Progetto agli stati limite di elementi strutturali in c.a.

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1 Progetto agli stati limite di elementi strutturali in c.a.

2 4,6 5, 5,4 Caso di studio Il caso di studio è rappresentato da un edificio di 4 piani, con altezza di interpiano pari a 3m, destinato a civile abitazione. 5 5,9 Impalcato del piano tipo

3 4,6 5, 5,4 Dimensionamento del solaio Spessore minimo dei solai a portata unidirezionale: h 5 luce di calcolo e cm (D.M ) Spessore minimo della soletta: 4 cm (D.M ) Spessore minimo delle nervature gettate in opera: 8 dell interasse e 8 cm (D.M ) Spessore minimo degli sbalzi (EC ): d s luce sbalzo 0 per calcestruzzo poco sollecitato d s luce sbalzo 7 per calcestruzzo molto sollecitato l s =.5 m,5 5 4,9,5 l max = 5.9 m pavimento assetto di pendenza soletta balcone impermeabilizzazione intonaco d s = m 5,9 h = 4 m massetto pavimento malta allettamento armatura di ripartizione laterizio forato 40 0 intonaco 99.0 solaio piano tipo

4 Analisi dei carichi Peso del solaio Strato Spessore (m) Peso unitario Peso 4.0 pavimento malta allettamento massetto armatura di ripartizione laterizio forato 40 0 intonaco 99.0 solaio piano tipo Soletta collaborante in c.a. Nervature in c.a. Laterizi 04 5 KN/m 3 KN/m (interasse 5m) (interasse 5m) 5 5 KN/m 3 /5= = KN/m 4 KN/m 3 /5= =.76 KN/m massetto di pendenza Peso dello sbalzo pavimento soletta balcone impermeabilizzazione intonaco Totale 3.76 KN/m Strato Spessore (m) Peso unitario Peso Soletta in c.a. 5 KN/m 3 5 KN/m

5 Analisi dei carichi Sovraccarichi permanenti sul solaio Elemento Spessore (m) Peso unitario Peso massetto pavimento malta allettamento armatura di ripartizione Pavimento in piastrelle 0 0 KN/m 3 4 KN/m Allettamento 0 0 KN/m 3 4 KN/m.0 laterizio forato 40 0 intonaco 99.0 solaio piano tipo Massetto 04 8 KN/m 3 7 KN/m Intonaco civile 0 0 KN/m 3 4 KN/m Totale.9 KN/m

6 Analisi dei carichi Sovraccarichi permanenti sullo sbalzo pavimento massetto di pendenza soletta balcone impermeabilizzazione intonaco Elemento Pavimento in piastrelle Manto impermeabilizzante Massetto di pendenza Spessore (m) Peso unitario Peso 0 0 KN/m 3 4 KN/m 003 KN/m 04 8 KN/m 3 7 KN/m Intonaco civile 0 0 KN/m 3 4 KN/m Totale.6 KN/m

7 Analisi dei carichi Chiusure verticali intonaco interno mattone forato intonaco rustico isolante intercapedine mattone forato intonaco esterno Strato Intonaco esterno Muratura esterna Intonaco rustico Spessore (m) Peso unitario Peso 03 0 KN/m 3 6 KN/m 6 KN/m 3.9 KN/m 0 0 KN/m 3 4 KN/m Isolante 03 KN/m 3 03 KN/m Interpiano netto: =.8 m Muratura interna Intonaco interno 06 KN/m 3 66 KN/m 0 0 KN/m 3 4 KN/m Totale 4.0 KN/m Incidenza forfettaria delle aperture: 0% Peso totale per metro lineare di parete: 9.05 kn/m ll peso delle chiusure esterne grava solo e direttamente sulle travi di bordo e sui cordoli perimetrali e non va ripartito sui solai

8 Analisi dei carichi Partizioni verticali interne 6 intonaco mattone forato intonaco Strato Intonaco civile Muratura in forati Intonaco civile Spessore (m) Peso unitario Peso 0 0 KN/m 3 4 KN/m 06 6 KN/m 3 66 KN/m 0 0 KN/m 3 4 KN/m Totale.46 KN/m Incidenza in pianta: superficie verticale pareti / superficie lorda impalcato =. Peso divisori ripartiti:.75 KN/m

9 Analisi dei carichi Totale dei carichi su un solaio per piano tipo Permanenti Solaio 3.76 KN / m Sovraccarichi permanenti.9 KN / m Tramezzi.46 KN / m Accidentali KN / m Destinazione: civile abitazione.00 KN / m Totale dei carichi su un balcone Permanenti Soletta 5.00 KN / m Sovraccarichi permanenti.6 KN / m Accidentali KN / m Destinazione: civile abitazione 4.00 KN / m

10 4,6 5, 5,4 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione - Condizioni di carico Il solaio viene calcolato secondo lo schema di trave continua su più appoggi Si fa riferimento ad una striscia di solaio larga m Si considerano le seguenti condizioni di carico: 6.6 KN/m,9 5 4,9,5 7.4 KN/m 4.0 KN/m.0 KN/m,5 5 4,9 5,9 5,9,5 5 4,9 5,9 G k : carichi permanenti Q k : carichi accidentali su tutte le campate 4.0 KN/m.0 KN/m.0 KN/m.0 KN/m,5 5 4,9 5,9,5 5 4,9 5,9 Q k : carichi accidentali su campate contigue alternate Q k3 : carichi accidentali su campate alternate

