CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 10/02/05

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1 ORSO I LURE IN ING. ELETTRI ORSO I MENI E TENI ELLE OSTRUZIONI MENIHE VERIFI INTERMEI EL 10/02/05 VVERTENZE La prova è organizzata in 4 Quesiti, ciascuno dei quali, se svolto senza errori, consente il conseguimento del punteggio riportato vicino al titolo (in 30esimi). Per il Quesito 2 vengono proposte 2 alternative (2a e 2b), di diverso punteggio e difficoltà. Svolgere, a propria scelta, una sola delle due alternative. Quesito 1 (Punti 10) ata la travatura reticolare mostrata nella Figura 1, determinare le forze agenti in tutte le aste e le reazioni vincolari KN KN Figura 1 1

2 Quesito 2a (Punti 14) ato l albero con ruota dentata mostrato in assonometria in Figura 2 ed in proiezione ortogonale in Figura 2, determinare le reazioni vincolari e l andamento delle caratteristiche di sollecitazione. Per il tracciamento di queste ultime è possibile servirsi del modulo riportato in Fig. 3. GIUNTO TORSIONLE (LO ROTZIONE TTORNO X) USINETTO SORREVOLE SSILMENTE USINETTO FISSTO SSILMENTE Z X RUOT ENTT Y Figura 2 2

3 7. Z X 2. GIUNTO I TORSIONE Y X Φ GIUNTO I TORSIONE Figura 2 3

4 4 N T X T Y M Z M X M Y N T X T Y M Z M X M Y Figura 3

5 Quesito 2b (alternativo al quesito 2a) (Punti 12) ata la struttura mostrata in Figura 4, determinare le reazioni vincolari e l andamento delle caratteristiche di sollecitazione, sotto l azione della forza di 7. mostrata in Figura e del peso proprio. Per il tracciamento di queste ultime è possibile servirsi del modulo riportato in Fig MTERILE: IIO ρ = 7.8 Kg/dm 3 Figura 4 5

6 N T M Figura 5 6

7 Quesito 3 (Punti 3) alcolare il valore dei momenti di inerzia rispetto agli assi principali centrali della sezione mostrata in Figura 6. Y G X 180 Figura 6 Quesito 4 (Punti 3) alcolare le tensioni (espresse in MPa) prodotte da ciascuna delle seguenti caratteristiche di sollecitazione e mostrarne l andamento indicando i valori massimi e minimi: M X = 100 KNm; M Y = 12m; T y = 50 KN Sono date le seguenti proprietà della sezione, mentre la posizione del baricentro è indicata nella Figura (valutare le ulteriori proprietà ritenute necessarie): J X = mm 4 ; J Y = mm X G Y 100 Figura 7 7

8 ORSO I LURE IN ING. ELETTRI ORSO I MENI E TENI ELLE OSTRUZIONI MENIHE VERIFI INTERMEI EL 10/02/2005 Quesito 1 alcolo reazioni vincolari esterne La struttura è esternamente isostatica. Per il calcolo delle reazioni vincolari esterne si impiegano le equazioni cardinali della statica. Si fissa preliminarmente un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e si traccia un diagramma di corpo libero sostituendo i vincolri con le relative reazioni vincolari incognite KN Y KN X X Y Y alle Equazioni di equilibrio si ottiene (forze in KN, lunghezze in mm): X := 0 Y := 0 Y := 0 Given Rx = 0 ---> X = 0 Ry = 0 ---> Y + Y = 0 Mz = 0 ---> Y = 0 X Y Y ( ) := Find X, Y, Y

9 Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in KN): X = 0 Y = 15 Y = 5 Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero dell'intera struttura, con tutte le forze esterne applicate KN Y KN X alcolo delle forze normali nelle aste Il calcolo delle forze normali agenti nelle aste viene condotto con il metodo dei nodi. Nella procedura è possibile partire da un qualsiasi nodo in cui convergano non più di 2 aste le cui forze normali siano incognite. onvenzionalmente, si assume per le forze normali incognite un verso corrispondente a quello di un'asta tesa.

