Esempi di stima della freccia elastica di elementi inflessi di sezione trasversale costante

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1 Esempi di stima della freccia elastica di elementi inflessi di sezione trasversale costante Nota. Si riportano, di seguito, alcuni esempi per la stima della freccia elastica di elementi inflessi (trascurando il contributo degli effetti taglianti). In particolare, viene proposto un esempio di calcolo con spiegazione della procedura analitica (metodo dei lavori virtuali) e, infine, due esempi che sfruttano la procedura rapida del Prof. Ettore Pozzo (vedere paragrafo ). ESEMPIO 1 (1). Si consideri la trave semplicemente appoggiata in figura 16.6, di luce L 6 m e con carico (caratteristico) uniformemente distribuito pari a p 4 t/m. Supponendo che il modulo elastico del conglomerato sia pari a dan / cm e che la sollecitazione flettente di prima fessurazione sia pari a M F 6, dancm, valutare sia la freccia elastica (breve periodo) che la freccia a tempo infinito, prescindendo per sicurezza dalle armature superiori ( 1 ) e da quelle di parete ( 1 ). 1 Esempio dal testo: Teoria e tecnica delle costruzioni vol. I; capitolo 14; Elio Giangreco; Liguori Editore. 995

2 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_6.tif Figura 16.6 Schema di carico e schematizzazione di calcolo della sezione trasversale della trave. In particolare, si valuti la freccia elastica istantanea f e assumendo una condizione di carico di breve durata tale che 1 1 ; e la freccia a tempo infinito f assumendo una condizione di carico di lunga durata tale che 1 0, 5, considerando un coefficiente di viscosità pari a 3. Per semplicità e per sicurezza, nelle calcolazioni, si trascurino le armature superiori compresse ( F f 1 ) e anche le armature di parete ( 1 ). SOLUZIONE. Calcolo estensione tratto non fessurato della trave (dagli appoggi) per una trave appoggiata: 996

3 M(z) p L p z z M F p L z F p z F. M(z F ) M F Sostituendo i valori numerici, si ottiene: (40 dan / cm)(600 cm) (6, dancm) z F (40 dan / cm) z F. Risolvendo l equazione si trova: z F 56, 38 cm. Calcolo freccia elastica (breve periodo). Risultati integrazione numerica dell equazione dei lavori virtuali Si utilizza l equazione dei lavori virtuali per il calcolo della freccia: f 1 Mds + m Mds ; s 1 s avendo discretizzato metà asse della trave (fino alla mezzeria) in conci di ampiezza tale che: in zona non s 1 8,19 cm z F / 3 ; in zona s 60,91 cm (L / ) z F 4 Inoltre, per il modulo elastico degli acciai, si è utilizzato: nei conci non fessurati: E f, dan / cm ;. nei conci fessurati: E feff 1 1 M F M I coefficienti di omogenizzazione impiegati sono: per le frecce istantanee (breve periodo): n eff E feff ; E f eff E f ( ). eff per le frecce a tempo infinito: n eff eff 1 +. Per ottenere i valori riassunti nelle tabelle 16.6 e 16.7 (vedere più avanti), i valori medi dell asse neutro sono stati calcolati partendo dalla nota equazione generale (con n n eff ): b x m + n eff F f (x m h ) n eff F f (h x m ) b (H x m ) 0. In particolare, sempre per sezione rettangolare, ma con semplice armatura ( F f 0 ), si sono utilizzate le espressioni: b H + n nei conci non fessurati ( 1 ): x m eff F f h b H + n eff F, f M M F ; x n F eff f b h nei conci fessurati ( 0 ): b n eff F f M > M F. Infine, una volta calcolato il momento d inerzia della sezione reagente J m (con gli acciai omogenizzati attraverso il coefficiente n eff ), si sono utilizzate le equazioni: 997

4 Zona: i cm M cm x m ; J m fm M J m (h x m ) ; m 1 + cm fm. R m h I risultati delle calcolazioni, eseguite ad esempio con un semplice foglio elettronico del tipo Excel, sono riassunte nella tabella s i [cm] M [dancm] M [dancm] [dan/cm ] E f eff [dan/cm ] n eff cm fm ,1 x10 6 7, m [cm 1 ] 8,19 3,x , ,1 x10 6 7,97 0,056 x10 3 0,046 x10 3 0,160 x ,38 6,19 x10 5 8, 85000,1 x10 6 7,97 0,107 x10 3 0,088 x10 3 0,304 x ,8 11,3 x , ,97 x ,4 0,64 x10 3 0,533 x10 3 1,44 x ,19 15,0 x , ,5 x10 6 8,84 0,371 x10 3 0,87 x10 3 1,873 x ,09 17,3 x , ,40 x10 6 8,43 0,433 x10 3 0,994 x10 3,9 x ,00 18,0 x , ,38 x10 6 8,33 0,454 x10 3 1,048 x10 3,346 x10 5 Tabella 16.6 Risultati calcolazioni (su metà trave) per la valutazione della freccia elastica (breve periodo). In particolare, sono stati calcolati i valori delle sollecitazioni flettenti M e M negli estremi dei 7 intervalli di discretizzazione; dove la sollecitazione flettente M è relativa al carico distribuito uniformemente, mentre M è il valore della sollecitazione flettente per un carico unitario con retta d azione verticale passante per il punto della trave di cui si vuole conoscere la freccia (z L/). Quindi, si utilizzeranno le formule: M(z) p L p z z ; M (z) z z L /. Integrando l equazione su tutta la trave: f 1 Mds + m Mds s 1 s tramite equazione alle differenze finite (metodo dei trapezi), utilizzando i seguenti passi di integrazione: in zona non s 1 8,19 cm ; in zona s 60,91cm, si può scrivere: f e s 1 ( m M + m3 M 3 )+ 998