11 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione - Combinazioni di carico Il solaio viene calcolato considerando 3 diverse combinazioni di carico secondo l espressione (D.M ): F d g G k p P k q Q k n i 0i Q ik g =.4 q =.5 F d g G k q Q k F d g G k q Q k q Qk 6 KN/m 3 KN/m q Q k 6 KN/m 3 KN/m q Gk 9.7 KN/m 0 KN/m g Q k 9.7 KN/m 0 KN/m,5 5 4,9 5,9,5 5 4,9 5,9 Combinazione Combinazione 3 KN/m 3 KN/m Q d 9.7 KN/m 0 KN/m Gd F d3 g G k q Q 3k,5 5 4,9 5,9 Combinazione 3

12 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione Combinazione di carico q Q k q Gk 6 KN/m 9.7 KN/m 3 KN/m 0 KN/m M 3 M 3 4,5 5 4,9 5,9 l l l 3 nodo : Metodo delle forze: equazioni di congruenza: l G Q G Q l l l l M M M3 g k q k g k 6EJ 3EJ 3EJ 6EJ 4EJ l nodo 3: l l l M 3 M G Q 3 g k q k ggk qqk 6EJ 3EJ 3EJ 3 4EJ 3 3 l3 4EJ q k 3 l 4EJ sbalzo campata campata campata 3 luce (m) g G k 9.7 (KN/m) 0 (KN/m) 0 (KN/m) 0 (KN/m) q Q k 6 (KN/m) 3 (KN/m) 3 (KN/m) 3 (KN/m) ,5 5 4,9 5,9

13 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione Combinazione di carico q Q k g Q k 6 KN/m 9.7 KN/m 3 KN/m 0 KN/m,5 5 4,9 5,9 nodo : Metodo delle forze: equazioni di congruenza: l G Q G Q l l l l M M M3 g k q k g k 6EJ 3EJ 3EJ 6EJ 4EJ l nodo 3: l l l M 3 M G Q 3 g k q k ggk qqk 6EJ 3EJ 3EJ 3 4EJ 3 3 l3 4EJ q k 3 l 4EJ sbalzo campata campata campata 3 luce (m) g G k 9.7 (KN/m) 0 (KN/m) 0 (KN/m) 0 (KN/m) q Q k 6 (KN/m) 0 (KN/m) 3 (KN/m) 3 (KN/m) ,5 5 4,9 5,

14 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione Combinazione di carico 3 3 KN/m 3 KN/m Q d 9.7 KN/m 0 KN/m Gd,5 5 4,9 5,9 nodo : Metodo delle forze: equazioni di congruenza: l G Q G Q l l l l M M M3 g k q k g k 6EJ 3EJ 3EJ 6EJ 4EJ l nodo 3: l l l M 3 M G Q 3 g k q k ggk qqk 6EJ 3EJ 3EJ 3 4EJ 3 3 l3 4EJ q k 3 l 4EJ sbalzo campata campata campata 3 luce (m) g G k 9.7 (KN/m) 0 (KN/m) 0 (KN/m) 0 (KN/m) q Q k 0 (KN/m) 3 (KN/m) 0 (KN/m) 3 (KN/m) ,5 5 4,9 5,9

15 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Diagramma di inviluppo dei momenti Per costruire il diagramma di inviluppo dei momenti si tiene conto anche di due condizioni limite: Singola campata incastrata (rigidezza torsionale delle travi) Singola campata appoggiata (momento massimo in campata) ,5 5 4,9 5,9

16 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a flessione d d' xxd cu ' s f b cd kx z a.n. N' c N c triangolo parabola parabola rettangolo rettangolo ridotto k k k k x A=A s b cu f yd N t =0,5 k =0,33 k =0,67 =0,38 k =0,8 =0,46 k =0,8 =0,4 z = d-kx = 9 d per diagramma parabola rettangolo Risultante delle tensioni di compressione del calcestruzzo: N c 85 f cd b x Distanza asse neutrolembo compresso: x = xd Coefficiente di riduzione per carichi di lunga durata Coefficiente di riduzione per diagramma semplificato f cd f ck c c x 85f cd x

17 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a flessione Risultante delle tensioni nell acciaio compresso: N' c A' s ' s A' s s' f yd Area del ferro compresso Tensione nell acciaio compresso Rapporto tensionale: s' ' s f yd Valore di progetto della resistenza dell acciaio: f yd f yk s Risultante delle tensioni nell acciaio teso: N t A s s A s s f yd Area del ferro teso Tensione nell acciaio teso Rapporto tensionale: s s f yd

18 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a flessione d A=A s b d' = d xxd cu cu ' s f yd f b cd kx z a.n. N' c N c N t triangolo parabola parabola rettangolo rettangolo ridotto k k k k =0,5 k =0,33 k =0,67 =0,38 k =0,8 =0,46 k =0,8 =0,4 x z = d-kx = 9 d per diagramma parabola rettangolo Equilibrio alla traslazione: N c N' c N t x- s - s' u 0 M Percentuale meccanica di armatura Equilibrio alla rotazione: Rd N c As f yd bd 85 f cd u A' s A s kx kx d kx N' c d d' M Rd d As kx s s' u f yd

