APPENDICE 6 DIAGRAMMI DI SOLLECITAZIONI FLETTENTI SULLE PIASTRE (1)

Transcript

1 APPENDICE 6 DIAGRAMMI DI SOLLECITAZIONI FLETTENTI SULLE PIASTRE (1) Soluzione esatta. Si riportano, di seguito, i massimi valori delle sollecitazioni flettenti della risoluzione rigorosa di piastre rettangolari isotrope, con spessore s p cost, per differenti condizioni di vincolo lungo i lati del perimetro (appoggio semplice indicato con tratteggio e incastro perfetto con campitura in colore scuro) e caricate da un carico q [forza /superficie] uniformemente distribuito su tutta la superficie l. La rigidezza flessionale (per una striscia di piastra di larghezza unitaria) risulta definita dall espressione: E s D p 12(1 2 ) E s p 12(1 0,20 2 ) E s p 11,52 avendo indicato con E il modulo elastico del conglomerato armato. In particolare, i valori dei momenti flettenti indicati nelle tabelle sono relativi a 0,20 (conglomerato armato). Indicando con l e con, rispettivamente, la dimensione della piastra lungo l asse e lungo l asse y, il calcolo dei valori massimi delle sollecitazioni flettenti avviene utilizzando le seguenti espressioni: sollecitazioni flettenti nel punto baricentrale m della piastra (riferite ad una striscia di piastra di larghezza unitaria): M m q l 2 M ym q l 2 sollecitazioni flettenti nei punti di estremità i agli incastri, sugli assi (riferite ad una striscia di piastra di larghezza unitaria): M i q l 2 i M yi q l 2 i Inoltre, la freccia massima nel punto baricentrale m è stimato mediante l espressione: q l f m 100 D. In particolare, i valori dei parametri,, i, i e sono riportati più avanti in forma tabellare, in funzione del valore del rapporto avendo indicato con la dimensione maggiore e con l la dimensione minore della superficie della piastra. Se necessario, i valori riportati nelle tabelle dovranno essere interpolati linearmente. In particolare, se il carico uniforme di superficie viene espresso in termini di q [dan / cm 2 ] e le lunghezze vengono espresse in cm, allora si calcolerà: M jm [dancm / cm] q l [dan / cm]l [cm]. j Analogamente, ponendo s p in cm e il modulo elastico E in termini di dan / cm 2, si calcolerà: f m [cm] q[dan / cm2 ]l [cm ] 100 D[daNcm]. 1 Dati presi da testo: Prontuario del Cemento Armato Ing. L. Santarella Hoepli. 325

2 Inserire figura: Disegni piastre\figura_1.tif Tabella I 1,0 22,60 22,60 2,60 1,1 19,35 22,30 2,060 1,2 16,90 22,30 1,775 1,3 15,15 22,50 1,566 1, 13,85 22,80 1,18 1,5 12,75 23,5 1,295 1,6 11,95 2,15 1,205 1,7 11,30 2,85 1,132 1,8 10,80 25,60 1,075 1,9 10,35 26,5 1,027 2,0 10,00 27,25 0,987 Inserire figura: Disegni piastre\figura_2.tif i Tabella II 1,0 27,25 32,60 11,90 3,33 1,1 2,35 33,80 10,91 3,033 1,2 22,50 35,70 10,25 2,761 1,3 20,85 37,70 9,75 2,650 1, 19,75 39,00 9,33 2,32 1,5 18,9 2,00 9,03 2,329 1,6 18,16,60 8,77 2,251 1,7 17,65 6,50 8,60 2,191 1,8 17,30 50,0 8,6 2,131 1,9 17,00 5,50 8,35 2,105 2,0 16,80 56,50 8,26 2,07 Inserire figura: Disegni piastre\figura_3.tif i Tabella III 1,0 32,60 27,25 11,90,367 1,1 26,5 25,55 10,91 3,53 1,2 22,15 2,75 10,17 2,957 1,3 19,05 2,10 9,62 2,519 1, 16,81 23,90 9,22 2,181 1,5 15,10 23,90 8,92 1,917 1,6 13,85 2,15 8,71 1,711 1,7 12,81 2,50 8,53 1,59 1,8 12,02 25,05 8,1 1,21 1,9 11,37 25,65 8,30 1,319 2,0 10,85 26,15 8,22 1,

