ESERCIZIO 1 (Punti 9)

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1 UNIVERSITA DI PISA - ANNO ACCADEMICO 7-8 CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA (N.O.) CORSO DI PRINCIPI DI MECCANICA E COSTRUZIONI MECCANICHE ESERCIZIO 1 (Punti 9) VERIFICA INTERMEDIA DEL Data la struttura di sollevamento mostrata in Figura 1.1, calcolare lo spostamento verticale del punto B conseguente al sollevamento della massa M tramite la carrucola. Dati Fig. 1.1 L := 11 mm M := 15 kg E := 1 MPa Modulo Young acciaio b 1 := 5 mm h 1 := 9 mm s p1 := mm b := 5 mm h := 5 mm s p := 1mm

2 Svolgimento La forza complessiva applicata alla trave per il sollevamento della massa M è pari a: F := M g F =.45 1 N Si ottiene quindi il seguente schema di calcolo con tre reazioni vincolari incognite. Calcolo reazioni vincolari Fig. 1. Dalle Equazioni di equilibrio si ottiene (momenti calcolati rispetto al polo D): X D := Y D := R E := Given R x = ---> X D R E = R y = ---> Y D R E F = MzD = ---> F L R E L =

3 X D Y D R E := Find X D, Y D, R E Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in KN): X D = 4.9 kn Y D =.45 kn R E = 6.94 kn Caratteristiche sezioni e materiale Le carattristiche geometriche delle sezioni della travi sono date da: Trave orizzontale b 1 s p1 A 1 := ( h 1 b 1 ) h ( 1 s p1) A 1 = 7 mm b 1 h 1 b 1 s p1 h 1 s p1 J 1x := J 1 1 1x = mm 4 s p1 s p1 b 1 h 1 s p1 J 1y := J 1 1 1y = mm 4 Trave obliqua ( b s p) A := h b h s p A = 146 mm b h h s p J x := ( b 1 s p ) J 1 x = mm 4 b h J y ( b 1 s p ) h s p := J 1 y = mm 4

4 Caratteristiche di sollecitazione Per il calcolo dello spostamento del punto B si ricorre al metodo del bilancio di energia. In base alle reazioni vincolari calcolate si ottiene il seguente diagramma di corpo libero (Fig. 1.): Y D =.45 1 N R E = N X D = N F.45 1 = N R E = 4.9 kn Fig. 1. dal quale si ricavano, per la trave orizzontale, i seguenti andamenti delle caratteristiche di sollecitazione in funzione della coordinata curvilinea ξ. ξ := mm xx( ξ) :=, 1mm.. L Forza normale La forza normale risulta data da: N 1 ( ξ) := N if ξ L R E otherwise R E = 6.94 kn N 1 ( ξ) 1 6 xx( ξ) 6 1 ξ

5 Taglio Il taglio non viene tracciato, dato che il suo contributo allo spostamento di B è trascurabile: Momento flettente Il momento flettente risulta dato da: M 1 ( ξ) := F ξ if ξ L Y D L ξ otherwise =.697 M 1 L 1 J M 1 ( ξ) 1. 1 xx( ξ) ξ Asta obliqua Per quanto concerne l'asta obliqua, essa risulta soggetta alla sola forza normale data da: N c := R E = 6.94 kn Calcolo dello spostamento di B Lo spostamento δ Β del punto B può essere calcolato uguagliando il lavoro compiuto dal carico F L F := F δ B all'energia elastica immagazzinata all'interno della trave e della fune: L L e := Da cui si ottiene: M( ξ) E J 1x N( ξ) E A 1 dξ L N c E A dξ δ B := L ( M 1 ( ξ) ) EJ 1x ( N 1 ( ξ) ) EA 1 dξ L N c 1 dξ EA F δ B =.14 mm

6 ESERCIZIO (Punti 7) Verificare la resistenza della struttura di Fig. 1.1 Dati: σ amm := 5 MPa Svolgimento Asta orizzontale - Verifica a tensione ammissibile La sezione più sollecitata risulta quella centrale, immediatamente a destra del punto B. Su tale sezione abbiamo forza normale e momento flettente, per cui la tensione massima in valore assoluto risulta data da: M 1 L h 1 σ max1 := J 1x R E = 59.4 MPa A 1 Asta obliqua - Verifica a tensione ammissibile La trave è sollecitata da una forza normale uniforme, per cui la tensione massima in valore assoluto risulta data da: σ max := R E A = MPa Asta obliqua - Verifica ad instabilità La trave è sollecitata da una forza normale uniforme, per cui il carico critico risulta dato da: π E J y P cr := = R E = 6.94 kn L kn

7 ESERCIZIO (Punti 8) Si suponga che all'estremo B della struttura di Fig. 1.1, venga fissata una massa M (vedi la Fig..1). Si calcoli l'ampiezza di oscillazione in direzione verticale dell'estremo B in presenza di una forzante sinusoidale agente nella sttessa direzione ed avente ampiezza F max e frequenza f. Si conideri trascurabile la massa delle due travi. Fig..1 Dati ξ :=.5 smorzamento relativo M := 4 kg F max := 5 N ampiezza forzante f := Hz frequenza forzante Svolgimento Dato che la massa della trave può essere trascurata, la struttura è assimilabile ad un semplice sistema massa-molla ad un solo grado di libertà, nel quale la massa è quella sollevata (M) mentre la rigidezza corrisponde a quella verticale dell'intera struttura nel punto B. La rigidezza della molla equivalente alla struttura può pertanto essere valutata come: F k N := = δ B m

8 La frequenza propria del sistema risulta quindi data da:: ω n := k M = s π f = s L'ampiezza della risposta forzata del sistema sarà quindi data da: F X B := k 1 π f ω n 1 π f ξ ω n =.7 m