CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 16/01/08

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1 CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 16/1/8 Quesito 1 (Punti 7) Data la travatura reticolare mostrata nella Figura 1, determinare: 1. le reazioni vincolari. le forze agenti nelle aste kn kn Fig. 1 Svolgimento Si riconosce immediatamente che le aste 4, 7 e sono soggette ad una forza normale nulla: N 4 := N 7 := N :=

2 Calcolo delle reazioni vincolari La struttura è esternamente isostatica. Fissato un SR cartesiano ortogonale, si sostituiscono i vincoli con le 3 reazioni vincolari incognite, ottenendo il seguente diagramma di corpo libero: kn kn := 1 := 1 := Given R x = ---> = R y = ---> 1 = MR x1 = ---> = ( ) := Find 6, 1, 1 6 = 1 = 1 = 7.

3 Si ottiene in tal modo il seguente diagramma finale di corpo libero con tutti i carichi esterni applicati alla struttura. 7. kn kn kn kn kn Forze agenti nelle aste. Si procede alla soluzione utilizzando il metodo dei nodi. Nodo 8 N 11 := N 13 := Given R x = ---> N 13. N 11 = R y = ---> N 11 = N 11 kn N 11 N 13 := Find( N 11, N 13 ) N kn N 11 = 7.71 N 13 = 7.

4 Nodo 7 Dalla considerazione del nodo 7 si vede subito che: N 1 := N 13 Nodo 6 N 8 := N 9 := Given R x = ---> 7. + N 9 = N 8 N 9 R y = ---> N 9 + N 8 = kn 6 7. kn N 8 N 9 := Find( N 8, N 9 ) N 8 =. N 9 = 3.36 Nodo N := N 6 := Given R x = ---> N 6 N = R y = ---> N N N 6 := N = Find( N, N 6 ) N kn 7.71 kn N = 3.3 N 6 =.1

5 Nodo 3 N := N 3 := Given R x = ---> N + = N 3 R y = ---> N N 3 := N. + N 3 = Find( N, N 3 ) N 3. kn kn N = 7.71 N 3 =. Nodo N 1 := Given R x = ---> N = R y = ---> N kn. 3.3 = OK. kn N 1 := Find( N 1 ) N 1 =.

6 Nodo 1 - Verifica finale equilibrio R x = ---> = OK 7. kn 1. kn 7.71 kn R y = ---> 7.71 = kn RIASSUNTO DEI RISULTATI N 1 =. N = 7.71 N 3 =. N 4 = N = 3.3 N 6 =.1 N 7 = N 8 =. N 9 = 3.36 N = N 11 = 7.71 N 1 = 7. N 13 = 7.

7 Quesito a (Punti 14) Dato la struttura spaziale mostrata in Figura a.1 determinare: 1. le reazioni vincolari. l andamento delle caratteristiche di sollecitazione nella trave A-B-C, scrivendone l espressione analitica in funzione di una opportuna coordinata presa lungo la fibra baricentrica e tracciandone il diagramma. Note: i punti D e C giacciono su un unico piano verticale (parallelo ad -Z ) i punti A, B, C giacciono su un unico piano orizzontale (parallelo ad - ) il tratto di trave A-B è parallelo all asse il tratto di trave B-C è parallelo all asse D cavo 4 C p z =. N/mm A B 3 Cerniera fissa (consente solo la rotazione attorno ad un asse parallelo all asse ) Z Fig. a

8 Calcolo delle reazioni vincolari La struttura è esternamente isostatica. Fissato un SR cartesiano ortogonale, si sostituiscono i vincoli con le 6 reazioni vincolari incognite, ottenendo il seguente diagramma di corpo libero: R C 4 C M ZA A Z A A p z =. N/mm M A A B 3 Z Dalle Equazioni di equilibrio si ottiene (forze in KN, lunghezze in m, momenti calcolati rispetto al polo A): A := kn A := Z A := M A := M ZA := R C := Given R x = ---> R y = ---> A = A + R C = R z = ---> Z A + R C. ( 3 + ) kn =. 3. MR xa = ---> kn 1. m + kn 3 m R C 3 m =.. MR ya = ---> M A + kn m R C. m = MR za = ---> M ZA + R C. m =

