CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 19/01/09

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1 CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 19/01/09 Quesito 1 (Punti 8) Data la travatura reticolare mostrata nella Figura 1, determinare le forze agenti in tutte le aste e le reazioni vincolari.

2 Calcolo reazioni vincolari esterne La struttura è esternamente isostatica. Per il calcolo delle reazioni vincolari esterne si impiegano le equazioni cardinali della statica. Si fissa preliminarmente un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e si traccia un diagramma di corpo libero sostituendo i vincolri con le relative reazioni vincolari incognite. Dalle Equazioni di equilibrio si ottiene (forze in KN, lunghezze in mm): X A := 0 Y A := 0 F C := 0 Given Rx = 0 ---> X A 15 + F C = 0 Ry = 0 ---> Y A + F C 5 15 = 0 MzA = 0 ---> F C = 0 X A Y A F C ( ) := Find X A, Y A, F C

3 Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in KN): X A = Y A = F C = Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero dell'intera struttura, con tutte le forze esterne applicate Calcolo delle forze normali nelle aste Il calcolo delle forze normali agenti nelle aste viene condotto con il metodo dei nodi. Nella procedura è possibile partire da un qualsiasi nodo in cui convergano non più di aste le cui forze normali siano incognite. Convenzionalmente, si assume per le forze normali incognite un verso corrispondente a quello di un'asta tesa. Nodo 6 Dall'equilibrio del nodo & si ottiene immediatamente: N 1 :=

4 Nodo 1 Sistema di equazioni N := 0 N 3 := 0 Given N N 3 N 3 + N cos π = 0 4 N sin π = 0 4. := Find( N, N 3 ) N = 15 N 3 = 1. Nodo 3 Sistema di equazioni N 4 := 0 N 7 := 0 Given N 7 N 4 N = 0 N = 0 := Find( N 7, N 4 ) N 7 = N 4 = 15.61

5 Nodo Sistema di equazioni N 5 := 0 N 6 := 0 Given N 5 N 6 N 5 + N 6 cos π 1. = 0 4 N 6 sin π = 0 4. := Find( N 5, N 6 ) N 5 = N 6 =.08 Nodo 4 Sistema di equazioni N 8 := 0 N 9 := 0 Given N 8 N 9 N cos π = 0 4 N sin π = 0 4 := Find( N 8, N 9 ) kn 4 N 9 N 8 N 8 = 6.1 N 9 = 10.6

6 Nodo 8 Sistema di equazioni N 11 := 0 N 1 := 0 Given N = 0 N = 0 N 11 N 1 := Find( N 11, N 1 ) N 11 = N 1 = Nodo 5 Sistema di equazioni N 10 := 0 Given N = 0 N 10 := Find( N 10 ) N 10 = 15 Verifica equilibrio in direzione Y N = 0

7 Verifica finale equilibrio nodo 7 Si verifica l'equilibrio del nodo 7, sotto l'azione di tutte le forze ad esso applicate, calcolando le risultanti in direzione "x" ed "y" e verificando la loro uguaglianza a cos π = sin π = 0 4

8 Quesito a (Punti 16) Dato il dispositivo mostrato in Figura, determinare le reazioni vincolari e l andamento delle caratteristiche di sollecitazione.. Figura

9 Calcolo delle reazioni vincolari La struttura è esternamente isostatica, per cui le reazioni vincolari possono essere valutate tramite le 6 equazioni cardinali della statica. A tale scopo, fissato preliminarmente un sistema di riferimento cartesiano generale "X-Y-Z", si procede in primo luogo a classificare i vincoli, sostituendoli quindi con le relative reazioni vincolari incognite. Si ottiene così lo schema di calcolo riportato nella Figura. p 0 := 1.5 Dalle Equazioni di equilibrio si ottiene (forze in KN, lunghezze in mm, momenti calcolati rispetto al polo A): X A := 0 Y A := 0 Z A := 0 M XA := 0 M YA := 0 T C := 0 Given R x = 0 ---> X A = 0 R y = 0 ---> Y A + p 0 7 T C sin π = 0 6 R z = 0 ---> Z A T C cos π = 0 6 MR xa = 0 ---> M XA p 0 4 p T C cos π 4 tan π = MR ya = 0 ---> M YA + T C cos π 3 = 0 6 MR za = 0 ---> T C sin π p = 0

10 X A Y A Z A M XA M YA T C ( ) := Find X A, Y A, Z A, M XA, M YA, T C Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in KN): X A = 0 Y A = 8.5 Z A = M XA = 1 M YA = T C = 4.5 Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero dell'intera struttura, con tutte le forze esterne applicate

11 Tracciamento diagrammi caratteristiche di sollecitazione Ai fini del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, si introduce la coordinata curvilinea ξ (origine nel punto A) e si fissa sulla generica sezione il sistema di riferimento corrente x-y-z per il calcolo della caratteristiche di sollecitazione, con l'asse z orientato nella direzione delle ξ positive e l'asse y verso il basso, come mostrato in figura Forza Normale La forza normale è data da: ξ := 0, xx( ξ) := 0 N( ξ) := if 0 ξ 4 0 otherwise (questa variabile fittizia ha il solo scopodi far comparire sui diagrammi la linea corrispondente al valore 0) N( ξ) xx( ξ) ξ Taglio T X T x. ( ξ) := 0 if 0 ξ cos π if 4 ξ otherwise 10 T x. ( ξ) xx( ξ) ξ