5 Zona: i s ( m3 M 3 + m4 M 4 + m5 M 5 + m6 M 6 + m7 M 7 ). Sostituendo, quindi, i valori riassunti in tabella 16.6 nella suddetta equazione, in funzione dei valori relativi ai 7 intervalli d integrazione presenti, si ha: f e 8,19( 0,160 14,09 + 0, 304 8,19) ,91(0, 304 8,19 + 1,44 58,64+ 1,873 89,09+ +,9 119,55 +, ,00)10 5 0, 84 cm. Calcolo freccia a tempo infinito. Si assume, quindi, 1 0, 5 (carico di lunga durata) e 3 (effetti viscosi di lungo periodo). In questo modo, risulta:,eff (85000 dan / cm ) 7150 dan / cm. 4 Risulta, quindi: n eff E E f,eff f,eff,eff (7150daN / cm ). Eseguendo, nuovamente tutte le calcolazioni si arriva a scrivere la tabella s i [cm] M [dancm] M [dancm] eff [dan/cm ] E f eff [dan/cm ] n eff cm fm ,1 x10 6 9, m [cm 1 ] 8,19 3,x , ,1 x10 6 9,47 0,194 x10 3 0,14 x10 3 0,498 x ,38 6,19 x10 5 8, 85000,1 x10 6 9,47 0,369 x10 3 0,36 x10 3 0,947 x ,8 11,3 x , ,46 x ,53 0,79 x10 3 0,690 x10 3,18 x ,19 15,0 x , ,9 x10 6 3,15 0,986 x10 3 0,980 x10 3 3,07 x ,09 17,3 x , ,4 x ,46 1,39 x10 3 0,148 x10 3 3,573 x ,00 18,0 x , ,3 x ,9 1,190 x10 3 1,03 x10 3 3,739 x10 5 Tabella 16.7 Risultati calcolazioni (su metà trave) per la valutazione della freccia elastica (lungo periodo). Sempre utilizzando l equazione alle differenze finite dei trapezi, si ha: f s 1 ( m M + m3 M 3 )+ + s ( m3 M 3 + m4 M 4 + m5 M 5 + m6 M 6 + m7 M 7 ). Sostituendo, questa volta, i valori riassunti in tabella 16.7, si ha: f 8,19( 0,498 14,09 + 0,947 8,19) ,91(0, 498 8,19 +,18 58,64 + 3,07 89, , , 55+ 3, , 00) ,38 cm. Risulta, infine: 999

6 f f e 1, 38 cm 1,64. 0,84 cm ESEMPIO. Sia data la trave semplicemente appoggiata di luce L 5,0 m a sezione rettangolare costante, schematizzata in figura Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_7.tif Figura 16.7 Schema di carico e schematizzazione di calcolo della sezione trasversale della trave. Supponendo che la trave sia stata confezionata con un conglomerato C0/5 e con barre ad aderenza migliorata, si determini la freccia elastica nella sezione di mezzeria quando la trave sia caricata con due carichi concentrati di intensità caratteristica pari a P 1 P 15 kn. Si trascuri, per semplicità, il peso proprio della trave stessa. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f ck 00 dan / cm (tab. 9.3_b); f ctd (SLE ) f ctk 15,47 dan / cm (tab. 9.3_b). 1000

7 Calcolo modulo elastico del conglomerato (si utilizza la relazione 6. al paragrafo 6.7): sec [N / mm 3 ] 9500 f ck [N / mm 3 ] (0 N / mm ) N / mm. Calcolo grandezze geometriche sezione. Adottando la condizione t / 1 (ovvero, non distinguendo tra conglomerato compresso e teso in una sezione non fessurata), il momento d inerzia della sezione rettangolare, pensata senza armature longitudinali, risulta semplicemente: J c b H 3 (0 cm) (40 cm) cm Di conseguenza, l asse neutro in condizioni di flessione semplice retta si calcola semplicemente: x H (40 cm) 0 cm. Calcolo momento di prima fessurazione. In base a quanto riportato nella figura 16.7, il momento flettente agente sulla sezione di mezzeria è pari a M(L / ) 35 knm 3, dancm. Utilizzando l espressione: M F,1J f c ctk, (H x) e sostituendo i valori numerici, si ottiene: M F,1( cm 4 )(15, 47daN / cm ) [( 40 0) cm] dancm. Risulta, quindi: M (17300 dancm) F 0, M (3, dancm) Si calcola, di conseguenza: J ic J c 0, ,15 ( cm 4 ) 0,7 (0, 4949) 4 + 0, cm 4. (0,4949) Calcolo dell espressione matematica della freccia. Stante la schematizzazione adottata in figura 16.7, dalla teoria di Scienza delle Costruzioni si ha: Pa f e 4 J (3 L 4a ). Sostituendo i valori numerici (vedere figura 16.7) e, in particolare, a J il valore calcolato J ic, si ottiene (con P P 1 P 15 kn 1500 dan ): f e Pa (3 L 4 a ) 4 J ic (1500 dan)(175 cm) 4(88480 dan / cm )(36809 cm 4 ) [ 3(500 cm) 4(175 cm) ] 0,65 cm 6, 5mm. ESEMPIO 3. Sia data una trave a spessore (80 cm x 30 cm) perfettamente incastrata agli estremi e di luce L 6,0 m, schematizzata in figura