10 Nodo 1 Sistema di equazioni N 1 := 0 N 2 := 0 Given N 1 N 2 N 1 + N 2 cos π 5 = 0 4 N 2 sin π 10 = 0 4. := Find( N 1, N 2 ) N 1 = 15 N 2 = KN N 1 N 2 Nodo 2 Sistema di equazioni N 3 := 0 N 4 := 0 Given N 4 15 = N 4 N 3 = 0 N 3 N 3 N 4 := Find( N 3, N 4 ) N 3 = 0 N 4 = 15

11 Nodo 6 Sistema di equazioni N 13 := 0 N 12 := 0 Given N 12 N 13 N 12 N 13 cos π + 5 = 0 4 N 13 sin π 10 = 0 4. := Find( N 12, N 13 ) N 12 = 5 N 13 = N 13 N KN Nodo 3 Sistema di equazioni N 5 := 0 N 7 := 0 Given N 5 N 7 N 5 cos π cos π 15 = N 5 sin π N sin π = 0 4 := Find( N 5, N 7 ) N 5 = N 7 = N 5 N KN

12 Nodo 5 Sistema di equazioni N 6 := 0 N 11 := 0 5KN Given N 6 5 = 0 N 6 5 5KN N 11 5 = 0 N 6 N 11 := Find( N 6, N 11 ) N 11 N 6 = 5 N 11 = 5 Nodo 8 Sistema di equazioni N 8 := 0 N 9 := 0 Given N 8 N 9 N 9 N 8 cos π = 0 4 N 8 sin π = 0 4. := Find( N 8, N 9 ) N 8 N 8 9 N 8 = 0 N 9 = 0

13 Nodo 7 Sistema di equazioni N 10 := 0 Given N = 0 N 10 := Find( N 10 ) N 10 = 15 N Verifica finale equilibrio nodo 4 Si verifica l'equilibrio del nodo 4, sotto l'azione di tutte le forze ad esso applicate, calcolando le risultanti in direzione "x" ed "y" e verificando la loro uguaglianza a cos π cos π 5 = sin π sin π + 15 = KN KN 1

14 ORSO I LURE IN ING. ELETTRI ORSO I MENI E TENI ELLE OSTRUZIONI MENIHE VERIFI INTERMEI EL 10/02/2005 Quesito 2a alcolo delle reazioni vincolari La struttura è esternamente isostatica, per cui le reazioni vincolari possono essere valutate tramite le 6 equazioni cardinali della statica. tale scopo, fissato preliminarmente un sistema di riferimento cartesiano generale "X-Y-Z", si procede in primo luogo a classificare i vincoli, sostituendoli quindi con le relative reazioni vincolari incognite. Si ottiene così lo schema di calcolo riportato nella Figura. M Y Z X Y Z 300 Z X Y

15 alle Equazioni di equilibrio si ottiene (forze in KN, lunghezze in mm, momenti calcolati rispetto al polo ): X := 0 Y := 0 Z := 0 Y := 0 Z := 0 M := 0 Given R x = 0 ---> X = 0 R y = 0 ---> Y + Y 5 = 0 R z = 0 ---> Z + Z 7.5 = 0 M x = 0 ---> M = 0 M y = 0 ---> Z = 0 M z = 0 ---> Y = 0 X Y Z Y Z M ( ) := Find X, Y, Z, Y, Z, M Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in KN): X = 2.5 Y = Z = Y = Z = M =

16 Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero dell'intera struttura, con tutte le forze esterne applicate 1750 KNmm KN KN 700 Z X KN KN KN Y

17 Tracciamento diagrammi caratteristiche di sollecitazione i fini del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, si ritiene utile riportare lo schema di corpo libero della struttura visto nei piani "XY" e "XZ". Si introduce quindi la coordinata curvilinea ξ (origine nel punto ) e si fissa sulla generica sezione il sistema di riferimento corrente x-y-z per il calcolo della caratteristiche di sollecitazione, con l'asse z orientato nella direzione delle ξ positive e l'asse y verso il basso, come mostrato in figura 7. Z X KN ξ KN y z Y X Φ ξ KN x z KN

18 Forza Normale La forza normale è data da: ξ := 01, xx ξ ( ) := 2.5 N ξ if 0 ξ otherwise ( ) := 0 (questa variabile fittizia ha il solo scopodi far comparire sui diagrammi la linea corrispondente al valore 0) N( ξ) 0 xx( ξ) ξ Taglio T X T x. ξ ( ) := 5 if 0 ξ if 300 ξ otherwise 10 T x. ( ξ) xx( ξ) ξ