19 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a flessione Determinazione del campo di comportamento au (-0,0) retta a armatura bilanciata retta b 3 ay 4 ay retta c ' cu =(0,0035) d' a' d Campo : a = au campo a: a ay campo b: a > ay Campo 3: au a ay Campo 4: ay a 0 0 c cu c = cu c = cu La linea di separazione campo a campo b individua le condizioni: x ay au x au a au ' a ay s s' ay s s' u La linea di separazione campo campo 3 individua le condizioni: x x au a au c cu s' cu s s' u s La linea di separazione campo 3 campo 4 individua le condizioni: x a ay 3 3 c cu x3 3 s' ay cu s s' u s

20 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a flessione Determinazione del campo di deformazione della sezione Dati: A a, A a, b, d, d, cu, au, retta a armatura bilanciata retta b 3 4 ay retta c ' cu =(0,0035) d' a' d f yd, f c Si calcola: A' a A s f d'd xxd yd bd 85 f cd au (-0,0) ay d Aa < (campo a) a au ' a ay c cu s b 0 0 s' < < (campo b) a au ' a ay c cu s 0 s' < < 3 (campo 3) au a ay a ay c cu s ' s' > 3 (campo 4) ay a a ay c cu 0 s 0 ' s'

21 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Determinazione della posizione dell asse neutro: Campo : a = au Si risolve per tentativi l equazione di equilibrio alla traslazione: x- s - s' u 0 Dati A s, A s, b, d, d, f yd, f cd, E a Scelto un valore per x au (-0,0) retta a Nuovo valore di x armatura bilanciata retta b 3 ay 4 ay retta c ' cu =(0,0035) d' a' d c au x x Si calcola: ' a c xd - d' xd ' ' a a E a s' ' a f yd s Si verifica: x- si s - s' u 0 no Calcolo del momento resistente

22 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Determinazione della posizione dell asse neutro: Campo 3: c = cu Si risolve per tentativi l equazione di equilibrio alla traslazione: x- s - s' u 0 Dati A s, A s, b, d, d, f yd, f cd, E a Scelto un valore per x au (-0,0) retta a Nuovo valore di x armatura bilanciata retta b 3 ay 4 ay retta c ' cu =(0,0035) d' a' d a Si calcola: cu x x ' a cu xd - d' xd s' s Si verifica: x- si s - s' u 0 no Calcolo del momento resistente

23 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Determinazione della posizione dell asse neutro: Campo 4: c = cu, c < cy Si risolve per tentativi l equazione di equilibrio alla traslazione: x- s - s' u 0 Dati A s, A s, b, d, d, f yd, f cd, E a Scelto un valore per x au (-0,0) retta a Nuovo valore di x armatura bilanciata retta b 3 ay 4 ay retta c ' cu =(0,0035) d' a' d Si calcola: x xd - d' a cu ' a cu s' x xd a a E a s a f yd Si verifica: x- si s - s' u 0 no Calcolo del momento resistente

24 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Momento resistente: M Rd d A kx kx s kx s s' u f yd La sezione è verificata se risulta: M sd M rd Momento agente Momento resistente

25 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Predimensionamento delle armature L area delle armature da disporre allo stato limite ultimo è fornita dalla relazione A s 0. 9 Mu d f yd appoggio Momento agente altezza utile d A s per metro A s per travetto Barre disposte per travetto A s disposta per travetto 7.56 (KNm) cm 3.7 cm.86 cm.6 cm.3 (KNm) cm 3.00 cm.50 cm.6 cm (KNm) cm 6.06 cm 3.03 cm cm (KNm) cm 5.09 cm.55 cm cm campata.33 (KNm) 8 cm.88 cm.44 cm 0.57 cm 9.5 (KNm) cm.63 cm.3 cm 0.57 cm (KNm) 8 cm 5.4 cm.6 cm cm

26 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Sezioni di verifica: Mezzeria campata 3: M sd = KNm Appoggio 3: M sd = KNm Dati dei materiali: Acciaio FeB44k f yk 430MPa f yd f yk s MPa E a 0000MPa au 0 ay f yd Ea 0078 Calcestruzzo R ck 5MPa fck 83Rck 75MPa fcd fck c MPa cu 0035

27 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Verifica a flessione Calcolo del momento resistente x Sezione di mezzeria della campata 3 Dati sezione: b = m d = m d = 0 m = 0 / = 09 A a = 3.4 cm A a = 5.4 cm u = A a / A a = 58 As f yd bd 85 f cd ay au. au ay 83 x s s' u x x au cu ay cu x s s' u x s s' u Poiché < lo stato di deformazione rientra nel campo a. Il valore di x si ottiene per tentativi

28 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Sezione di mezzeria della campata 3 Determinazione della posizione dell asse neutro x c a a s x (s-s u) , x xd 3. 99cm l asse neutro cade all interno della soletta kx M Rd d As yd kx M Sd KNm kx s s' u f 4 KNm M Rd M Sd La sezione è verificata

29 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Verifica a flessione Calcolo del momento resistente x Sezione all appoggio 3 Dati sezione: b = m d = m c = 0 m = 0 / = 09 A a = 4.5 cm A a = 6.78 cm u = A a / A a = 667 As f yd bd 85 f cd ay au. au ay 5 x s s' u x x au cu ay cu x s s' u x s s' u Poiché < lo stato di deformazione rientra nel campo a. Il valore di x si ottiene per tentativi

