Solai e solette con armatura incrociata

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1 modulo B3 Le strutture in cemento armato Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali Solai e solette con armatura incrociata I solai e le solette che presentano una armatura resistente in una sola direzione, disposta nel senso della luce, e si possono immaginare costituiti da una serie di travi accostate con base b = cm, nel caso di solai misti, e b = 0 cm per le solette piene con appoggi continui longitudinali; in questi casi si dice infatti che il solaio o la soletta presenta un comportamento a trave, che si verifica ogniqualvolta le due dimensioni del locale da coprire risultano notevolmente differenti, per cui il piano di flessione del solaio risulta parallelo alla minore dimensione, avendo gli appoggi trasversali estremi scarsa influenza nel comportamento flessionale del solaio [fig. ]. fig. Quando invece la differenza fra le due dimensioni è piuttosto limitata, gli appoggi perimetrali influenzano il comportamento flessionale del solaio o della soletta, che presenta così due piani di flessione fra loro ortogonali [fig. ]: in questo caso si dice che il solaio ha un comportamento a piastra o a lastra [fig. 3]. fig. Affinché tale comportamento sussista, è necessario che il rapporto fra le due dimensioni del solaio sia compreso fra,70 e,00 e il solaio si considera costituito da una doppia serie di travi accostate, per cui presentano un armatura resistente disposta secondo due direzioni perpendicolari. Il comportamento a piastra, quando è possibile, consente un migliore sfruttamento delle caratteristiche di resistenza della struttura che viene calcolata in funzione del suo reale comportamento statico. fig. 3 Solaio con armatura incrociata. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0

2 modulo B3 Le strutture in cemento armato Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali Consideriamo la piastra di figura riferita a un sistema di assi cartesiani x e y, e in particolare le due strisce ortogonali t x e t y gravate dei carichi q x e q y esercitati da un carico ripartito uniforme q, agente perpendicolarmente alla piastra rispetto al suo piano medio. È evidente che la piastra è soggetta a flessione e, tenendo presenti le sue caratteristiche geometriche, questa si manifesta con momenti flettenti secondo direzioni ortogonali con valori diversi a seconda della coppia di strisce t x e t y considerate; assumendo il piano medio della superficie come «piano neutro», le tensioni conseguenti alla flessione avranno un diagramma di ripartizione uguale a quello già considerato nelle travi. Tali tensioni si influenzano a vicenda tramite la deformazione per flessione, differente a seconda della coppia di strisce considerate, non modificando il modo con il quale si distribuiscono, ma solo il loro valore: infatti, a seconda della coppia di strisce considerata, la σ agente in una direzione modifica la σ agente in direzione perpendicolare, aumentandola o riducendola; ugualmente la deformazione nel senso dell asse x incrementa o diminuisce quella nel senso y perpendicolare. Analizzando il comportamento delle due strisce generiche t x e t y [fig. 4], queste hanno in comune la piccola area ; la striscia ab, deformandosi per flessione, determina una torsione nella striscia cd e l elemento comune si inflette parallelamente ai lati m, mentre le estremità a e b della striscia t y rimangono orizzontali. Ciò significa che la striscia t x sostiene la t y deformandosi per torsione, e le tensioni di questa sollecitazione assumono valore nullo in mezzeria di t x e valori massimi alle sue estremità c e d. Questo comportamento è reciproco per le due strisce e quindi vale per la striscia t x rispetto a t y e viceversa. Come si può notare, a causa della continuità strutturale esistente, la striscia di una coppia si deforma per flessione e determina, per conseguenza, una torsione nell altra. Il fenomeno flessionale è quindi quello tipico nelle lastre, soltanto che la relazione di proporzionalità che esiste nelle travi fra tensione e momento flettente secondo la luce della trave deve essere ora sostituita dalla relazione di proporzionalità fra tensione e momento flettente secondo la direzione x oppure y, quest ultimo corretto in più o in meno da una certa percentuale del momento flettente che si verifica nella direzione perpendicolare a quella considerata. I momenti flettenti, e di conseguenza lo stato tensionale e deformazionale dovuti ai carichi, assumeranno valori differenti in ogni punto e dipenderanno dai seguenti elementi: a) andamento del diagramma di carico; b) forma della piastra e sue dimensioni geometriche: le forme più comuni sono quelle circolare, rettangolare e quadrata; c) tipo di vincoli al contorno: una piastra rettangolare o quadrata può essere appoggiata o incastrata ai quattro lati, oppure appoggiata su alcuni lati e incastrata negli altri. Considerando una lastra rettangolare uniformemente caricata, gli sforzi interni che in essa si verificano sono: sforzi di taglio con andamento analogo a quello studiato per le strutture lineari, però in questo caso agenti secondo i due assi ortogonali, con valore nullo in corrispondenza degli assi di simmetria, massimo ai bordi e con presumibile andamento lineare; momenti flettenti con presumibile andamento parabolico, con valore nullo ai bordi e massimo in corrispondenza degli assi di simmetria, se la piastra è appoggiata ai bordi, con valore negativo, massimo in valore assoluto, ai bordi e positivo in corrispondenza degli assi di simmetria, nella lastra incastrata; momenti torcenti che agiscono in piani perpendicolari a quello medio, con valore nullo in corrispondenza degli assi di simmetria e massimo ai bordi, se la piastra è appoggiata, con valore nullo ai bordi e massimo in una zona abbastanza vicino ai bordi stessi, se la piastra è incastrata. fig.4 U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0