3 Inserire figura: Disegni piastre\figura_.tif i i Tabella IV 1,0 6,60 38,30 18,28 16,65 6,10 1,1 36,50 36,50 15,3 15,20 5,089 1,2 32,00 36,00 13,56 1,0,232 1,3 28,20 36,20 12,20 13,85 3,655 1, 25,30 37,00 11,3 13,5 3,25 1,5 23,15 38,30 10,68 13,20 2,966 1,6 21,50 39,65 10,22 13,00 2,755 1,7 20,35 1,65 9,80 12,88 2,598 1,8 19,5 3,85 8,52 12,80 2,78 1,9 18,70 6,30 9,09 12,79 2,385 2,0 18,05 8,50 8,78 12,76 2,310 Inserire figura: Disegni piastre\figura_5.tif i i Tabella V 1,0 38,30 7,00 16,65 18,25 6,1 1,1 3,00 9,00 15,15 17,65 5,683 1,2 31,00 52,00 1,20 17,5 5,20 1,3 28,90 55,90 13,5 17,2,879 1, 27,5 60,20 13,00 17,35,650 1,5 26,5 6,90 12,70 17,57,86 1,6 25,65 70,00 12,5 17,60,36 1,7 25,10 75,20 12,25 17,6,272 1,8 2,70 80,00 12,10 17,65,202 1,9 2,0 8,70 12,03 17,66,16 2,0 2,15 91,00 12,00 17,67,102 Inserire figura: Disegni piastre\figura_6.tif i i Tabella VI 1,0 3,25 3,25 19,50 19,50 8,300 1,1 37,90 3,30 17,20 18,58 7,670 1,2 33,0 3,90 15,65 18,05 7,30 1,3 30,55 5,00 1,55 17,85 7,207 1, 28,65 7,15 13,76 17,60 7,20 1,5 27,15 9,25 13,20 17,52 7,293 1,6 26,25 51,80 12,82 17,50 7,8 1,7 25,50 5,90 12,51 17,50 7,652 1,8 2,95 58,80 12,30 17,50 7,891 1,9 2,55 60,60 12,16 17,50 8,158 2,0 2,25 63,30 12,06 17,50 8,0 327

4 Inserire figura: Disegni piastre\figura_7.tif i i Tabella VII 1,0 35,60 35,60 1,75 1,75,73 1,1 30,30 35,30 13,05 1,10 3,750 1,2 26,60 35,85 11,82 13,58 3,272 1,3 2,00 37,00 10,93 13,25 2,95 1, 22,15 38,50 10,25 13,06 2,710 1,5 20,80 0,30 9,72 12,95 2,50 1,6 19,70 2,0 9,36 12,85 2,18 1,7 18,90,65 9,05 12,78 2,320 1,8 18,30 6,90 8,82 12,73 2,250 1,9 17,82 9,50 8,63 12,72 2,190 2,0 17,0 52,0 8,7 12,70 2,1 Inserire figura: Disegni piastre\figura_8.tif i Tabella VIII 1,0 6,30 31,65 1,35 5,016 1,1 36,25 28,65 12,70 3,766 1,2 29,10 26,90 11,52 2,832 1,3 2,15 25,60 10,66 2,13 1, 20,75 2,70 10,00 2,032 1,5 18,05 2,31 9,53 1,759 1,6 16,11 2,20 9,17 1,556 1,7 1,65 2,25 8,81 1,0 1,8 13,50 2,50 8,68 1,287 1,9 12,57 2,90 8,52 1,195 2,0 11,82 25,38 8,0 1,123 Inserire figura: Disegni piastre\figura_9.tif i Tabella IX 1,0 31,65 6,30 1,35 5,016 1,1 29,00 51,10 13,51,656 1,2 27,60 56,70 13,00,13 1,3 26,50 61,00 12,63,23 1, 25,70 65,80 12,36,120 1,5 25,10 71,80 12,16,030 1,6 2,65 78,0 12,05 3,960 1,7 2,35 85,30 11,96 3,906 1,8 2,15 91,00 11,91 3,863 1,9 2,00 95,60 11,88 3,830 2,0 23, ,00 11,87 3,

