UNIVERSITA DI PISA - ANNO ACCADEMICO CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA (N.O.) CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE

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1 UNIVERSITA DI PISA - ANNO ACCADEMICO 6-7 CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA (N.O.) CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL COGNOME E NOME MATRICOLA QUESITO (punti ) Dato l'alberino in acciaio mostrato nella Fig.., calcolare: lo spostamento del punto sotto l'azione della sola forza F lo spostamento del punto sotto l'azione della sola forza F (assunta di modulo unitario) la forza F da applicare nel punto A (modulo e verso) per fare in modo che lo spostamento complessivo del punto (dovuto all'azione contemporanea delle due forze) sia nullo. Nei calcoli si trascurino le deformazioni dovute al taglio. φ A F = = L F Dati Fig.. φ := mm := 7 mm F := N L := 5 mm

2 Svolgimento L'alberino viene assimilato ad una trave semplicemente appoggiata, secondo lo schema di Fig.., fissando una coordinata ξ. ξ A F F = = L Fig.. Caratteristiche sezione e materiale Il momento di inerzia della sezione (circolare) dell'albero è dato da: πφ 4 J := J = mm 4 64 Il modulo di Young del materiale (acciaio) è pari a: E := MPa Spostamento di sotto l'azione di F Lo spostamento del punto sotto l'azione della forza F può essere calcolato uguagliando il lavoro compiuto dalla forza stessa con l'energia elastica immagazzinata nella trave. Reazioni vincolari Le reazioni vincolari nei punti C e D (fig..3) dovute alla forza F sono date da: C ξ D X C Y C Y D F L y x Fig..3

3 X C := Y C := Y D := Given R x = ---> X C = R y = ---> Y C + Y D + F = MR x = ---> Y D + F + L = X C Y C Y D ( ) := Find X C, Y C, Y D ( ) Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari : X C = N Y C = N Y D = ed il seguente diagramma di corpo libero: N C ξ Y D = N Y C = N F = N D L y x Fig..4

4 Momento flettente Il momento flettente risulta dato da: M ξ ( ) := Y C ξ if ξ F + L ξ if ξ + L ( ) otherwise xx( ξ) := M ( ξ) xx( ξ) ξ Spostamento di Lo spsotamento δ del punto per effetto di F può essere calcolato uguagliando il lavoro compiuto dalla forza stessa: L := F δ con l'energia elastica immagazzinata nella trave, che, trascurando il contributo del taglio, è data da: U := U := + L L E J M ( ξ) EJ dξ ( Y C ξ) dξ + + L F + L ξ ( ) dξ U := da cui: E J 3 3 Y C + 3 L 3 F δ := U δ F =.94 mm

5 Spostamento di sotto l'azione di F Per la forza F si assume per essa un valore unitario del modulo: F := N Per la linearità del problema, lo spostamento effttivo sotto l'azione di un valore diverso della forza potrà essere ottenuto semplicemente moltiplicando lo spostamento trovato in presenza di un modulo unitario per il valore effettivo del modulo. Per il calcolo si pplica il metodo degli integrali di Mohr Reazioni vincolari Le reazioni vincolari nei punti C e D (fig..5) dovute alla forza F sono, per semplici considerazioni di simmetria, immediatamente calcolabili e date da: C ξ D X C YC Y D F L = = L y x Fig..5 F F X C := Y C := Y D := ottenendo il seguente diagramma di corpo libero: Y C =.5 N Y D =.5 N C ξ D = = L y x Fig..6

6 Momento flettente Il momento flettente risulta dato da: M ξ ( ) := Y C ξ if ξ ( ) Y D ξ otherwise if ξ. M. ( ξ) xx( ξ) Momento flettente prodotto da una forza unitaria applicata in Il metodo degli integrali di Mohr prevede l'applicazione, nel punto di cui si vuole calcolare lo spostamento, di un carico unitario diretto in accordo con lo spostamento stesso. Si applica dunque tale carico unitario, in direzione verticale nel punto (Fig..7). ξ ξ A = = L Fig..7 Dato che il carico unitario è diretto come F, il momento da esso prodotto può essere immediatamente ottentoda quello relativo alla forza F sostituendo il relativo modulo con il valore "" (vale a dire dividendo per il modulo di F ). M ( ξ) := Y C ξ if ξ L F + L ξ if ξ + L otherwise

