SOLUZIONI. Con riferimento alla trave reticolare rappresentata in figura, determinare gli sforzi nelle aste. Equilibrio alla rotazione intornoa Q :

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1 COSTRUZIOI I ACCIAIO: TIPOLOGIE STRUTTURALI SOLUZIOI Esercizio 1 Con riferimento alla trave reticolare rappresentata in figura, determinare gli sforzi nelle aste Dati geometrici h =0.80m L=1.50m 0.80 arctg.49 rad h P/ P/ P P P nodo A 9 L L L L Azioni esterne (valori di calcolo) P=10 k Determinazione degli sforzi nelle aste Utilizzando il metodo delle sezioni di Ritter: 0.80 Q 5 K 7 0 K 6 P 1.50 Equilibrio alla rotazione intorno a P: k 0.80 Equilibrio alla traslazione verticale : sen k sen Equilibrio alla rotazione intornoa Q : 6

2 5 K Q 10 K 9 Equilibrio alla rotazione intorno a P: K P k =0 Equilibrio alla traslazione verticale: 4 sen α = 5 4= 5/0.4706= 10.6 k Equilibrio alla rotazione intorno a Q: = k 0.80 Per quanto riguarda l asta di parete 1,3 e 5 si utilizza il metodo dei nodi: Equilibrio alla traslazione verticale: 5+10= 0 10 K 9 9 5= -10 k 5 1 P /. sen(8) 1. sen(8) P / 1 0k 3 P 4. sen(8) 3 4. sen(8) P 3 15k

3 Esercizio Con riferimento alla capriata metallica in figura sollecitata da forze di progetto F d = 50 k applicate in corrispondenza dei nodi dei correnti superiori, si determini la massima sollecitazione nei seguenti elementi: (a) corrente superiore compresso, (b) corrente inferiore teso, (c) aste di parete verticali, (d) aste di parete inclinate 4 50 K A 50 K 50 K 3 50 K K 50 K K R K K R Si procede al calcolo degli sforzi nelle aste con il metodo delle sezioni di Ritter: R 00 k sin R 5 equilibrio alla traslazione verticale k [compressione] sin30 cos equilibrio alla traslazione orizzontale k [trazione]

4 equilibrio alla rotazione intorno al nodo in cui convergono le aste13, 6, 7 50 R k [compressione] equilibrio alla 6 co30 13 tralazione verticale R k[compressione] 6 cos 30 sin k [trazione] 6 sin 30 equilibrio alla tralazione orizzontale Per quanto riguarda la determinazione dello sforzo nell asta 5 si utilizza il metodo dei nodi: 50 sin sin30 6 sin30 5 Riprendendo il metodo delle sezioni di Ritter: 3 R R sin k [compressione] co30 sin k [trazione] equilibrio alla rotazione nel nodo in cui convergono le aste14, 8, 9 8 cos tan 1 equilibrio alla traslazione verticale.3 equilibrio alla traslazione orizzontale Per quanto riguarda la determinazione dello sforzo nell asta 7 si utilizza il metodo dei nodi:

5 50 7 sin30 sin30 5 k [trazione] 3 8 cos 41 7 Riprendendo il metodo delle sezioni di Ritter: R sin k [compressione] R k [compressione] cos30 10 sin 30 sin k [trazione] cos 30 equilibrio alla traslazione verticale equilibrio alla traslazione orizzontale equilibrio alla traslazione nel nodo in cui convergono le aste15, 10, 11 Per quanto riguarda la determinazione dello sforzo nell asta 9 si utilizza il metodo dei nodi: cos k [trazione] 4 sin 30 3 sin30