8 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 16)\Figura 16_8.tif Figura 16.8 Schema di carico e schematizzazione di calcolo della sezione trasversale della trave. Supponendo che la trave sia stata confezionata con un conglomerato C30/37 e con barre ad aderenza migliorata, si determini la freccia elastica nella sezione di mezzeria. SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali: conglomerato: f ck 300 dan / cm (tab. 9.3_b); f ctd (SLE ) f ctk 0,8daN / cm (tab. 9.3_b). Calcolo modulo elastico del conglomerato (si utilizza la relazione 6. al paragrafo 6.7): sec [N / mm 3 ] 9500 f ck [N / mm 3 ] (30 N / mm ) N / mm. Calcolo grandezze geometriche sezione. Adottando la condizione t / 1 (ovvero, non distinguendo tra conglomerato compresso e teso in una sezione non fessurata), il momento d inerzia della sezione rettangolare, pensata senza armature longitudinali, risulta semplicemente: J c b H 3 (80 cm)(30 cm) cm Di conseguenza, l asse neutro in condizioni di flessione semplice retta si calcola semplicemente: 100

9 x H (30 cm) 15 cm. Calcolo momento di prima fessurazione. In base a quanto riportato nella figura 16.7, il momento flettente agente sulla sezione di mezzeria è pari a M(L / ) 76, 5kNm 7, dancm. Utilizzando l espressione: M F,1J f c ctk, (H x) e sostituendo i valori numerici, si ottiene: M F,1( cm 4 )(0,8daN / cm ) [(30 15) cm] dancm. Risulta, quindi: M ( dancm) F 0,6680. M (7, dancm) Si calcola, di conseguenza: J ic J c 0, ,15 0,15 ( cm 4 ) 0,7 (0,6680) cm 4. (0, 6680) Calcolo dell espressione matematica della freccia. Stante la schematizzazione adottata in figura 16.8, dalla teoria di Scienza delle Costruzioni si ha: P L3 f e 384 J + q L J. Sostituendo i valori numerici (vedere figura 16.8) e, in particolare, a J il valore calcolato J ic, si ottiene (con P 9000 dan e con q 6 dan / cm ): f e PL3 q L J ic 384 J ic f e (9000 dan )(600 cm)3 + (6 dan / cm )(600 cm) ( dan / cm )(65508 cm 4 ) 0,58 cm 6mm. OSSERVAZIONI. In generale, a causa degli effetti differiti, la deformata elastica viene col tempo incrementata da componenti tutt altro che trascurabili, tra cui quelle di origine viscosa. Tale fenomeno è influenzato da diversi fattori (temperatura, quantità di armatura compressa, superfici esposte, età del conglomerato al momento del carico, entità dei carichi permanenti) e fa si che a tempo teoricamente infinito (nel lungo periodo) il valore finale delle frecce risultino alquanto maggiori rispetto a quella elastica del breve periodo (anche oltre il doppio). Volendo, quindi, procedere con relazioni matematiche il più possibile semplificate, si ritiene utile riportare all attenzione una piccola formula riportata nel testo: Teoria e tecnica delle strutture (vol. II) di Ettore Pozzo (). Considerando, quindi, una certa approssimazione, la deformata finale può essere semplicemente espressa dalla relazione: f f e ; μ f dove: Vedere particolari in bibliografia. 1003

10 μ f F f F c è la percentuale delle sole armature compresse rispetto all intera sezione di solo conglomerato; il parametro assume i seguenti valori in funzione del tempo in cui si vuole stimare la freccia: per un tempo t 5 anni 1,4 per un tempo t 1 anno 1, per un tempo t 0, 5 anni 1 per un tempo t 3 mesi. Ad esempio, volendo valutare velocemente l ordine di grandezza della freccia a tempo infinito (quindi, t 5 anni ), si assume:. In base a quanto riportato in figura 16.8, si calcola: μ f F F f f F c b H 4(3,14 cm ) 0,0053. (80 cm)(30 cm) Si ottiene, quindi: f 1, μ f 1+ 50(0,0053) f e 1004