12 Taglio T Y T y. ( ξ) := 8.5 p 0 ξ if 0 ξ 7 0 otherwise 10 T y. ( ξ) xx( ξ) ξ Momento M X ξ M x. ( ξ) := ξ p 0 if 0 ξ 4 ( 7 ξ) p sin π ( 7 ξ) 6 if 4 ξ 7 0 otherwise 10 M x. ( ξ) xx( ξ) ξ

13 Momento M Y M y. ( ξ) := 4.5 cos π 3 if 0 ξ cos π ( 7 ξ) if 4 ξ otherwise M y. ( ξ) 7.5 xx( ξ) ξ Momento M Z M z. ( ξ) 4.5 sin π 3 := 3 p if 0 ξ 4 0 otherwise 1 M z. ( ξ) xx( ξ) ξ

14 Quesito b (alternativo al quesito a) (Punti 13) Data la struttura mostrata in Figura 3, determinare le reazioni vincolari e l andamento delle caratteristiche di sollecitazione. Fig. 3 Calcolo reazioni vincolari esterne La struttura è esternamente isostatica. Per il calcolo delle reazioni vincolari esterne si impiegano le equazioni cardinali della statica. Si fissa preliminarmente un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e si traccia un diagramma di corpo libero sostituendo i vincoli con le relative reazioni vincolari incognite.

15 Dalle Equazioni di equilibrio si ottiene (forze in N, lunghezze in mm, momenti calcolati rispetto al polo C): X C := 0 Y C := 0 Y D := 0 Given R x = 0 ---> X C = 0 R y = 0 ---> Y C + Y D = 0 MzC = 0 ---> Y D = 0 X C Y C Y D ( ) := Find X C, Y C, Y D Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in KN): X C = 0 Y C = 50 Y D = 50 Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero dell'intera struttura, con tutte le forze esterne applicate

16 Tracciamento diagrammi caratteristiche di sollecitazione Ai fini del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, si introduce la coordinata curvilinea ξ (origine nel punto A) e si fissa sulla generica sezione il sistema di riferimento corrente x-y-z, con l'asse z orientato nella direzione delle ξ positive e l'asse y come mostrato nella figura precedente. Nelle figure seguenti, i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono rappresentati per semplicità nella forma di diagramma cartesiano. Per comprenderli è sufficiente tenere presente che il punto C, ad esempio, corrisponde alla quota ξ=1500. Forza Normale La forza normale è data da: ξ := 01, xx( ξ) := 0 N( ξ) := 0 if 0 ξ if 750 ξ otherwise N( ξ) 0 xx( ξ) 000 Taglio T ξ T( ξ) := 3000 if 0 ξ ( ξ 750) if 750 ξ 1500 [ 1.5 ( ξ 750) + 50] if 1500 ξ 3000 [ 1.5 ( 3750 ξ) ] if 3000 ξ if 3750 ξ otherwise 4000 T( ξ) xx( ξ) ξ

17 Momento M M( ξ) := 3000 ξ if 0 ξ ( ξ 750) if 750 ξ ( ξ 750) + 50 ( ξ 1500) if 1500 ξ ξ) if 3000 ξ ( 4500 ξ) if 3750 ξ otherwise M( ξ) xx( ξ) ξ

18 Quesito 3 (Punti 3) Calcolare la posizione orizzontale x G del baricentro ed il valore del momento di inerzia rispetto all asse principale centrale Y della sezione mostrata in Figura 4. Fig. 4 Posizione del baricentro Per il calcolo dellla posizione orizzontale del baricentro è opportuno fare uso di un SR ausiliario, collocato come in figura. ( 40 10) 0 + ( 10 5) ( 45 5) 67.5 x G := ( 40 10) + ( 10 5) + ( 45 5) x G = 44.05

19 Momento attorno all'asse Y Il momento attorno all'asse centrale principale Y può essere valutato come somma del contributo delle diverse parti nelle quali può essere scomposta la figura. 1 J Y1 := ( 10 40) x G 0 ( ) 1 J Y := ( 10 5) x G 4.5 J Y3 := ( ) ( 45 5) 67.5 x G J Y := J Y1 + J Y + J Y3 ( ) J Y = mm 4

20 Quesito 4 (Punti 3) La sezione mostrata in Fig. 5 è soggetta ad una forza normale N=-180 kn. Calcolare quale valore massimo può essere assunto dai momenti flettenti M x ed M y (uguali tra loro) affinché il valore massimo (algebrico) della tensione normale sulla sezione stessa si mantenga =0. Fig. 5 Calcolo caratteristiche geometriche sezione Data la doppia simmetria, il baricentro della figura proposta si trova al centro dei due lati. H := 100 s p1 := 5 s p := 10 A 0 := HH H s p1 HH 3 J x0 := 1 ( ) ( H s p) ( H s p ) H s p1 1 ( ) 3 HH 3 J y0 := 1 ( H s p1 ) H s p ( ) 3 1 N 0 := H := 100

21 Calcolo del valore del momento richiesto Il punto della sezione nel quale si verifica la massima tensione (in senso algebrico) è quello indicato con A nella figura seguente. N 0 M max := H A J x0 J y0 M max =