3 modulo B3 Le strutture in cemento armato Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali 3 Lo studio rigoroso di una piastra rettangolare risulta piuttosto complesso e pertanto il calcolo di progetto viene, il più delle volte, svolto applicando procedimenti approssimati basati sull ipotesi che nel punto di incontro di una qualsiasi coppia di strisce ortogonali l abbassamento sia uguale per entrambe le strisce; in realtà ciò risulta valido solo per la coppia di strisce centrali con vincoli di estremità uguali per ambedue. Con l ipotesi detta sopra il Grashof ha sviluppato un metodo di calcolo delle lastre molto semplice, applicabile per qualsiasi condizione di vincolo. Il carico q uniformemente ripartito gravante sulla piastra deve essere ripartito nei carichi q x e q y [fig. ] che agiscono sulla coppia di strisce centrali, rispettivamente parallele alle dimensioni l x ed l y, imponendo che per entrambe si abbia la medesima freccia, ossia: k x q x l 4 x = k y q y l 4 y [] dove k x e k y rappresentano le condizioni di vincolo; ad esempio, se la striscia di luce l x è appoggiata agli estremi si ha: k x = E I mentre se è incastrata risulta: k x = 384 E I Poiché deve essere: q = q x + q y da cui q y = q q x [] Il valore di q x si ricava dalla relazione: 4 q l q x = y 4 k l x4 + l y [3] Sostituendo nella [] si ricava il valore di q y. Il coefficiente k ha i valori riportati in figura 5 dove sono state considerate varie possibilità di vincolo ai bordi. fig.5 U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0

4 modulo B3 Le strutture in cemento armato Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali 4 Noti i carichi q x e q y, le due coppie di strisce centrali, per le quali si assume una larghezza di,00 m, vengono trattate come travi sollecitate a flessione e taglio; si calcolano quindi i momenti flettenti massimi positivi e negativi delle due strisce in funzione dei relativi vincoli alle estremità, sia in mezzeria sia agli estremi. Con le stesse relazioni viste per le travi vengono poi calcolate l altezza e l area dell armatura metallica, verificando sempre, al termine del calcolo, che la freccia teorica della striscia centrale parallela alla maggiore dimensione della lastra risulti inferiore a quella ammissibile ; applicando il M.S.L. viene considerata la condizione quasi permanente. 00 l. Nel caso di lastre appoggiate o incernierate al contorno che presentano un elevata possibilità di deformarsi, è conveniente raffrontare il valore dello spessore h della lastra, ricavata con la formula di progetto, con quello che si ottiene imponendo che la freccia teorica risulti al massimo uguale a quella ammissibile, ossia: 5 [4] 384 q 4 x l x E I 00 l x dove si è supposto che l x rappresenti la maggiore dimensione; ricavando il momento d inerzia I (espresso in mm 4 ) e ponendo b = 00 mm si ottiene: 0 I d = (in mm) [5] 00 Le armature metalliche calcolate sono relative alle strisce centrali ortogonali larghe,00 m e vengono ripetute per tutte le strisce costituenti due fasce centrali ortogonali [fig. 6] con larghezze corrispondenti a ; nelle fasce l x e l y laterali, a causa della riduzione dei momenti, si può disporre per ogni metro un armatura corrispondente a metà di quella calcolata. Perimetralmente la lastra è vincolata a una struttura lineare (travi o muri) sulla quale trasmette un carico con diagramma triangolare o a trapezio [fig. 7]. fig.6 fig.7 U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0