7 M ( ξ) xx( ξ) ξ Spostamento di dovuto ad F Lo spostamento δ del punto per effetto di una F di valore unitario può essere calcolato attraverso il metodo degli integrali di Mohr: δ := + L ( ) M ( ξ) M ξ EJ dξ Tuttavia, dato che la funzione integranda risulta evidentemente non nulla solo nel tratto -L, l'integrale può essere riscritto come: L M ( ξ) M ( ξ) δ := dξ EJ L δ := ( Y EJ C ξ) F Y C ξ dξ + Y Y D ( ξ ) C ξ F dξ δ := EJ 4 L 3 Y C YC F + L 3 Y C YD F per cui: δ = mm si osservi che il segno è negativo, il che indica che una forza F diretta verso l'alto provoca lo sostamento in basso del punto.

8 Calcolo del valore richiesto per F Data la linearità del problema, lo spostamento prodotto dalla forza F sarà dato da: F δ := δ F mentre lo spostamento complessivo di risulta dato da: F δ := δ + δ F Uguagliando a zero tale postamento complessivo, si ricava F : δ F := F F =.36 3 δ Verifica Si può verificare che il valore trovato sia corretto applicanbdo il metodo degli integrali di Mohr per il calcolo dello spostamento del punto prodotto dalla presenza contemporanea delle due forze. δ := + L M ( ξ) + F M F ξ EJ ( ) M ( ξ) dξ δ = mm

9 QUESITO (punti 7) Data il dispositivo avvolgicavo mostrato nella Fig.., soggetto alla forza F applicata al cavo, condurre la verifica della giunzione saldata. N: il perno è bloccato contro la rotazione rispetto alle alette e costituisce con esse un tutto unico. F 45 F H b h F Φ Dati Fig.. Φ := mm H := 35 mm := 5 mm h := 5 mm F := 75 N b := mm σ ammb := 6 MPa Tensione ammissibile materiale base f :=.7 f :=.8 Efficienze saldatura

10 Svolgimento Si calcolano in primo luogo le caratteristiche della sezione resistente della saldatura, ribaltando la sezione di gola sul piano orizzontale. Caratteristiche sezione a := h a = mm Altezza di gola La sezione resistente ha la forma mostrata in Fig.. e le seguenti proprietà geometriche, relative al SR mostrato nella stessa figura F 45 H z y F b x y A a Fig..

11 A := ( + a) A = mm J x := ( + a) 4 J x = mm 4 J y := J x Ω := ( + a) Ω = mm Area racchiusa dalla linea media Forze e momenti agenti Il giunto deve trasmettere le seguenti forze e momenti, espresse nel SR di Fig... F x := F y := F F z := F H Φ M x := F + M x =.66 5 Nmm F M y := b M y = Nmm F M z := b M z = Nmm Tensioni agenti Le tensioni agenti, calcolate in base alle relazioni della teoria elementare delle travi e classificate secondo la nomenclatura tipica delle giunzioni saldate. Per motivi pratici, le σ ortogonali sono indicate come σ ort, mentre le τ ortogonali e parallele sono indicate rispettivamente come τ ort e τ par.la verifica viene condotta nel punto "A" di Fig.., nel quale sono massime le tensioni dovute ad M x ed ad M y Tensioni dovute ad F y Le tensioni dovute ad F y (taglio) hanno il loro massimo in corrispondenza dell'asse neutro della flessione dovuta ad M x. Per semplicità, esse vengono calcolate come valore medio sui tratti di cordone paralleli all'asse "Y" e combinate con le altre tensioni calcolate nel punto "A" τ pary := F y ( a) τ pary = 5 MPa Se si vuole calcolare il massimo vero secondo Jourawsky si ha: S x + a ( + a) + a := S 4 x = mm 3 F y S x τ max := τ J x a max = 5.75 MPa Si può notare come tale massimo non sia molto diverso dal valore stimato in modo semplificato