9 A A Z A M A M ZA R C ( ) := Find A, A, Z A, M A, M ZA, R C Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in kn e knm): A = kn A = kn Z A = 3.7 kn M A = kn m M ZA = kn m R C = kn Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero della trave A-B-C, con tutte le forze esterne applicate (per comodità, la reazione vincolare R C è stata scomposta nelle sue componenti lungo "" e lungo "Z") knm kn kn C kn knm 3.7 kn A ξ p z =. N/mm z x y B y z x 3 Z DIAGRAMMI CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE Ai fini del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, si introduce la coordinata curvilinea ξ (origine nel punto A, termine nel punto C, valore compreso tra e. m) e si fissa sulla generica sezione il sistema di riferimento locale x-y-z per il calcolo della caratteristiche di sollecitazione, la cui disposizione nei diversi tratti di trave è mostrata in figura. Si noti che, per semplificare la rappresentazione, i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono stati linearizzati. Ai fini di una più semplice interpretazione, si noti che i punti significativi indicati sulla figura corrispondono ai seguenti valori della coordinata curvilinea ξ: Punto A-> ξ=; Punto B -> ξ=3.; Punto C -> ξ=.

10 Forza Normale [kn] ξ :=,.1... (questa variabile fittizia ha il solo scopo di far comparire sui diagrammi la linea corrispondente al xx( ξ) := valore ) N( ξ) := if ξ 3 Tratto A-B otherwise Tratto B-C N [N] N( ξ) 4 xx( ξ) ξ Taglio T (in kn) T x. ( ξ) := if ξ 3 otherwise T x. ( ξ) xx( ξ) Taglio T (in kn) T y. ( ξ) := 3.7. ξ if ξ. otherwise ξ T y. ( ξ) xx( ξ) ξ

11 Momento M (in knm) M x. ( ξ) := 3.7 ξ. ξ if ξ 3 (. ξ). (. ξ) otherwise M x. ( ξ) xx( ξ) Momento M (in knm) M y. ( ξ) := if ξ 3 (. ξ) otherwise ξ 3 M y. ( ξ) xx( ξ) Momento M Z (in knm) M z. ( ξ) := if ξ 3 otherwise ξ M z. ( ξ) xx( ξ) ξ

12 Quesito b (alternativo al quesito a) (Punti 1) Data la struttura piana mostrata in Figura b, determinare: 1. le reazioni vincolari. l andamento delle caratteristiche di sollecitazione nelle travi che la compongono, scrivendone l espressione analitica in funzione di una opportuna coordinata presa lungo la fibra baricentrica e tracciandone il diagramma.. F 3 kn Cavo B C Cavo D kn A E 4 8 G Fig. b

13 Calcolo delle reazioni vincolari La struttura è esternamente ed internamente isostatica. Fissato un SR cartesiano ortogonale, si sostituiscono i vincoli con le reazioni vincolari (3 esterne + interne) incognite, ottenendo il seguente diagramma di corpo libero: 3 kn B N N BF BF C C F N DF N DF C1 C1 D C kn A C C C1 C1 E 4 8 G M G G Dalle Equazioni di equilibrio si ottiene (forze in KN, lunghezze in m, momenti calcolati rispetto al polo A): G := kn G := M G := N BF := N DF := C1 := C1 := C := C := Given Equilibrio intera struttura R x = ---> G = R y = ---> G kn 3kN = MR zg = ---> M G + 3kN 4.m kn 8m =