5 modulo B3 Le strutture in cemento armato ESERCIZI Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali SVOLTI 5 Un serbatoio pensile per acqua avente una capacità di circa 30 m3 presenta una base con dimensioni nette interne di,80 3,50 m ; la soletta di fondo appoggia, con un vincolo assimilabile al semincastro, su quattro travi perimetrali che collegano quattro pilastri in cemento armato. Progettare la soletta di fondo applicando il metodo alle tensioni ammissibili. Si decide di impiegare calcestruzzo classe C 0/5, per cui le relative tensioni ammissibili valgono: 5 5 σ c = 6 + = 8,5 N/mm τ c0 = 0,4 + 0,533 N/mm τ c =, 4 +,686 N/mm 35 e per l acciaio si ha σ s = 8 N/mm. L altezza dell acqua nel serbatoio risulta: 30 h =,80 3,50 3, m. Analisi dei carichi per metro quadrato di soletta Acqua: (,00,00 3,) m 3 /m,00 kn/m 3 Q k = 3,00 kn/m Peso proprio soletta (spess. presunto 0 cm): (,00,00 0,0) m 3 /m 5,00 kn/m 3 G = 5,00 kn/m Considerando ogni striscia larga,00 m, si ha: q = 36,00,00 = 36,00 kn/m 36,00 kn/m Il rapporto fra i lati della soletta è uguale a,5, per cui si comporta come una piastra [figg. a e b]. a U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0

6 modulo B3 Le strutture in cemento armato Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali 6 87, , y x 5 l y = a ) b) a) 3 5 l x = a) ferri a) e b) ogni 00 mm alte rn ati 30 4 b) b a) 3-45 Vengono ora calcolati i carichi q x e q y gravanti sulle due strisce centrali con luce l x ed l y, essendo k = : q l 4 y 36,80 q x = = 4,46 kn/m k l 4 x + l 4 y 3,50 4 +,80 4 q y = q q x = 36,46 = 5,54 kn/m In base alla condizione di vincolo alle estremità, i momenti flettenti delle due strisce centrali larghe,00 m valgono: M x =± q x L x =±,46 3,75 ±,6 kn m M y =± q y L y =± 5,54 3,05 ±9,80 kn m. Progetto della soletta di fondo Lo spessore della piastra viene calcolato in funzione del valore massimo del momento, considerando b = 00 mm; con le tensioni ammissibili assunte si ha: M 9,80 d = r =0,973 6 y 9,08 mm b 00 e assumendo il copriferro di 30 mm, si ha h = 9, = 59,08 mm 60 mm. Nell ipotesi che la soletta fosse stata semplicemente appoggiata sui quattro lati, il suo spessore h si sarebbe calcolato nel modo seguente: f E cm = 000 0,3 = 000 0,3 ck N/mm U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0

7 modulo B3 Le strutture in cemento armato Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali 7 freccia massima: f max = L y = (3,05 3 ) = 3,05 mm momento d inerzia: 5 q 5, I = = 4 y L 4 y 5 34,9 6 mm E cm f max ,05 assumendo b = 00 mm: d = 3 I = 3 34,9 6 55,76 mm b 00 e quindi h = 55, = 85,76 mm 90 mm. Armatura metallica secondo la direzione x: d 30 r = =,74 M,6 r = 6 x b 00 e dalla tabella del Modulo B si ricava t = 0, per r =,43 e quindi: M,6 A s,x = t b =0, x 377,08 mm /m b 00 corrispondente a 5 = 39,699 mm /m, ossia ogni 00 mm. Armatura metallica secondo la direzione y: r = 30 0,939 r = 9, e dalla tabella si ricava t = 0, per r = 0,973 per cui: 9,80 A s,y = 0, ,30 mm 00 corrispondente a = 647,68 mm /m alternati ogni 00 mm. 3. Verifica al taglio Lo sforzo di taglio nella direzione x vale: V x = q x L x mentre nella direzione y risulta: V y = q y L y Le relative tensioni tangenziali sono: V 9,6 τ x = = 3 x 0,68 N/mm < τc0 0,9 b d 0, V y,46 3, 75 = 9,6 kn = 5,54 3,05 38,95 kn 38,95 τ y = = 3 0,333 N/mm < τc0 0,9 b d 0, per cui non occorrono armature a taglio; verranno prolungati fino alle estremità 3 in direzione x e 3 in direzione y. Lo schema delle armature per metro di larghezza è riportato in figura b. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0