19 Taglio T Y T y. ξ ( ) := 7.5 if 0 ξ if 300 ξ otherwise 10 T y. ( ξ) xx( ξ) ξ Momento M X M x. ξ ( ) := ξ if ( ) 0 ξ ξ if 300 ξ otherwise 2000 M x. ( ξ) xx( ξ) ξ

20 Momento M Y M y. ξ ( ) := 5 ξ if 0 ξ 300 ( ) ξ if 300 ξ otherwise 2000 M y. ( ξ) xx( ξ) ξ Momento M Z M z. ξ ( ) := 1750 if 0 ξ otherwise 2000 M z. ( ξ) xx( ξ) ξ

21 ORSO I LURE IN ING. ELETTRI ORSO I MENI E TENI ELLE OSTRUZIONI MENIHE VERIFI INTERMEI EL 10/02/2005 Quesito 2b alcolo del valore del carico distribuito dovuto al peso proprio La struttura ha una sezione quadrata, mostrata in Figura. Il carico distribuito dovuto al peso proprio è, per definizione, la forza dovuta alla gravità applicata ad un tratto di trave di lunghzza unitaria. Nel seguito tale carico viene calcolato in N/mm rea := = mm 2 ensità ρ := 7.8 Kg/dm ρ := Kg/mm 3 Massa di un tratto di lunghezza unitaria m := ρ m = Kg/mm MTERILE: IIO ρ = 7.8 Kg/dm 3 Forza peso su un tratto di lunghezza unitaria g := 9.81 m/sec 2 p := m g p = N/mm

22 Si ottiene in tal modo il seguente schema della struttura N/mm N/mm MTERILE: IIO ρ = 7.8 Kg/dm 3 alcolo reazioni vincolari esterne La struttura è esternamente isostatica. Per il calcolo delle reazioni vincolari esterne si impiegano le equazioni cardinali della statica. Si fissa preliminarmente un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e si traccia un diagramma di corpo libero sostituendo i vincoli con le relative reazioni vincolari incognite. i fini del calcolo delle reazioni vincolari è possibile sostituire i carichi distribuiti sui tratti orizzontali e verticali della trave con carichi concentrati "staticamente equivalenti". Si ottiene in tal modo il seguente schema di calcolo

23 q g 550 N X 7500 N Y N 3000 Y X Y alle Equazioni di equilibrio si ottiene (forze in N, lunghezze in mm, momenti calcolati rispetto al polo ): X := 0 Y := 0 Y := 0 Given R x = 0 ---> X = 0 R y = 0 ---> Y + Y = 0 Mz = 0 ---> Y = 0 X Y Y ( ) := Find X, Y, Y

24 Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in KN): X = 0 Y = Y = Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero dell'intera struttura, con tutte le forze esterne applicate N N/mm 7500 N ξξ T N N/mm T N 4850 N

25 Tracciamento diagrammi caratteristiche di sollecitazione i fini del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, si introduce la coordinata curvilinea ξ (origine nel punto ) e si fissa sulla generica sezione il sistema di riferimento corrente x-y-z, con l'asse z orientato nella direzione delle ξ positive e l'asse y come mostrato nella figura precedente. Nelle figure seguenti, i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono rappresentati per semplicità nella forma di diagramma cartesiano. Per comprenderli è sufficiente tenere presente che il punto corrisponde alla quota ξ=2000. Forza Normale La forza normale è data da: ξ := 01, xx ξ ( ) := 0 ( ) := 0 if 0 ξ N ξ 2000 ( ) ξ if 2000 ξ otherwise N( ξ) 0 xx( ξ) ξ Taglio T ( ) := ξ T ξ if 0 ξ otherwise ξ if 1000 ξ T( ξ) xx( ξ) ξ

26 Momento M ( ) := 4025 ξ M ξ ξ2 if 0 ξ ( ) 4025 ξ 7500 ξ otherwise ξ2 if 1000 ξ M( ξ) xx( ξ) ξ

27 ORSO I LURE IN ING. ELETTRI ORSO I MENI E TENI ELLE OSTRUZIONI MENIHE VERIFI INTERMEI EL 10/02/2005 Quesito 3 Posizione del baricentro Il baricentro si trova nell'intersezione dei due assi di simmetria della figura, a metà dei due lati. Y G X 180