6 Ed, infine, per quanto riguarda la determinazione dello sforzo nell asta 11 si utilizza il metodo dei nodi: sin k [trazione] Esercizio 3 Un telaio in acciaio, soggetto a soli carichi verticali, ha campate di luce l=6.00 m. I valori caratteristici dei carichi permanenti e variabili che agiscono su ciascuna campata sono rispettivamente g k =0 k m -1 e q k =30 k m -1. Il telaio è realizzato saldando in officina a ciascuna colonna tratti di trave lunghi 80 cm e collegando poi in cantiere la parte restante di ciascuna trave (4.40 m) mediante bullonatura in grado di trasmettere solo taglio. Indica lo schema di calcolo e determina le caratteristiche di sollecitazione nella trave. Carichi agenti g k = 0 k/m q k = 30 k/m La combinazione di carico, nel caso sfavorevole è la seguente: Q d TOT = g k γ g+ q k γ q = 0x x1.5 = 71 k/m Geometria ella seguente figura è riportata la geometria della struttura individuata nel testo:

7 In particolare la struttura è costituita da pilastri a cui è saldata in officina una trave di lunghezza pari a 0.8 m, una volta in cantiere, questi elementi vengono collegati inbullonando una trave di lunghezza pari a 4.4 m agli estremi delle due mensole saldate. B: le dimensioni degli elementi strutturali e delle unioni è del tutto indicativa. Schema statico Lo schema di calcolo dal adottarsi in questo caso è il seguente: In particolare questo schema viene adottato sotto tre ipotesi: Pilastri molto più rigidi alla flessione nel piano del foglio rispetto alla trave; Si ipotizza che la saldatura ripristini la continuità tra gli elementi; Il collegamento bullonato nella trave si ipotizza che interessi solo l anima e quindi sono permesse rotazioni relative tra i tre elementi (testo) e quindi non è presente una trasmissione del momento flettente ma piuttosto solo del taglio. Dalle prime due ipotesi né si deduce che la trave può essere studiata separatamente ai pilastri vincolando gli estremi con degli incastri in modo tale da tener conto della continuità, mentre dalla terza ipotesi si ha che il collegamento bullonato è modellato come una cerniera. Soluzione schema statico La struttura può essere risolta scomponendola, in particolare è possibile considerare il tratto centrale BC come una trave appoggiata-appoggiata: Evidentemente la reazione agli appoggi è pari a:

8 Per cui si hanno i seguenti diagrammi del taglio e del momento flettente: 156. k k km Le due mensole restanti sono simmetriche quindi saranno sollecitate nello stesso modo, in particolare, oltre al carico distribuito su di esse agiranno anche le reazioni verticali calcolate per il tratto BC, ovvero: Imponendo l equilibrio alla traslazione verticale e dei momenti si determinano le reazioni all incastro:

9 Per cui le due mensole risultano sollecitate nel seguente modo: 13 k 156. k km Mettendo insieme i due risultati si ha che la sollecitazione nella trave è la seguente: 13 k 156. k km k -13 k km

10 Esercizio 4 Una passerella pedonale di larghezza a=3.60 m e lunghezza totale L=48 m è realizzata mediante un solaio con unica campata di luce a che scarica su travi in acciaio di lunghezza L/8 collegate tra loro mediante perni che realizzano delle cerniere perfette. Ciascuna delle due file di travi è sostenuta da un pilastro centrale e da cavi in acciaio (barre di sezione circolare) come mostrato in figura. I valori caratteristici dei carichi permanenti e variabili sul solaio sono rispettivamente g k=4. k m - e q k=5.0 k m -. Trascurando il peso proprio degli elementi strutturali, determina le caratteristiche della sollecitazione per verifiche allo stato limite ultimo facendo riferimento a due sole combinazioni di carico: una col carico variabile agente su tutte le campate della trave; l altra col carico variabile agente solo nelle campate poste a destra del pilastro. In particolare: a) calcola il massimo sforzo normale agente nei cavi in acciaio; b) disegna il diagramma del momento flettente nelle travi e determinane il valore massimo; c) disegna il diagramma del momento flettente nel pilastro e indica il valore massimo del momento flettente e dello sforzo normale, separatamente per le due condizioni di carico. travi in acciaio a pilastro in cemento armato PIATA (dimensione pilastri e travi non in scala) cavi in acciaio l = L/8 l = L/8 travi in acciaio pilastro in cemento armato VISTA LATERALE (solo linea d asse)