30 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Sezione all appoggio 3 Determinazione della posizione dell asse neutro x c a a s x (s-s u) , , ,000 kx M Rd d As yd 98 kx M Sd 44. 9KNm kx s s' u f 44. KNm M Rd M Sd La sezione è verificata

31 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a taglio (Eurocodice ) Valori della resistenza di calcolo: V Rd, resistenza di calcolo di elementi privi di armatura a taglio; V Rd, massima forza di taglio di calcolo sopportata senza rottura delle bielle compresse di calcestruzzo; V Rd3, resistenza di calcolo di elementi con armatura a taglio. Se: VSd V Rd Non è richiesta armatura a taglio VSd V Rd E necessaria un armatura a taglio tale che V Sd V Rd3 In ogni caso deve essere: VSd V Rd

32 Verifica allo stato limite ultimo Verifica a taglio (Eurocodice ) V Rd k. 40 b d 5 Rd Rd, resistenza unitaria a taglio di calcolo di riferimento K =.6 d pc, tensione di precompressione z, braccio di leva 9d V Rd3 A s sw l, resistenza unitaria a taglio di calcolo di riferimento zf ywd V Rd Rd 0 5 f ctk 05 b w, larghezza minima della sezione bz cot l. l cot cot c A sl, angolo tra il puntone compresso e l asse longitudinale cot Per rinforzi a taglio verticali A sw, area dell armatura a taglio s, passo dei ferri V Rd3 f pc w f ctk05, frattile 5% della resistenza a trazione semplice bd d, altezza utile della sezione A s sw zf cd ywd 7 fck 00 Fattore di efficienza, inclinazione dell armatura a taglio cot cot Per rinforzi a taglio inclinati sin f ywd, tensione di snervamento di progetto dei rinforzi a taglio

33 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Verifica a taglio La verifica del solaio viene fatta nelle sezioni di passaggio tra la fascia piena e quella alleggerita. f ctm 3 5ck N mm f ctk fctm N mm Rd 0 KN m. 5 fctk 05 c 5 Sezione Comb. (KN) Comb. (KN) Comb. 3 (KN) V Sd (KN) d (m) A sl (cm ) l b V Rd (KN) dx sin dx sin dx sin In tutte le sezioni V Rd < V Sd è necessaria l armatura a taglio

34 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Verifica a taglio Si verifica che la sezione sia sufficiente a sopportare il taglio: V Rd V Sd V Rd bz cot cot cot f cd Armatura a taglio costituita da ferri piegati a 45 cot = Sezione V Sd (KN) b (m) z (m) V Rd (KN) dx sin dx sin dx sin In tutte le sezioni V Rd > V Sd

35 Verifica del solaio allo stato limite ultimo Verifica a taglio Calcolo dell armatura a taglio sv A Rd sw 3 zf ywd cot cot sin L Eurocodice prescrive la distanza massima per l armatura a taglio in funzione del rapporto tra taglio sollecitante V Sd e taglio limite V Rd : Sezion e s max = 8 d 30 cm se V Sd / V Rd s max = 6 d 30 cm se < V Sd / V Rd 67 s max = 3 d 30 cm se V Sd / V Rd > 67 V Sd (KN) V Rd (KN) V Sd / V Rd d (m) s max (m) A sw (cm ) Ferri disposti per travetto A sw per travetto (cm ) dx sin dx sin dx sin

36 Predimensionamento delle travi Il carico trasmesso dal solaio alle travi del telaio è pari alle reazioni degli appoggi dello schema di trave continua. q Gk 9.7 KN/m 0 KN/m q Qk 6 KN/m 3 KN/m M 3 M 3 4 M 3 M 3 4,5 5 4,9 5,9,5 5 4,9 5,9 l l l l 3 l l 3 Carichi permanenti Carichi accidentali sbalzo campata campata campata 3 3 accidentali 4 luce (m) G k 6.6 (KN/m) 7.4(KN/m) 7.4 (KN/m) 7.4(KN/m) permanenti Q k 4 (KN/m) (KN/m) (KN/m) (KN/m),5 5 4,9 5,9 Carichi sulle travi telaio telaio telaio 3 telaio 4 G k 3 (KN/m) (KN/m) (KN/m) 7.04 (KN/m) Q k 3.5 (KN/m) 8. (KN/m).84 (KN/m) 4.73 (KN/m)

37 Predimensionamento delle travi Stima dei massimi momenti agenti La generica travata viene assimilata ad una trave continua G + Q d d 6.6 KN/m G + Q d dk KN/m M 3 M 3 4 M 3 M 3 4 4,6 5, 5,4 4,6 5, 5,4 l l l 3 telaio l l l 3 telaio G d+ Q d 8.94 G + Q d d 396 KN/m M 3 M 3 4 4,6 5, 5,4 l l l 3 Massimo momento negativo Massimo momento positivo 4,6 M 3 M 3 5, l l telaio 3 telaio M Sd pl pl 3 M Sd pl Momenti massimi telaio telaio telaio 3 telaio 4 negativo 84.6 (KNm) (KNm) 4.65 (KNm) 9.3 (KNm) positivo 8.55 (KNm) 87 (KNm) 68.6 (KNm) (KNm)