8 modulo B3 Le strutture in cemento armato Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali 8 Calcolare allo S.L.U. la soletta massiccia in c.a. per un locale con dimensioni nette interne di 3,50 (l x ) 3,00 (l y ) m, vincolata a semincastro sui quattro lati, per la quale è previsto il carico di esercizio di 5 kn/m. Verrà impiegato calcestruzzo classe C 0/5. Resistenza di calcolo del calcestruzzo: f cd =,33 N/mm Viene considerato uno spessore presunto della soletta di 50 mm.. Analisi dei carichi Permanente strutturale: (,00,00 0,5) m 3 /m 5 kn/m 3 = G = 3,75 kn/m Carico variabile di esercizio: Q k = 5,00 kn/m Con la combinazione fondamentale l azione di calcolo risulta: F d = γ G G + γ Q Q k =,3 3,75 +,5 5,00 = 4,38 kn/m Considerando la striscia centrale larga,00 m, il carico lineare è: q = F d,00 = 4,38,00 = 4,38 kn/m Le luci nette vengono incrementate del 5% per ottenere quelle di calcolo e si ha: L x = l x,05 = 3,50,05 3,68 m L y = l y,05 = 3,00,05 = 3,5 m Il rapporto fra le due dimensioni è 3,68/3,5,7, per cui la soletta può essere calcolata come una piastra; in base alle condizioni di vincolo ai bordi si assume k = e vengono calcolati i carichi q x e q y che gravano sulle due strisce centrali: q 4,38 3,5 q x = = 4 y L 4 y 4,80 kn/m k L 4 x + L 4 y 3, ,5 4 q y = q q x = 4,38 4,80 = 7,58 kn/m. Calcolo dei momenti flettenti In base alle condizioni di vincolo ai bordi, i momenti flettenti risultano: M Ed,x = ± q x L x = ± 4,80 3,68 ± 6,70 kn m M Ed,y = ± q y L y = ± 7,58 3,5 ±,8 kn m 3. Progetto della soletta Considerando il valore più elevato del momento, lo spessore della soletta, essendo b = 00 mm, risulta: M,8 d = = 6 Ed,y 4, mm 0,857 f cd b 0,857,33 00 e assumendo il copriferro di 35 mm, lo spessore reale è: s = 4, + 35 = 39,4 mm 40 mm L armatura necessaria nella direzione x vale: M 6,70 A s,x = = 6 Ed,x 453,79 mm /m 350,49 d 350,49 5 corrispondente a 6 = 47,39 mm /m, ossia ogni 65 mm, mentre nella direzione y: M,8 A s,y = = 6 Ed,y 69,8 mm /m 350,49 d 350,49 5 corrispondente a 6 = 678,584 mm /m, ossia ogni 65 mm. U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0

9 modulo B3 Le strutture in cemento armato Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali 9 4. Verifica al taglio Lo sforzo massimo di taglio vale: q V Ed = y L y 7,58 3,5 = 43,44 kn La resistenza a taglio senza specifiche armature risulta: 00 k = +,38 per cui si assume k = 5 e prolungando 3 = 339,9 mm diritti fino ai bordi, il rapporto geometrico di armatura vale: A 339,9 ρ = sl = 0,0033 < 0,0 b w d ,8 V Rd = 0 3 0, ,933 3 N = 46,933 kn > V Ed,5 e quindi non occorrono specifiche armature per il taglio. Lo schema esecutivo delle armature è riportato in figura a. L x = 368 a L y = y a) + /33 cm b) /33 cm l x = 350 a) /33 cm -400 x l y = a ) + /33 cm b ) / 33 cm a ) / 33 cm ferri a) e b) alte rnati ogni 6,5 cm U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0

10 modulo B3 Le strutture in cemento armato Unità Elementi strutturali verticali e orizzontali VERIFICA Solai e solette con armatura incrociata Progettare con il M.T.A. la soletta semincastrata sui quattro lati che presenta le dimensioni nette interne di mm ; è previsto l impiego di calcestruzzo classe C 5/30 e copriferro di 35 mm. La soletta è soggetta al carico variabile di esercizio di 0 kn/m. [spessore presunto 50 mm; q x = q y,90 kn/m; M ±,55 kn m; s 6,39 mm 30 mm; A s = 49,9 mm con 5 /m; τ max < τc0] 0 0 l x = L = 30 Con i dati dell Esercizio svolto, progettare a flessione e taglio la soletta allo S.L.U. nell ipotesi che i due lati opposti più lunghi siano vincolati a semincastro, mentre sugli altri due si abbia un appoggio semplice, utilizzando calcestruzzo classe C 5/30 (copriferro 35 mm). [q x 7,49 kn/m; q y = 8,5 kn/m; M x 3,7 kn m; M y, kn m; s = 40 mm minimo; A s,x = 357,87 mm con 5 dei quali 3 prolungati fino ai bordi; A s,y = 600,5 mm con = 647,68 mm prolungando 4 fino ai bordi; non occorre armatura a taglio] U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 SEI, 0 0 l y = 300