11 Prima condizione di carico: carico variabile agente su tutta la pensilina Su ogni trave grava il carico agente su metà pensilina. Quindi l area d influenza sarà: P d A B C D E Il valore del carico agente sulle campate della trave per la prima combinazione di carico è: a k Gd g k g Gd m a k Qd qk q Qd m k Pd Gd Qd m 10 1 arctg 9.05 sin arctg sin arctg sin carico permanente carico variabile

12 Y B 1 α 1 l X BC Le equazioni di equilibrio nel tratto AB impongono che la reazione verticale in A sia pari a: l Y A Pd 7k Per calcolare il valore dello sforzo normale di trazione nei cavi si può considerare che ogni cerniera di sospensione dell impalcato deve fornire una reazione verticale pari a: YB YC YD Pd l 144k da cui, detti αi gli angoli di inclinazione del cavo sull orizzontale si ha: Pd l i seni X BC YB ; tan1 10 X CD X BC YC 451.; tan X DE X CD YD 559. tan3 L inclinazione del cavo comporta anche l insorgere di una componente di sforzo normale nell impalcato che vale: Il massimo sforzo normale di trazione agisce sul cavo 1 ed è pari a: 1=97k elle campate della trave il momento flettente ha andamento parabolico come in figura ed è massimo in mezzeria, dove è pari a: pl M max 108km 8 Mfl= k m

13 Lo sforzo normale di compressione nel pilastro ha questo andamento: s fo rz i a g e n ti s u l p ila s tro X 1 = 5 9. X = 1 9 X 3 = Y i= i= 1,,3 g ra fic o d e llo s fo rz o a g e n te 8 8 k k k X D E = Y D E = k Y F = Seconda condizione di carico: carico variabile agente solo sulle campate a destra del pilastro Si considera ora una condizione di carico asimmetrica in cui i carichi variabili agiscono solo su una campata (quella di destra) mentre l altra (quella di sinistra)è soggetta solo ai carichi permanenti: campata dx: Pd1=Gd+Qd=4k/m; campata sx: Pd=Gd=10.5 k/m. Si calcolano le sollecitazioni della campata sinistra per la quale valgono le stesse considerazioni fatte nella condizione di carico precedente salvo ridurre il carico di progetto. Si ha: l YA Pd 31.8k; YB YC YD Pd l 63.6k Pd l 1 131k, 106k, k. sin 1 l YF ( PY d Y B A) 1008k X BC 114.5k, X CD 199.3k, X DE 47k tan 1 La reazione verticale in F vale:

14 Il momento flettente che agisce su pilastro è dato dall azione delle forze che provengono dai cavi e dalla trave: normale taglio momento 07.6k 415.k 6.8k 144.7k 51.9k 31.k 144.7km 396.6km 76.6k 894.km

15 Esercizio 6 Individuare le aste tese e le aste compresse nelle seguenti strutture reticolari (lo studente è libero di ipotizzare le dimensioni della capriata rispettando gli schemi in figura, considerando un carico costituito da forze verticali uniformi dirette verso il basso applicate ai nodi del corrente superiore): Le aste di colore blu sono compresse, mentre quelle di colore rosso sono tese a) c) e) b) d) Esercizio 7 Date le tre strutture reticolari in figura confrontarne il comportamento meccanico determinando, per ciascuna, se gli sforzi di compressione e di trazione nei correnti superiori ed inferiori sono crescenti, decrescenti o se si mantengono all incirca costanti, procedendo dagli appoggi verso il centro. a) b) c) Crescente verso il centro Costanti Decrescente verso il centro