38 Predimensionamento delle travi Altezza utile della sezione Equazione di equilibrio alla rotazione per sezione con armatura semplice: M Rd Nc z M Rd 85 fcd bd x kx L altezza utile della sezione, fissata la larghezza b, si ottiene: Ponendo M Rd = M Sd E risolvendo rispetto a d d d 85 f M Rd bx kx cd Per diagramma del cls parabola - rettangolo: x = x / d = 59 = 8 k = M Sd massimo

39 4,6 5, 5,4 Predimensionamento dei pilastri Analisi dei carichi 5,5 3 5,9 4 Carico: P = G d + 9 Q d Peso proprio: (n / 00) P n, numero dei piani

40 4,6 5, 5,4 Predimensionamento dei pilastri Analisi dei carichi 5,5 5,9 Pilastro peso area o lunghezza carico solaio 5.68 (KN/m ) 6.46 (m ) 59.4 (KN) tramezzi.46 (KN/m ) 6.46 (m ) (KN) trave 3.75 (KN/m) 4.9 (m) (KN) accidentali (KN/m ) 6.46 (m ) peso proprio totale (KN) 350 4/00 (KN) 364 (KN) q g

41 4,6 5, 5,4 Predimensionamento dei pilastri Analisi dei carichi 5,5 5,9 Pilastro peso area o lunghezza carico solaio 5.68 (KN/m ) 3 (m ) (KN) balcone 6.6 (KN/m ) 4.05 (m ) (KN) tramezzi.46 (KN/m ) 3 (m ) (KN) parete esterna 9.05 (KN/m) 5.65 (m) (KN) trave 3.75 (KN/m) 5.3 (m) (KN) accidentali solaio (KN/m ) 3 (m ) (KN) accidentali balcone 4 (KN/m ) 4.05 (m ) (KN) peso proprio /00 (KN) totale 4 (KN)

42 4,6 5, 5,4 Predimensionamento dei pilastri Analisi dei carichi 5,5 3 5,9 Pilastro 3 peso area o lunghezza carico solaio 5.68 (KN/m ) 6.6 (m ) (KN) balcone 6.6 (KN/m ) 4.05 (m ) (KN) tramezzi.46 (KN/m ) 6.6 (m ) (KN) parete esterna 9.05 (KN/m) 5.5 (m) (KN) trave 3.75 (KN/m).7 (m).4 (KN) accidentali solaio (KN/m ) 6.6 (m ) (KN) accidentali balcone 4 (KN/m ) 4.05 (m ) (KN) peso proprio.65 4/00 (KN) totale 3 (KN)

43 4,6 5, 5,4 Predimensionamento dei pilastri Analisi dei carichi 5,5 5,9 4 Pilastro 4 peso area o lunghezza carico solaio 5.68 (KN/m ) 4.45 (m ) (KN) tramezzi.46 (KN/m ) 4.45 (m ).0.4 (KN) parete esterna 9.05 (KN/m) 4.9 (m) (KN) trave 3.75 (KN/m) 4.9 (m) (KN) accidentali solaio peso proprio totale (KN/m ) 4.45 (m ) (KN) 7 4/00 (KN) 8 (KN)

44 Predimensionamento dei pilastri Predimensionamento della sezione Pilastro Pilastro Pilastro 3 Pilastro 4 piano (KN) 4 (KN) 3 (KN) 8 (KN) piano 3 78 (KN) 8 (KN) 464 (KN) 564 (KN) piano 09 (KN) 33 (KN) 696 (KN) 846 (KN) piano 456 (KN) 644 (KN) 98 (KN) 8 (KN) lo sforzo normale deve risultare minore di quello calcolato per compressioni centrate con una maggiorazione del 5 % del coefficiente c (D.M. 9 / / 996, 4...) Minima dimensione trasversale ammissibile per un pilastro (EC. Punto 5.4..): 00 mm per pilastri a sezione piena gettati in opera (verticalmente); 40 mm per pilastri prefabbricati gettati in orizzontale. A c,nec 85 N Sd 85 f /. 5 Area di cls necessaria (cm ) Pilastro Pilastro Pilastro 3 Pilastro 4 cd piano piano piano piano

45 Predimensionamento dei pilastri Predimensionamento delle armature L area di acciaio da disporre in un pilastro in cemento armato deve essere in grado di assorbire almeno il 5 % dello sforzo normale di progetto N Sd (Eurocodice, ). Il D.M. 9 / / 996 prescrive inoltre: un minimo tecnologico: almeno quattro barre nei pilastri a sezione quadrata o rettangolare e sei nei pilastri a sezione circolare, di diametro non inferiore a mm; un minimo geometrico: il rapporto geometrico d armatura, non deve essere inferiore allo 3 % (e non superiore al 6%); Il D.M. 8/ 5 / 003 prescrive inoltre: il rapporto geometrico d armatura deve essere non inferiore all % e non superiore al 4%; A s 5 N f yd Sd 5 NSd f /. 5 cd A c,nec Area di ferro necessaria (cm ) Pilastro Pilastro Pilastro 3 Pilastro 4 A s, nec Ferri A s /A c A s, nec Ferri A s /A c A s, nec Ferri A s /A c A s, nec Ferri A s /A c piano Ø 8.%.65 4 Ø 8.% 93 4 Ø 8.%.3 4 Ø 8.% piano Ø 8.% Ø 8.%.86 4 Ø 8.%.6 4 Ø 8.% piano Ø 0.% Ø 0.%.79 6 Ø 0.% Ø 0.% piano Ø 0.% Ø 0.% Ø 0.% Ø 0.%

46 Analisi strutturale mediante programma di calcolo L analisi strutturale studia la risposta di una struttura soggetta ad azioni esterne, ricercando soluzioni in forma esatta o in forma approssimata. Il Metodo degli Elementi Finiti è il metodo di soluzione approssimato del problema strutturale più utilizzato da codici di calcolo.