5 ESEMPIO 1. Sia data una piastra rettangolare di cemento armato di spessore costante s p 15 cm e di dimensioni l 2,0 m,,0 m. La piastra sia il fondo di un serbatoio di liquido con delle pareti laterali di modesta rigidezza. Tale piastra sia, quindi, schematizzabile come incernierata lungo i quattro lati del perimetro (vedere tabella I). Supponendo che il carico permanente e variabile di progetto è stato stimato complessivamente (comprendendo anche il peso proprio della soletta stessa) pari a q u 3,0t/ m 2 0,30 dan / cm 2, valutare le sollecitazioni flettenti di calcolo nel punto centrale m della piastra, lungo le direzioni e y. Ipotizzando, infine, che in condizioni di carico quasi permanenti la piastra è sollecitata da un carico complessivo uniforme pari a q e 1,7 t/ m 2 0,17 dan / cm 2 (comprendendo anche il peso proprio della soletta stessa), valutare la freccia nel punto centrale m della piastra nel breve periodo e nel lungo periodo. Si assuma un conglomerato R ck 25 e, per un primo calcolo spedito, un valore del modulo elastico efficace E ceff pari a circa il 0% del modulo elastico iniziale: E ceff 0, E c. Per una stima orientativa del valore del modulo elastico iniziale E c del conglomerato, si utilizzino i dati riportati nella tabella 6.2a. SOLUZIONE. In base ai dati riportati in tabella 6.2a (vedere paragrafo 6.7), per un conglomerato R ck 25 si può assumere un valore del modulo elastico iniziale pari a: E c dan / cm 2. Il rapporto tra i lati dei bordi della piastra è: (,0 m)/(2,0 m) 2,0. Si utilizzano, quindi, i dati riportati nella tabella I (qui di seguito riportata, per comodità di lettura): Inserire figura: Disegni piastre\figura_1.tif Tabella I 1,0 22,60 22,60 2,60 1,1 19,35 22,30 2,060 1,2 16,90 22,30 1,775 1,3 15,15 22,50 1,566 1, 13,85 22,80 1,18 1,5 12,75 23,5 1,295 1,6 11,95 2,15 1,205 1,7 11,30 2,85 1,132 1,8 10,80 25,60 1,075 1,9 10,35 26,5 1,027 2,0 10,00 27,25 0,987 Le sollecitazioni di progetto, risultano funzione dei valori dei parametri e letti in corrispondenza al valore 2,0. Si ha, quindi (per b 1 cm): M m q 2 u l (0,30 dan / cm2 )(200 cm) 2 10, dancm / cm M ym q 2 u l (0,30 dan / cm2 )(200 cm) 2 1 dancm / cm. 27, 25 Rapportando i precedenti valori delle sollecitazioni flettenti al metro di larghezza della piastra, si ha (per b 100 cm): M m q 2 u l 1200 dancm / cm dancm / m M ym q l 2 u 1 dancm / cm 100 dancm / m. Intanto la rigidità flessionale per unità di larghezza della piastra, si calcola: 329

