6. Esercizi di riepilogo

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1 6. Esercii di riepilogo I casi notevoli e gli esempi studiati nei paragrafi precedenti hanno messo in evidena che i diagrammi delle aioni interne, pur essendo diversi caso per caso, seguono alcune regole generali. Il diagramma del taglio presenta una discontinuità nelle seioni in cui è applicato un carico concentrato P; questo avviene sempre nelle seioni di vincolo, dove agiscono le reaioni. In queste seioni non ha valore univoco, ma varia bruscamente dal valore s, assunto nella seione appartenente al tratto di sinistra, al valore d, assunto nel tratto di destra. Si ha: UNITÀ G1 s d = P nalogamente, il diagramma del momento flettente presenta una discontinuità nelle seioni in cui è applicato un momento concentrato, come avviene sempre nelle seioni di incastro. In questi casi non ha valore univoco, ma varia bruscamente dal valore s, assunto nel tratto di sinistra, al valore d, assunto nel tratto di destra. Si ha: s d = P Negli elementi simmetrici il momento flettente rispetta la simmetria, mentre il taglio è parasimmetrico: nelle seioni equidistanti dall asse di simmetria ha uguale modulo, ma verso opposto. Se i carichi sono verticali e rivolti verso il basso: nelle mensole e sono entrambi massimi nella seione di incastro, è sempre negativo (sono tese le fibre superiori); nelle travi appoggiate è massimo sugli appoggi, è massimo in campata, è sempre positivo (sono tese le fibre inferiori). Si traccino ora i diagrammi delle aioni interne degli elementi strutturali assegnati. Per analiare l andamento di N, e in ogni tratto significativo è conveniente fare coincidere ogni volta l origine dell asse con il primo estremo del tratto stesso. 1 Trave ad asse oriontale, simmetricamente caricata da fore concentrate ( FIGU- R 1). Il calcolo delle reaioni è immediato per la simmetria della trave. Si ha: Y = Y = 3P/2 = 1,5P Per l assena di fore parallele all asse, lo sforo normale è nullo su tutta la trave. Tratto : Z = p Y = 1,5P Z = p = 1,5P = 1,5P = 1,5P = = 1,5P = 1,5Pl opyright 212 Zanichelli editore S.p.., ologna [5929] Questo file è una estensione online del corso Zavanella, Leti, eggetti, Progettaione, costruioni e impianti

2 FIGUR 1 Trave simmetrica: carichi concentrati. P P P D E 1,5 P 1,5 P l l l l 4l 1,5 P P,5 P,5 P P P 1,5 P 1,5 Pl 2 Pl 1,5 Pl Tratto D: Z = p Y = 1,5P P =,5P =,5P D =,5P Z = p = 1,5P ( l) P = 1,5P( l) P = 1,5Pl D = 1,5P (l l) P l = 2Pl Seione D ( = 2l): T D = 1,5P D = 3Pl Pl = 2Pl Il calcolo delle aioni interne nei tratti DE, E può essere omesso vista la simmetria della trave. 2 Trave ad asse oriontale, simmetricamente caricata da fore distribuite ( FIGUR 2). Il calcolo delle reaioni è immediato per la simmetria della trave. Si ha: Y = Y = 4 1,2 2 2 = 8,8 kn Per l assena di fore parallele all asse, lo sforo normale è nullo su tutta la trave. Tratto : Z = p Y = 4 Z = p = 4 /2 = 2 2 = 4 = = 2 2 = = 4 1,2 = 4,8 kn = 2 1,2 2 = 2,88 kn m Tratto : Z = p Y = 4 1,2 8,8 2 = 4 2 = 4 2 = 4 kn = = 4 kn opyright 212 Zanichelli editore S.p.., ologna [5929] Questo file è una estensione online del corso Zavanella, Leti, eggetti, Progettaione, costruioni e impianti

3 4 kn / m 4 kn / m Z 2 kn / m Z E D FIGUR 2 Trave simmetrica: carichi distribuiti. 1,2 4, 1,2 Y Y 4 4,8 Y Y 4,8 4 2, 2,88 2,88 1,12 Poiché in questo tratto il taglio passa da un valore positivo a un valore negativo, si deve determinare l ascissa della seione di taglio nullo; qui andrà poi calcolato il momento flettente, che assumerà il valore di massimo relativo. In questo caso, per la simmetria della trave, la seione cercata è quella di meeria ( = 2, m). Z = p = 4 1,2 (,6 ) 8,8 2 2 = 2,88 kn m = ,88 = 2,88 kn m ( ) = ,88 = 1,12 kn m 2 = 2 4 2,88 Nel tratto D il diagramma del taglio è para-simmetrico e il diagramma del momento è simmetrico rispetto al tratto. Può anche essere interessante conoscere le ascisse 1 e 2 in cui il momento si annulla. Esse sono le soluioni dell equaione Z =, ossia: 2 4 2,88 = Dalla espressione risolutiva delle equaioni di secondo grado risulta 1 =,94 m e 2 = 3,6 m. b b ac = ± 2 4 2a 3 Trave Gerber ( FIGUR 2). Tratto D: Z = p Y = 1,5 Z = p = 1,5 2 =,752 D = D = = 1,5 2 = 3, kn =, = 3 kn m opyright 212 Zanichelli editore S.p.., ologna [5929] Questo file è una estensione online del corso Zavanella, Leti, eggetti, Progettaione, costruioni e impianti