47 Il metodo degli Elementi Finiti Il Metodo degli Elementi Finiti discretizza delle funzioni che definiscono le variabili di campo. Il dominio completo viene suddiviso in un insieme finito di sottodomini o elementi. Le funzioni incognite sono definite nell ambito di ciascun elemento sulla base di un numero finito di parametri nodali (forze o spostamenti) e di funzioni, dette funzioni di forma.

48 Le funzioni di forma Le funzioni di forma legano gli spostamenti nodali agli spostamenti dei punti interni dell elemento. Ad ogni specifico elemento è associata una funzione di forma in dipendenza del numero dei gradi di libertà dell elemento stesso. La scelta del tipo di elemento finito e della funzione di forma ad esso associabile dipende dallo stato di deformazione che si intende rappresentare. Gli elementi finiti si possono suddividere in: elementi monodimensionali; elementi bidimensionali; elementi tridimensionali.

49 Il Programma Sap000 Utilizza un modello di calcolo agli elementi finiti. Vari tipi di elementi base : TRUSS: elemento monodimensionale: asta con solo sforzo normale N. FRAME: elemento monodimensionale: asta con sollecitazioni N, Tx, Ty, Mx, My, Mz. SHELL: elemento bidimensionale: piastra (regime di sforzi flettenti), membrana (solo sforzi nel piano dell elemento, N, T) o guscio (somma dei due). ASOLID: solido assialssimetrico in condizioni di carico assialsimmetriche. SOLID: elemento tridimensionale, definito da almeno 4 punti nello spazio NLLINK: elemento utilizzato per modellare nonlinearità puntuali della struttura, quali smorzatori, isolatori e simili.

50 L elemento FRAME Caratteristiche Generali e possibilità di modellazione E una generica asta tridimensionale, che include gli effetti di deformazione assiale, taglio, torsione e momento flettente secondo la teoria elastica della trave prismatica V asse T N asse asse asse M asse asse asse 3 M 3 V3 T M 3 asse 3 V3 asse 3 N M V E definito da una linea retta che congiunge due punti nodali (joints). E utilizzato per modellare il comportamento di travi e pilastri in strutture piane e tridimensionali: Telai piani Strutture reticolari piane Graticci piani Telai tridimensionali Strutture reticolari tridimensionali

51 L elemento Shell Caratteristiche Generali e possibilità di modellazione L elemento Shell è un elemento bidimensionale che include gli effetti di deformazione assiale, taglio, torsione e momento flettente in strutture piane e tridimensionali e raggruppa tre tipi di comportamento: Shell: tiene conto di tutte le componenti di rigidezza; Membrane: tiene conto di una rigidezza translazionale nel piano dell elemento ed una rigidezza rotazionale nella direzione ortogonale al piano; j j j j Plate: tiene conto di una rigidezza rotazionale bidirezionale fuori dal piano e di una rigidezza traslazionale nella direzione ortogonale al piano dell elemento.

52 Definizione del modello di calcolo Realizzazione di un modello che definisca numericamente la geometria, le proprietà, le condizioni di carico e i parametri di analisi per la struttura. I passi da seguire sono: Scelta del tipo di elemento e discretizzazione della struttura: in base alle caratteristiche geometriche ed alle sollecitazioni prevalenti. La scelta del tipo di elemento è strettamente legata alla fase di discretizzazione. Individuazione dei punti nodali (joints) che definiscono la geometria e la collocazione nello spazio della struttura. Definizione delle caratteristiche dei materiali utilizzati. Definizione delle condizioni di vincolo. Definizione delle condizioni e delle combinazioni di carico.

53 Definizione delle coordinate nodali Per l inserimento dei dati geometrici riguardanti la struttura il programma Sap offre diverse alternative: Utilizzo di modelli geometrici preordinati per strutture standard. Utilizzo di file grafici redatti con programmi specifici in formato.dxf.

54 Definizione delle coordinate nodali Utilizzo di un template Passo : scelta del modello Passo : dati del modello Dati richiesti: Passo 3: adattamento del modello all edificio La griglia consente di adeguare le dimensioni fisse delle campate a quelle reali Numero di piani Numero di campate in direzione x Numero di campate in direzione y Interpiano Luce campate in direzione x Luce campate in direzione y

55 Definizione delle coordinate nodali

56 Dati caratteristici dei materiali Dati richiesti: Massa per unità di volume Peso per unità di volume Modulo elastico Coefficiente di Poisson Coefficiente di dilatazione termica f ck f yk Valori di resistenza: Resistenza caratteristica a compressione del calcestruzzo Resistenza caratteristica a taglio delle armature Tensione caratteristica di snervamento delle armature

57 Elemento Frame Caratteristiche geometriche della sezione Per la sezione rettangolare: Altezza; Larghezza; Dettagli delle armature: Copriferro; Numero di ferri nelle due direzioni o area del singolo ferro.