6 nel breve periodo: 3 3 E D breve c s p 12(1 2 ) E c s p 12(1 0,20 2 ) (28500 dan / cm2 )(15 cm) 3 8, dancm 11,52 nel lungo periodo E ceff 0, E c : D lungo E 3 ceff s p 12(1 2 ) 0, E s 3 c p 12(1 0,20 2 ) 0, (28500 dan / cm2 )(15 cm) 3 3, dancm. 11,52 Assumendo, in condizioni di stato limite di esercizio, un carico complessivo pari a q e 1,7 t/ m 2 0,17 dan / cm 2 nel breve periodo, si calcola: nel breve periodo: (breve) f m [cm] q e[dan / cm 2 ]l [cm ] 100 D breve [dancm] (0,17)(200) 0,33 cm mm 100 (8, )0,987 nel lungo periodo: (lungo) f m [cm] q [dan / e cm2 ]l [cm ] 100 D lungo [dancm] (0,17)(200) 0,86 cm 9mm. 100 (3, )0,987 Risultando un rapporto tra le frecce pari a: (lungo) f m (9mm) (breve) f m (mm) 2,25. Nota. In questo esempio non è stata imposta alcuna limitazione sulle frecce d inflessione, avendo imposto a priori lo spessore complessivo della piastra ( s p H 15 cm). In particolare, volendo imporre una freccia limite in condizioni di stato limite di esercizio ( f m ma ), si deve verificare anche che lo spessore della piastra sia sufficientemente grande (stato limite di esercizio q q e ): f m ma q e l 100 D * D * q e l 100 f m ma s p D* 12(1 2 ) 3. E OSSERVAZIONI. Volendo stimare molto velocemente il quantitativo di armatura in funzione delle sollecitazioni flettenti calcolate in condizioni di stato limite ultimo, si esegue la verifica per sezione rettangolare piena con armatura semplice tesa, utilizzando le seguenti formulazioni (vedere anche quanto riportato nell osservazione dell esempio 1 al paragrafo ): h > M Sd 0,18 b f cd M F f Sd 0,87 h f yd In particolare, verificando l altezza utile sul massimo momento flettente, si ha: h 11 cm > { } 0,18 b f cd ma M m M ym (1200 dancm) 8cm 0,18 (1cm)0, (250 dan / cm 2 ) avendo assunto orientativamente un altezza utile pari a: h H h (15 cm) (cm) 11 cm. Risultando la verifica positiva, le armature necessarie in zona tesa si calcolano: per trazioni (sull intradosso della piastra) parallelamente alla direzione dell asse : M F f m ( dancm / m) 0,87 h f yd 0,87 (11 cm)(3700 dan / cm 2 ) 3,39 cm2 / m. Per trazioni (sull intradosso della piastra) parallelamente alla direzione dell asse y: 330

7 M F fy ym (100 dancm / m) 0,87 h f yd 0,87 (11 cm)(3700 dan / cm 2 ) 1,25 cm2 / m avendo utilizzato, in prima approssimazione, per gli acciai ad aderenza migliorata il valore della resistenza di calcolo f yd 3700 dan / cm 2. Si dispongono, quindi, in zona tesa (sull intradosso della piastra): gli assi delle barre parallelamente alla direzione dell asse e con interasse sistemato procedendo lungo la direzione y, in ragione di: 110 / / m 3,93 cm 2 / m > 3,39 cm 2 / m gli assi delle barre parallelamente alla direzione dell asse y e con interasse sistemato procedendo lungo la direzione, in ragione di: 16 / / m 1,1 cm 2 / m > 1,25 cm 2 / m. Si provvederà inoltre a sistemare in zona compressa (in vicinanza dell estradosso della piastra a contatto con il liquido) una rete elettrosaldata del diametro 6 e con maglie 20 cm 20 cm. Anche per tenere in considerazione gli sforzi taglianti (2), agli incastri con le pareti verticali, invece, si provvederà a piegare 2 barre del 10 in direzione e due barre 6 in direzione y, in modo che vengano anche assorbiti i momenti flettenti negativi avendo supposto per sicurezza un vincolo di incastro perfetto lungo tutti i lati del perimetro della piastra (vedere tabella VI): Inserire figura: Disegni piastre\figura_6.tif i i Tabella VI 1,0 3,25 3,25 19,50 19,50 8,300 1,1 37,90 3,30 17,20 18,58 7,670 1,2 33,0 3,90 15,65 18,05 7,30 1,3 30,55 5,00 1,55 17,85 7,207 1, 28,65 7,15 13,76 17,60 7,20 1,5 27,15 9,25 13,20 17,52 7,293 1,6 26,25 51,80 12,82 17,50 7,8 1,7 25,50 5,90 12,51 17,50 7,652 1,8 2,95 58,80 12,30 17,50 7,891 1,9 2,55 60,60 12,16 17,50 8,158 2,0 2,25 63,30 12,06 17,50 8,0 Si calcola, agli incastri (per trazioni sull estradosso della piastra): M i q 2 u l (0,30 dan / cm2 )(200 cm) dancm / cm dancm / m i 12,06 M yi q l 2 (0,30 dan / cm2 )(200 cm) dancm / cm dancm / m i 17, 50 Si ha, quindi: per trazioni (sull estradosso) parallelamente alla direzione dell asse : M F fi i (99500 dancm / m) 0,87 h f yd 0,87 (11 cm)(3700 dan / cm 2 ) 2,81 cm2 / m. Per trazioni (sull estradosso) parallelamente alla direzione dell asse y: F fyi M yi (68600 dancm / m) 0,87 h f yd 0,87 (11 cm)(3700 dan / cm 2 ) 1,9 cm2 / m 2 La verifica al taglio è stata volutamente omessa per ragioni di spazio e ordine di trattazione. 331