12 Tensioni dovute ad F z F z σ ortz := σ A ortz = 7.5 MPa Tensioni dovute ad M x M x ( + a) σ ortx := σ J x ortx =.474 MPa Tensioni dovute ad M y M y + a σ orty := σ J y orty = 6.49 MPa Tensioni dovute ad M z M z τ parz := τ parz = 3.95 MPa Ω a Verifica La verifica viene condotta con il metodo della sfera mozza a verifica ( σ ortx + σ orty + σ ) ortz + ( τ parz + τ pary ) f σ ammb ( σ ortx + σ ortz ) + ( τ parz + τ pary ) = MPa < f σ ammb = MPa Verifica = "OK" a verifica σ ortx + σ ortz f σ ammb σ ortx + σ ortz = MPa < f σ ammb = 8 MPa Verifica = "OK"

13 QUESITO 3 (punti 5) La trave in acciaio mostrata nella Fig. 3., soggetta ad una forza assiale di compressione, è vincolata in maniera diversa sui piani "X-Z" ed "Y-Z". Calcolare: il carico assiale critico come varia il carico critico se la trave è costruita in lega di alluminio. y d x Sez. A-A y z A c F a A x z F a = = L Dati Fig. 3. L := 5m c := 4 mm d := 7 mm

14 Svolgimento Il carico di instabilizzazione viene calcolato separatamente per i due piani. Il carico critico risulterà il minore dei due valori ottenuti. Caratteristiche geometriche della sezione Si valuta il momento di inerzia della sezione attorno ai due assi principali. cd 3 J x := J x =.43 6 mm 4 dc 3 J y := J y = mm 4 y z F a x z F a = = L Fig. 3. Piano "Y-Z" Per l'instabilizzazione su questo piano (Fig. 3.) la lunghezza libera di inflessione coincide con quella totale della trave ed il momento di inerzia da considerare è quello relativo all'asse "X-X". π E J x F cryz := F cryz = N L

15 Piano "X-Z" Per l'instabilizzazione su questo piano (Fig. 3.) la lunghezza libera di inflessione è èari alla metà di quella totale della trave (a causa del vincolo intermedio) ed il momento di inerzia da considerare è quello relativo all'asse "Y-Y". π E J y F crxz := F crxz =.38 5 N L Carico critico Il carico critico effettivo risulta pari al minore dei due valori ottenuti. P cr := min( F crxz, F cryz ) P cr = N

16 QUESITO 4 (punti 8) La barra CD mostrata in Fig. 4. ruota attorno a C con velocità angolare costante ω. Alla barra, nel punto D, è fissata una ruota che, trascinata dalla barra stessa, rotola senza strisciare su di una pista esterna di raggio r+l ("" punto di contatto ruota-pista). Per la posizione dei due corpi mostrata in Fig. 4., determinare: la velocità e l'accelerazione del punto D la velocità angolare ω r della ruota la velocità e l'accelerazione del punto A A C ω ω r r D l Dati Fig. 4. r := l := mm 4 mm ω := 4 rad s

17 Svolgimento Velocità del punto D Il centro delle velocità della barra si trova nel punto "C". La velocità del punto D risulta pertanto data da (notazione vettoriale): ω barra := CD := ω l := v D v D ω barra CD =.6 m s Accelerazione del punto D Dato che la velocità angolare della barra è costante l'accelerazione del punto D risulta data da (notazione vettoriale): 6.4 a D := ω CD a D = m s Velocità angolare della ruota Il centro delle velocità della ruota si trova nel punto "" di contatto con la pista esterna. La velocità del punto D, pensato come appartenente alla ruota, risulta pertanto data da (notazione vettoriale): ω ruota := D := ω r r v D := ω ruota D Uguagliando le due espressioni di v D si determina la velocità angolare della ruota ωr: CD ω r := ω D ω r = 8 s Si noti che la ruota gira in senso orario se la barra gira in senso antiorario

18 Velocità del punto A La velocità del punto A può essere determinata come segue: ω ruota := A := ω r r r.6 v A := v D + ω ruota A v A = 3. Accelerazione del punto A L'accelerazione del punto A può essere determinata a partire da quella (nota) del punto D, nel modo seguente: DA := r 6.4 a A := a D ( ω ruota ) DA a A =.8 m s m s