58 Elemento Shell Caratteristiche geometriche della sezione Caratteristiche geometriche: Spessore per il comportamento a membrana; Spessore per il comportamento a flessione. Tipo di comportamento: shell; membrana; piastra.

59 Vincoli esterni Sono vincoli da applicare ai nodi per rendere il sistema isostatico o iperstatico. Vengono definiti individuando le componenti di spostamento (traslazione e rotazione) che devono essere impediti.

60 Condizioni di carico Carichi distribuiti o forze concentrate sugli elementi e forze nodali agenti contemporaneamente e definite singolarmente per ogni elemento o nodo G k G k G k G k G k G k G k G k 4,6 5, 5,4 4,6 5, 5,4 Permanenti Vento Q k Q k Q k Q k Q k Q k Q k Q k Q k Q k Q k Q k 4,6 5, 5,4 4,6 5, 5,4 4,6 5, 5,4 Accidentali - condizione Accidentali - condizione Accidentali - condizione 3

61 Ogni singola condizione di carico può, in varie proporzioni, agire unitamente ad altre Combinazioni di carico n i ik i k q k p k g d Q Q P G F 0

62 Definizione dei carichi Per ogni condizione il carico viene assegnato ai singoli elementi G k G k G k G k 4,6 5, 5,4 Entità del carico uniformemente distribuito

63 Tipo di Analisi Definizione del tipo modello di calcolo: telaio bidimensionale; telaio tridimensionale; graticcio piano; trave reticolare spaziale. Tipo di Analisi: Analisi statica; Analisi modale; Analisi con spettro di risposta; Analisi push - over Analisi dinamica time history.

64 Risultati Reazioni vincolari. Deformata della struttura nelle varie condizioni e combinazioni di carico. Diagrammi delle sollecitazioni nelle varie condizioni e combinazioni di carico. Progetto e verifica della struttura secondo i principali codici normativi.

65 Calcolo dell armatura a flessione per le travi A s 0. 9 M d Sd f yd Campata Comb. Comb. Comb. 3 Inviluppo d (m) A s (cm ) Ferri disposti Area utilizzata 07 (KNm) 77 (KNm) 74 (KNm) 07 (KNm) Ø (KNm) 9 (KNm) 00 (KNm) 00 (KNm) Ø (KNm) 90 (KNm) 4 (KNm) 90 (KNm) Ø Ø Appoggio -65 (KNm) -53 (KNm) -50 (KNm) -65 (KNm) Ø (KNm) -70 (KNm) -75 (KNm) -88 (KNm) Ø Ø (KNm) -64 (KNm) -64 (KNm) -64 (KNm) Ø Ø (KNm) -00 (KNm) -86 (KNm) -04 (KNm) Ø 4 6.6

66 Verifica allo stato limite ultimo per le travi Verifica a taglio V Rd V Rd k. 40 b d 5 Rd bz cot cot cot l L armatura a taglio è costituita da staffe = 90 f cd pc w Sezione Comb. (KN) Comb. (KN) Comb. 3 (KN) Comb. 4 (KN) V Sd (KN) d (m) A sl (cm ) b l V Rd (KN) V Rd (KN) dx sin dx sin In tutte le sezioni V Rd < V Sd è necessaria l armatura a taglio In tutte le sezioni V Rd > V Sd

67 Verifica allo stato limite ultimo per le travi Verifica a taglio L Eurocodice prescrive la distanza massima per l armatura a taglio in funzione del rapporto tra taglio sollecitante V Sd e taglio limite V Rd : s max = 8 d 30 cm se V Sd / V Rd s max = 6 d 30 cm se < V Sd / V Rd 67 s max = 3 d 30 cm se V Sd / V Rd > 67 V Rd3 Sezione V Sd (KN) V Rd (KN) A s sw cot V Sd / V Rd s max (m) Staffe disposte V Rd3 (KN) Ø 0 / 0 48 dx Ø 0 / 0 48 sin Ø 0 / dx Ø 0 / sin Ø 0 / Ø 0 / 0 48 In tutte le sezioni V Rd3 > V Sd zf ywd

68 Verifica allo stato limite ultimo per le travi Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Sezioni di verifica: Mezzeria campata 3: M sd = 90 KNm Appoggio 3: M sd = - 64 KNm Dati dei materiali: Acciaio FeB44k f yk 430MPa f yd f yk s MPa E a 0000MPa au 0 ay f yd Ea 0078 Calcestruzzo R ck 5MPa fck 83Rck 75MPa fcd fck c MPa cu 0035

69 Verifica allo stato limite ultimo per le travi Verifica a flessione Calcolo del momento resistente x Sezione di mezzeria della campata 3 Dati sezione: b = 3 m d = 47m d = 03 m = 03 / 47 = 064 A a = 3.08 cm A a = 4.04 cm u = A a / A a = 9 As f yd bd 85 f ay au. au ay cd x s s' u x x au cu ay cu x s s' u x s s' u Poiché < < lo stato di deformazione rientra nel campo b. Il valore di x si ottiene per tentativi