8 Avendo alzato in direzione due barre del 10 e in direzione y due barre 6 e avendo disposto una rete eletrosaldata di diametro 6 con maglie 20 cm 20 cm in entrambe le direzioni, risultano complessivamente in zona tesa (superiore): lungo : lungo y: 210 (barre rialzate) + 56 (rete elettrosaldata) (1,57 + 1,1) cm 2 2,98 cm 2 > 2,81 cm (0,57 + 1,1) cm 2 1,98 cm 2 > 1,9 cm 2. (barre rialzate) (rete elettrosaldata) Soluzione semplificativa di Grashov. L ipotesi semplificativa proposta da Grashov (uno dei primi studiosi che si interessò al calcolo delle piastre) è quella di ammettere l uguaglianza delle frecce nella mezzeria delle strisce centrali della piastra. L ipotesi è evidentemente valida solo per le due strisce centrali e per piastra a vincoli simmetrici: non si tiene infatti conto delle interazioni fra strisce adiacenti (momenti torcenti, contrazione trasversale, ecc.). C è da dire, però, che l ipotesi per quanto grossolana conduce a risultati sufficientemente approssimati. Secondo tale modello, detto con q [forza /superficie] il carico uniformemente distribuito sulla superficie della piastra rettangolare (o quadrata) di dimensioni l e, si definisce stesa di carico uniforme q (che interessa la striscia centrale in direzione ) il seguente valore del carico: l q q y K l + l. y Infine, si definisce stesa di carico uniforme q y (che interessa la striscia centrale nella direzione perpendicolare y) il seguente valore del carico: q y q q. Come illustrato nella figura sottostante, a ciascuna delle due strisce centrali (di larghezza unitaria) compete un carico uniforme: q y lungo la direzione, q lungo l. Inserire figura: Disegni piastre\figura_10.tif Il calcolo delle sollecitazioni flettenti agli estremi e in mezzeria della piastra si calcolano ragionando in termini di strisce di piastra, trattate nel calcolo analogamente a delle travi di larghezza unitaria. I valori del parametro K si scelgono in funzione dello schema di vincolo adottato sui bordi della piastra (vedere figura riportata più avanti). Ad esempio, per una piastra incastrata sui due bordi l, una volta valutato il carico q y [dan / cm 2 ], agli incastri risulterà: M y 1 12 q y l 2 y mentre in mezzeria, sarà: M y+ 1 2 q y l 2 y, coerentemente con il modello di trave perfettamente incastrata agli estremi (vedere paragrafo D.5 del prontuario). Invece, se la medesima piastra risulta incernierata (o appoggiata) sui due bordi, il momento flettente in mezzeria sarà dato: 332