14 G G M G ( ) := Find G, G, M G Given Equilibrio asta CDE R x = ---> C1 N DF = R y = ---> C1 kn + N DF = MR zc = ---> C1 C1 N DF Given kn 8 m + N DF. m = ( ) := Find C1, C1, N DF Equilibrio asta ABC R x = ---> C + N BF = R y = ---> C 3kN + N BF = MR zc = ---> C C N BF 3 kn 4. m N BF. m = ( ) := Find C, C, N BF Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in kn e knm): G = G = 8 kn M G = 6. kn m N BF = kn N DF =.67 kn C1 = 16 kn C1 = 11 kn C =.4 kn C =.4 kn

15 Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero della struttura, con tutte le forze esterne ed interne applicate. 3 kn A T B N kn ξ.4 kn.4 kn C F.67 kn D ξ 3 C1 E kn kn.4 kn C 16 kn.4 kn 11 kn 11 kn 16 kn C.67 kn T kn N T N ξ 1 6. knm DIAGRAMMI CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE Ai fini del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, si introducono tre coordinate curvilinee ξ 1 (origine nel punto G, termine nel punto F, valore compreso tra e 1. m), ξ (origine nel punto A, termine nel punto C, valore compreso tra e 4. m) e ξ 3 (origine nel punto C, termine nel punto E, valore compreso tra e 8. m) e si fissa sulla generica sezione il sistema di riferimento locale N-T per il calcolo della caratteristiche di sollecitazione, la cui disposizione nei diversi tratti di trave è mostrata in figura. Si noti che, per semplificare la rappresentazione, i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono stati linearizzati.

16 TRAVE GCF Forza Normale [kn] ξ 1 :=, ( ) := xx ξ 1 (questa variabile fittizia ha il solo scopo di far comparire sui diagrammi la linea corrispondente al valore ) ( ) 8 N ξ 1 := if ξ 1 Tratto G-C ( ) otherwise Tratto C-F N [N] N( ξ 1 ) xx( ξ 1 ) ξ 1 Taglio T [kn] ( ) := if ξ 1 T ξ 1 T( ξ 1 ) xx( ξ 1 ) otherwise ξ 1

17 Momento M [knm] ( ) := 6. M ξ 1 if ξ 1 ( 16.4) ξ 1 6. ( ) otherwise 3 M( ξ 1 ) xx ξ 1 ( ) ξ 1 TRAVE ABC Forza Normale [kn] ξ :=, ( ) := xx ξ (questa variabile fittizia ha il solo scopo di far comparire sui diagrammi la linea corrispondente al valore ) ( ) if ξ N ξ := Tratto A-B.4 otherwise Tratto B-C N [N] N( ξ ) xx( ξ ) ξ

18 Taglio T [kn] ( ) 3 T ξ := if ξ Tratto A-B.4 otherwise Tratto B-C 4 3 T ( ξ ) 1 xx( ξ ) ξ Momento M [knm] ( ) 3 M ξ := ξ if ξ Tratto A-B M( ξ ) xx( ξ ) ( ) 3 ξ ξ otherwise Tratto B-C ξ

19 TRAVE CDE Forza Normale [kn] ξ 3 :=, xx( ξ 3 ) := ( ) 16 N ξ 3 := if ξ 3. Tratto C-D otherwise Tratto D-E N [N] N( ξ 3 ) ( ) xx ξ ξ 3 Taglio T [kn] ( ) := 11 T ξ 3 if ξ 3. otherwise T( ξ 3 ) xx( ξ 3 ) ξ 3

20 Momento M [knm] ( ) := 11 M ξ 3 ( ) xx ξ 3 ξ 3 if ξ 3. ( ) 11 ξ ξ 3. otherwise 3 M ξ 3 1 ( ) ξ 3

21 Quesito 3 (Punti 4) Data la sezione a doppio T con rotaia mostrata in Fig. 3,: 1. determinare la posizione del baricentro G. determinare i momenti di inerzia rispetto ai due assi centrali principali G Fig. 3