28 Momento attorno all'asse X Il momento attorno ad X può essere valutato come differenza tra quello del rettangolo esterno alla sezione (rettangolo 1) e quello dei tre rettangoli interni corrispondenti alle zone vuote (rettangoli 2-4). Per tutti i rettangoli, l'asse X baricentrico della sezione coincide con l'asse X baricentrico del rettangolo stesso. Per semplificare i calcoli si può inoltre osservare che i rettangoli 2, 3 e 4 sono equivalenti ad un unico rettangolo che ha base doppia rispetto al rettangolo G Y X J X1 := 12 ( 2 180) J X2 := ( ) J X3 := ( ) ( )3 J X4 := J X2 J X := J X1 J X2 J X3 J X4 J X = mm 4

29 Momento attorno all'asse Y Il momento attorno ad Y può essere valutato in maniera analoga a quello attorno all'asse X. E' tuttavia necessario tener presente che l'asse Y globale della sezione non coincide con l'asse y baricentrico del singolo rettangolo nel caso dei rettangoli 2 e 4. Per valutare il contributo di questi ultimi al momento attrorno all'asse Y globale si rende quindi necessario includere il momento di trasporto. 1 J Y1 := 12 ( 2 180) J Y2 := ( ) J Y3 := ( )3 ( ) J Y4 := J Y ( ) J Y := J Y1 J Y2 J Y3 J Y4 J Y = mm 4

30 Quesito 4 Variazione unità di misura Si esprimono la caratteristiche di sollecitazione in N e Nmm.. J x := mm 4 J y := mm 4 M x := N*mm M y := N*mm T y := N

31 Tensioni dovute ad M x ato che, vista la simmetria, l'asse "X" è uno degli assi principali di inerzia, la flessione attorno ad "X" è un caso di flessione retta. Le tensioni consistono quindi nella sola σ z, sono date dalla formula di Navier e risultano constanti con "X" e lineari in "Y". I valori massimi e minimi si verificano nelle zone indicate nella figura seguente. Su questa linea σ z assume valore minimo - X G Y + Su questa linea σ z assume valore massimo y := σ zmx ( y) M x := y Formula di Navier per M x J x σ zmx ( y) Variazione con "y" della tensione σ z dovuta al momento M x y σ zmx ( 50) = MPa Valore minimo σ zmx ( 50) = MPa Valore massimo

32 Tensioni dovute ad My ato che anche l'asse "Y" è uno degli assi principali di inerzia, anche la flessione attorno ad "Y" è un caso di flessione retta. Le tensioni consistono quindi nella sola σ z, sono date dalla formula di Navier e risultano constanti con "Y" e lineari in "X". I valori massimi e minimi si verificano nelle zone indicate nella figura seguente. Su questa linea σ z assume valore minimo X G Y Su questa linea σ z assume valore massimo - + x := σ zmy ( x) M y := x Formula di Navier per M y J y 4000 σ zmy ( x) Variazione con "x" della tensione σ z dovuta al momento M y σ zmy ( 50) = MPa Valore minimo x σ zmy ( 50) = MPa Valore massimo

33 Tensioni dovute a Ty Le tensioni dovute a T y consistono quindi nella τ zy, sono date dalla formula di Jourawsky e risultano constanti con "X" e variabili con"y". I valori massimi e minimi si verificano nelle zone indicate nella figura seguente. τ zy assume valore minimo (nullo) agli estremi τ zy assume valore massimo sulla fibra baricentrica X G + Y τ zy assume valore minimo (nullo) agli estremi y := by ( ) := 100 if 50 y if 40 y 50 5 otherwise Funzione che rappresenta la corda "b" nella formula di Jourawsky, in funzione di "y" 150 by ( ) ndamento di b(y) lungo la sezione y

34 50 + y S x ( y) := 100 ( 50 y) if 40 y 50 Funzione che rappresenta il 2 momento statico S x (y) della 40 + y parte di sezione che si trova ( 40 y) if 40 < y < 40 2 al di sopra della quota "y" (formula di Jourawsky) in y ( 40 y) otherwise funzione di "y" S x ( y) ndamento di S x (y) lungo la sezione y τ zy ( y) := T y S x ( y) J x by ( ) Formula di Jourawsky 150 τ zy ( y) 100 Variazione con "y" della tensione tangenziale τ zy y τ zy ( 0) = MPa Valore massimo τ zy ( 50) = 0 MPa τ zy ( 50) = 0 MPa Valori minimi