4 FIGUR 3 Trave Gerber. 1,5 kn / m D Y Y 2, 3, 2, Y 3,25 2,17 3 1,25 3 2,5,52 Tratto : Z = p Y = 1,5 2 6,25 1,5 = 3,25 1,5 = 3,25 1,5 = 3,25 kn = 3,25 1,5 3 = 1,25 kn Poiché in questo tratto il taglio passa da un valore positivo a un valore negativo, si deve determinare l ascissa della seione di taglio nullo. In tale seione andrà poi calcolato il momento flettente, che assumerà il valore di massimo relativo. Si ha: Z = p = 1,5 (2 ) 2 =,75 2 3,25 3 Z = 3,25 1,5 = = 2,17 m =,75 3,25 3 = 3 kn m =, , = 1 2 6,25 =,75 (4 2 4) 6,25 = ( ) =,75 2,17 2 3,25 2,17 3 =,52 kn m Tratto : Z = s Y = 1,25 6,25 1,5 = Z = s = 2,5 1,25 = 3,25 1,5 = 1,25 kn = 2,5 1,25 = 2,5 kn m = 1,25 kn = 2,5 1,25 2 = Il valore nullo di era prevedibile perché tipico delle cerniere interne, dove la rotaione è perfettamente consentita. opyright 212 Zanichelli editore S.p.., ologna [5929] Questo file è una estensione online del corso Zavanella, Leti, eggetti, Progettaione, costruioni e impianti

5 FIGUR 4 Trave ad asse speato. P a l d P N s P Pa Pa 4 ensola ad asse speato ( FIGUR 4). La risoluione degli elementi ad asse speato non comporta particolari difficoltà: basta considerare gli spigoli come seioni significative. Nei tratti non oriontali l asse deve comunque coincidere con l asse strutturale; la convenione sui segni delle aioni interne non cambia se si immagina di raddriare l elemento secondo l asse oriontale. Tratto : N Z = s Z = Z = s Y = P Z = s = P N = N = = = P = P = = P a Tratto : N Z = s Z = P Z = s Y = Z = P a N = N = P = = = = P a 5 Pilastro con carico concentrato ( FIGUR 5). Se si trascura il peso proprio l elemento risulta sollecitato dallo sforo normale uniforme di compressione N = 4 kn. Se, invece, si vuole tenere conto anche del peso proprio (1 kn/m) il pilastro risulta ancora soggetto a solo sforo normale, che però varia linearmente da un valore minimo in sommità a un valore massimo al piede. Procedendo dall alto, si ha: N Z = s Z = 4 1 N = 4 1 = 4 kn N = = 43 kn opyright 212 Zanichelli editore S.p.., ologna [5929] Questo file è una estensione online del corso Zavanella, Leti, eggetti, Progettaione, costruioni e impianti

6 FIGUR 5 Pilastro soggetto a solo sforo normale. 4 kn N 4 kn Z 3, 1 kn / m 3 kn 43 kn 6 Pilastro con carico concentrato e carico distribuito perpendicolare all asse ( FIGU- R 6). Trascurando il peso proprio e procedendo dall alto, si ha: N Z = s Z = 4 Z = s Y = 1 Z = s = 1 2 = N = N = 4 kn = 1 = = = 1 3 = 3 kn = 1 3 = 45 kn m 2 7 Trave soggetta a momento torcente uniforme ( FIGUR 7). Se il piano dei carichi non contiene l asse della trave, si ha anche momento torcente. In questo caso occorre tracciare anche il relativo diagramma. I vincoli di estremità siano due generici ritegni antitorsionali, cioè capaci di opporsi a rotaioni attorno all asse della trave reagendo ognuno con una coppia torcente concentrata: t = t = 1 4 = 2 kn m 2 Il diagramma del momento torcente si costruisce con criteri analoghi a quelli del diagramma del taglio di una trave appoggiata soggetta a carico uniformemente distribuito. 4 kn m t = 1 kn m / m N 3, 1 kn / m 2 kn m 4, 4 kn 3 kn 45 kn m t 2 kn m FIGUR 6 Pilastro soggetto a sforo normale, taglio e momento flettente. FIGUR 7 Trave simmetrica soggetta a momento torcente uniformemente distribuito. opyright 212 Zanichelli editore S.p.., ologna [5929] Questo file è una estensione online del corso Zavanella, Leti, eggetti, Progettaione, costruioni e impianti