70 Verifica allo stato limite ultimo per le travi Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Sezione di mezzeria della campata 3 Determinazione della posizione dell asse neutro x xd - d' a cu ' a cu s' x xd kx M Rd d As yd kx M Sd 90KNm x a a x (s-s u) E-05 s kx s s' u f KNm M Rd M Sd La sezione è verificata

71 Verifica allo stato limite ultimo per le travi Verifica a flessione Calcolo del momento resistente x Sezione all appoggio 3 Dati sezione: b = 3 m d = 47m d = 03 m = 03 / 47 = 064 A a = 6.6 cm A a = 8.79 cm u = A a / A a = 37 As f yd bd 85 f ay au. au ay cd x s s' u x x au cu ay cu x s s' u x s s' u Poiché < < 3 lo stato di deformazione rientra nel campo 3. Il valore di x si ottiene per tentativi

72 Verifica allo stato limite ultimo per le travi Verifica a flessione Calcolo del momento resistente Sezione all appoggio 3 Determinazione della posizione dell asse neutro x xd - d' a cu ' a cu s' x xd x a a x (s-s u) E-05 kx M Rd d As yd 8 kx M Sd 64KNm s kx s s' u f KNm M Rd M Sd La sezione è verificata

73 Verifica allo stato limite ultimo per i pilastri Costruzione dei domini di resistenza M-N I domini di resistenza si costruiscono calcolando le coppie M-N corrispondenti ai diagrammi limite della sezione. au (-0,0) a retta a armatura bilanciata retta b 3 b ay ay 4 ay retta c ' cu =(0,0035) d' a' d Campo : a = au 0 a ay Campo 3: au a ay c = cu campo a: a > ay campo b: a ay Campo 4: ay a 0 c = cu Campo : a = au 0 c cu campo a: a ay campo b: a > ay

74 Verifica allo stato limite ultimo per i pilastri Costruzione dei domini di resistenza M-N Condizioni limite au (-0,0) a retta a armatura bilanciata b retta b ay ay 3 4 ay retta c ' cu =(0,0035) d' a' d Il campo a individua le condizioni: a au a au ' a ay N f A u yd Il campo individua le condizioni: s M Il campo b individua le condizioni: ' a a au M f yd A s ay c h N f yd As u cu x d' u x au yd au yd N h f yd As d' u h M f yd As d' u c h N kxd f yd A s Calcestruzzo teso non reagente au yd x u x au yd Calcestruzzo teso non reagente N c

75 Verifica allo stato limite ultimo per i pilastri Costruzione dei domini di resistenza M-N Condizioni limite au (-0,0) a retta a armatura bilanciata retta b Il campo 3 individua le condizioni: M au f yd a A s h ay ' a ay cu x d' u N x c Il campo 3 individua le condizioni: a ay M f ' a yd A s ay h c c cu d' u 3 b h ay ay 4 ay retta c kxd N N ' cu =(0,0035) d' a' d f f yd yd A A s s x u N x u cu yd d h N c c

76 Verifica allo stato limite ultimo per i pilastri Costruzione dei domini di resistenza M-N Pilastro Pilastro 3 Momento massimo Sforzo normale Momento massimo Sforzo normale piano 3 9 (KN) 890 (KN) 6 (KN) 680 (KN) piano 8 (KN) 790 (KN) 9.73 (KN) 404 (KN) Pilastro - piano 3 Sezione Pilastro 3 - piano 3 Sezione Pilastro - piano Sezione Pilastro 3 - piano Sezione 40 40

77 Verifica agli stati limite di esercizio Per gli stati limite di esercizio si considerano le seguenti combinazioni dei carichi (DM ): Combinazioni rare: n i ik i k k k d Q Q P G F 0 Combinazioni frequenti: n i ik i k k k d Q Q P G F Combinazioni quasi permanenti: n i ik i k k d Q P G F

78 Verifica agli stati limite di esercizio Verifica a fessurazione della trave L EC richiede un minimo di armatura per controllare la fessurazione in punti in cui ci si attende trazione. La quantità minima di armatura viene determinata mediante l equilibrio tra la trazione nel calcestruzzo subito prima dell apertura delle fessure e la tensione di snervamento dell acciaio: A s,min f yk k c k f ct,eff A ct A min, s, A ct, area di acciaio in area di calcestruzzo in zona tesa zona tesa k, coeff. per tensioni non uniformi k c 4 per trave soggetta a autoequilibrate flessione f ct, eff, valore medio della resistenza a trazione del calcestruzzo

79 Verifica agli stati limite di esercizio Verifica a fessurazione della trave L Eurocodice prescrive un interasse massimo tra le barre ed un diametro massimo in funzione della tensione nell acciaio nella combinazione di carico quasi permanente. s M za z d, braccio delle kx sukx forze interne x d' d x x d s x h d d' h s Gs k 3, per lineare n diagramma As A' bh s d Gs Asd A s A' A' s s d'

80 Verifica agli stati limite di esercizio Verifica a fessurazione della trave Sezione di mezzeria della campata 3 Dati sezione: b = 3 m d = 47m d = 03 m = 03 / 47 = 064 A a = 3.08 cm A a = 4.04 cm u = A a / A a = 9 A s,min k c k f f ct,eff yk A ct cm A s d Gs 3. 38cm 34 x 9. 5cm x 0 s z cm s KN m Dimensione massima delle barre: 6 mm Spazio massimo tra le barre: 00 mm