9 M q l 2, e sarà nullo ai bordi lungo, coerentemente con lo schema di trave semplicemente appoggiata (vedere paragrafo D.2 del prontuario). Per le altre condizioni di vincolo agli estremi di una trave (ad esempio, incastro-appoggio, incastro-estremo libero, ecc.) si faccia riferimento ai diagrammi delle sollecitazioni riportati al paragrafo D del prontuario. Le figure seguenti illustrano quanto detto. Inserire figura: Disegni piastre\figura_11.tif 333

10 Inserire figura: Disegni piastre\figura_12.tif Illustrazione ripresa dal testo: Corso di Costruzioni 3 Tecniche dei sistemi strutturali S. Di Pasquale C. Messina L. Paolini B. Furiozzi Le Monnier. 33

11 ESEMPIO 2. Si abbia una piastra rettangolare di dimensioni l 2,0 m e,0 m, sottoposta ad un carico distribuito uniformemente su tutta la sua superficie pari a q 2,0t/ m 2 0,20 dan / cm 2. Si supponga che la piastra sia così vincolata ai bordi: appoggiata sui bordi incastrata su un bordo l libera nel rimanente bordo l. Si calcolino i carichi che interessano le due strisce centrali della piastra, secondo il metodo di Grashof e le relative sollecitazioni flettenti sulla piastra. SOLUZIONE. Dall esame della figura in alto, si deduce che lo schema di vincolo imposto è quello relativo al valore di K 5/17 0,29. Si calcola, quindi: l q q y K l + l (0,20 dan / cm) (00 cm) 0,196 dan / cm. y 0,29 (200 cm) + (00 cm) Si calcola, per semplice differenza: q y q q (0,20 dan / cm 2 ) (0,196 dan / cm 2 ) 0,00 dan / cm 2. Le sollecitazioni flettenti sono: per trazioni inferiori sull intradosso lungo la direzione dell asse e al centro della piastra: M q l (0,196 dan / cm2 )(200 cm) dancm / cm per trazioni superiori all estradosso lungo la direzione dell asse y e nel bordo incastrato (schema di incastro-estremo libero: mensola): M y 1 2 q l 2 y y 0,5 (0,00 dan / cm 2 )(00 cm) dancm / cm. Le corrispondenti sollecitazioni flettenti, rapportate al metro di larghezza della piastra, sono: M q l dancm / m M y 1 2 q l 2 y y dancm / m. OSSERVAZIONI. È importante precisare che, nel caso di solaio a getto pieno, il comportamento statico può essere a trave o a piastra. In particolare, il rapporto fra le due dimensioni planimetriche l e del solaio pieno implicherà un comportamento a trave quando uno dei lati è alquanto superiore all altro mentre, quando i due lati e l e del solaio pieno hanno dimensioni paragonabili o uguali fra loro, il comportamento statico del solaio è a piastra. In linea di massima, un solaio pieno presenta un comportamento a piastra se, detta con la dimensione massima in pianta e con l la rimanente dimensione, risulta: 1,0 2,0. l Nei casi particolari in cui > 2,0, passando da 2,0 a valori maggiori di 2,0, si attenua il comportamento a piastra e il solaio pieno può essere schematizzato staticamente con comportamento a trave : travi affiancate di larghezza unitaria su una luce pari a l. In realtà, gli schemi proposti non hanno confini ben delimitati: ad esempio, un solaio a nervature parallele su pianta quadrata avrà un comportamento non chiaramente precisabile e sarà compito del progettista realizzarlo a nervature incrociate compatibilmente con le disponibilità finanziarie e dei materiali in commercio, per una chiarezza di comportamento strutturale correlata alla forma in pianta. Altrettanto può dirsi per l eventuale carenza dei vincoli, come può accadere per un solaio su pianta quadrata libero sui lati opposti, il cui comportamento risulta così più vicino a quello a trave che a piastra. 335

12 Quanto appena osservato, ovviamente, si può estendere anche a generiche solette di conglomerato armato comunque caricate. 336