22 Posizione del baricentro. Fissato un SR "'-'", si vede subito che, in esso la coordinata ' del baricento è pari a per simmetria G Per il calcolo della posizione lungo l'asse ' si procede considerando il contributo delle diverse aree colorate riportate nella figura. A := mm 3mm + 8mm 38mm + mm 3mm + ( 1mm) Area totale A = mm S G := mm 3mm mm + 8mm 38mm 38 mm mm + S G := S G + mm 3mm 39mm + ( 1mm) 4mm + 1 mm S G G := A G =.39 mm

23 La posizione del baricentro risulta pertanto quella riportata nella seguente Figura G Momenti di inerzia Gli assi centrali principali risultano, per simmetria, quelli indicati nella Figura precedente. Nel calcolo dei momenti di inerzia si considera separatamente il contributo delle diverse aree individuate nella Figura stessa. Calcolo di J J x1 := J x := J x3 := J x4 := 3mm ( mm) 3 1 8mm ( 38mm) 3 1 3mm ( mm) 3 1 1mm ( 1mm) 3 1 mm + 3mm mm G 38mm + mm 38mm G mm 3mm mm 39mm mm + + G ( 1mm) 4mm 1mm + + G J x := J x1 + J x + J x3 + J x4 J x = mm 4

24 Calcolo di J y J y1 := J y := mm ( 3mm) mm ( 8mm) 3 1 J y3 := J y1 J y4 := 1mm ( 1mm) 3 1 J y := J y1 + J y + J y3 + J y4 J y = 4. 7 mm 4

25 Quesito 4 (Punti ) Calcolare le tensioni normali e tangenziali massime (espresse in MPa) e mostrarne l'ubicazione per la sezione mostrata nella Figura 3, soggetta alle seguenti caratteristiche di sollecitazione: M x := kn m M y := kn m M z :=.1 kn m T x := kn Momento M x Si applica la formula di Navier, la massima tensione (valore relativo ed assoluto) si verifica nel punto della sezione a maggiore distanza dall'asse (bordo superiore rotaia, in alto). y max := 41 mm.39 mm y max = 9.61 mm σ zmax := M x J x y max σ zmax = MPa σ zmax dovuta ad M x G 8 1 3

26 Momento M y Si applica la formula di Navier, la massima tensione si verifica nel punto della sezione a maggiore distanza dall'asse, verso il basso. x max := mm M y σ zmaxy := x J max y σ zmaxy = MPa σ zmax dovuta ad M y G 1 8 3

27 Momento M z Si introduce una sconnessione a metà spessore nella sezione (vedi Fig. seguente) applicando poi alla sezione tubolare risultante la formula di Bredt la massima tensione si verifica nel punto in cui lo spessore della sezione sconnessa è minimo. Per semplicità, il valore dell'area sottesa dalla fibra media, che compare nella formula di Bredt, vieneapprossimato con la metà dell'area tiotale della sezione. A 8 Ω := s min := mm τ max := M z Ω s min τ max =.698 MPa G 1 τ max dovuta ad M z 8 3

28 Taglio T x Si usa la formula di Jourawsky, calcolando il valore del momento statico nei due punti riportati nella Figura e verificando in quale di essi la tensione assume valore massimo G S y1 := mm mm mm + 4mm 38mm 4mm b 1 := 41 mm + 1mm 1mm 1mm 4 S y := mm 146mm 146mm + 4mm + 1mm 11mm 4mm + 11mm b := mm + 1mm S y3 := mm mm 1mm b 3 := mm mm 1mm + 1mm

29 τ 1 := T x S y1 J y b 1 τ 1 = MPa T x S y τ := τ J y b = 1.3 MPa T x S y3 τ 3 := τ J y b 3 = MPa 3 Le tensioni massime, con un'applicazione puntuale della formula di Jourawsy si verificano quindi nel punto 3. Una stima più semplice e ragionevole dal punto di vista fisico è quella ottenibile trascurando il contributo della rotatia e dell'anima della trave. In questo caso di ha: S y := mm mm mm b := mm τ := T x S y J y b τ = MPa