ad un carico distribuito assialmente T { f } { * * e = α EATm α EATm}

36 Carichi nodali equivalenti Elemento asta: montaggio con interferenza o gioco Si supponga che un elemento possa essere montato fra due punti di date coordinate solo allungandolo o accorciandolo sotto l'azione di forze assiali, inducendo uno stato di pretensione assiale Data la scrittura di rigidezza [ k]{ u} = { f} + { f } e Per calcolare il vettore dei carichi nodali equivalenti ad uno stato di pretensione, si consideri che in assenza di forze applicate dall'esterno agli estremi, gli spostamenti saranno tali da riportare la lunghezza dell'elemento al valore che essa ha quando l'elemento stesso è scarico

37 Carichi nodali equivalenti Elemento asta: montaggio con interferenza o gioco EA 1 1 u1 f 1 1 = u f + e 1 1 l u f f 2 u2 e2 Per f u1 = fu2 = 0 u1 = l1 u2 = l2 EA 1 1 l1 0 fe1 = l l 0 f 2 e2 f 1 1 e l = EA con l= l1 l2 fe2 l 1

38 Carichi nodali equivalenti Elemento asta: carico concentrato f u u 1 u 2 f u1 x* l f u2 fu1 + fu2 + fu = 0 l x* u u = f + f EA EA 2 1 u2 u e f u { f } T l x* x* = l l

39 Carichi nodali equivalenti Elemento trave inflessa: carico distribuito q v v 1 f v1 v 2 f v2 α z1 m z1 α z2 m z2 Eq. Equilibrio 0 = f + f + ql v1 v2 v α z2 Eq. congruenza 2 l l ql αz1 = m + + v z1 fv1 EJ 2EJ 6EJ z z z 3 ql 0 = f l + m + m 2 2 v v1 z1 z2 { f } e l l ql v2 v1 αz1l= m + f + v 2EJ 6EJ 24EJ 2 2 T l l l l = qv z1 v1 z z z