STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - III

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1 Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì STRUTTURE IN CEMENTO ARMATO - III AGGIORNAMENTO 22/09/2015

2 Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì STATI LIMITE ULTIMI CON N E M Il limite di resistenza della sezione si determina quando uno dei due materiali ha raggiunto la sua deformazione ultima. 2

3 Possono aversi diversi scenari o (campi) di rottura dove le lettere maiuscole individuano le possibili posizioni dell asse neutro. 3

4 Campo 1 Tenso-flessione (trazione con debole eccentricità) Campo 2 massimo allungamento dell acciaio e calcestruzzo non completamente sfruttato; la rottura della sezione avviene per raggiungimento della deformazione ultima nell acciaio con il calcestruzzo che presenta una residua capacità di deformarsi sezione ad armatura debole. Campo 3 ROTTURA PERFETTA o BILANCIATA: massimo accorciamento del calcestruzzo con acciaio in campo plastico sezione ad armatura normale. Campo 4 massimo accorciamento del calcestruzzo con acciaio in campo elastico; la rottura della sezione avviene per schiacciamento del cls mentre l acciaio presenta una residua capacità di deformarsi sezione ad armatura forte. Campo 5 Flessione composta. Campo 6 Pressoflessione con piccola eccentricità. CAMPO k 1 Tenso-flessione da - a 0 2a da 0 a sezione ad armatura debole 2b da a ROTTURA PERFETTA sezioni ad armatura normale da a ROTTURA FRAGILE sezioni ad armatura forte da a 1 5 Flessione composta da 1 a h/d 6 Pressoflessione con piccola eccentricità da h/d a + 4

5 La soluzione ideale è quella in cui la rottura della sezione avviene quando entrambi i materiali hanno raggiunto il loro limite deformativo ed è individuata dalla retta che passa per C sezione bilanciata. La DUTTILITA rappresenta la capacità della sezione di deformarsi plasticamente. Se una sezione è duttile, prima della rottura è in grado di ruotare sensibilmente. In pratica una sezione che presenti rottura duttile dà chiari segnali di preavviso (elevata fessurazione, notevole incremento della deformazione) che possono mettere in allarme e consentire interventi prima del crollo. Esempio di rottura in campo 2 Le sezione inflesse ben proporzionate appartengono, solitamente, ai campi 2b e 3. In questo caso il comportamento è duttile e i due materiali sono sfruttati al massimo. E buona norma evitare le sezioni in campo 4 in quanto hanno un comportamento di tipo fragile. 5

6 Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI PRESCRIZIONI DI NORMATIVA Prof. Ing. Francesco Zanghì A s 0.26 f ctm b d b d f 1. L armatura longitudinale tesa deve essere almeno: yk b = larghezza della zona tesa; d = altezza utile della sezione f ctm = 0.30 f 2 ck 3 resistenza media a trazione del calcestruzzo 2. A s,max 0.04 A c Armatura tesa (o compressa) considerata individualmente 3. All intradosso degli appoggi di estremità deve essere disposta un armatura metallica calcolata per uno sforzo di trazione uguale al taglio: A = V max s,min 4. Minimo 3 staffe/m con A st 1.5b.. L interasse delle staffe deve essere comunque i 0.8d. Le staffe devono assorbire almeno il 50% degli sforzi di taglio. f yd 6

7 Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Verifica allo SLU ESEMPIO N 1 Verificare a flessione una trave in c.a. di sezione rettangolare 30x50, realizzata con calcestruzzo di classe C25/30 e armature metalliche del tipo B450C, sollecitata da un momento flettente di progetto pari a 160 knm. La trave è armata inferiormente con 4Φ20 e superiormente con 2Φ14. o Caratteristiche dei materiali: Calcestruzzo C25/30; Acciaio B450C 7

8 Armature: Armatura tesa: A s =12.56 cm 2 Posizione dell asse neutro: ( 4Φ20); Armatura compressa: A' s = 3.08 cm 2 ( 2Φ14) Risultante delle tensioni nell armatura tesa (che si suppone snervata: ε s ε yd = ): N s = f yd A s = = 491.5kN Risultante delle tensioni nell armatura compressa (che si suppone snervata: ε s ε yd = ): N' s = f yd A' s = =120.5kN Risultante delle tensioni di compressione nel calcestruzzo: In condizioni di rottura il diagramma delle tensioni nel calcestruzzo (compresso) assume l andamento coerente con il legame costitutivo (parabola-rettangolo) utilizzato per questo materiale. Per le sezioni di forma comune, non si commette un grosso errore se si sostituisce il diagramma parabolico con uno rettangolare (stress-block) equivalente di larghezza pari sempre a f cd e altezza pari a 0.8x, dove x è la profondità della zona compressa individuata dalla posizione dell asse neutro. N c = f cd b ( 0.8 x) = ( 0.8 x) = 34 x kn 8

9 Per l equilibrio alla traslazione orizzontale della sezione: N s N' s N c = 0; x = 0 ; x = =10.90cm 34 Se esprimiamo la stessa equazione di equilibrio inserendo le espressioni letterali dei tre contributi avremo: Da cui si ricava: f yd A s f x yd = ( 0.8x) 0 A' f b = s cd ( A A' ) s 0.8 k = x d = = la rottura avviene nel campo 2b. Calcolo del momento resistente: Per l equilibrio alla rotazione, ad esempio, rispetto al punto di applicazione di N c : M = rd = N s ( d 0.4 x) + N ' ( 0.4 x c) = 491.5( ) ( ) kncm = 206 knm s > M sd = 160 knm Se esprimiamo la stessa equazione di equilibrio inserendo le espressioni letterali avremo: f s cd f b yd = VERIFICA POSITIVA 9

10 Da cui si ricava: M M rd rd ( d 0.4 x) + f A' ( 0. x c) = f A 4 yd s [ A ( d 0.4 x) + A' ( 0. x c) ] = f 4 yd s yd s s 10

11 FLESSIONE SEMPLICE RETTA: Progetto allo SLU Progettare la sezione in c.a. consiste, nel fissare: generalmente la larghezza b della sezione; le caratteristiche dei materiali; il valore del copriferro c ; la modalità di rottura della sezione; la percentuale u di armatura compressa (caso di sezione ad armatura doppia); e nel ricavare analiticamente: l altezza utile d della sezione (da cui segue h= d+c); l armatura tesa As (da cui segue A s=u As nel caso di sezione ad armatura doppia); Per ottenere sezioni duttili, le progetteremo sempre assumendo k=x/d=0.259 (diagramma bilanciato). k=

12 Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì Sezione rettangolare ad armatura semplice Partiamo dall ipotesi che sia nota la larghezza b della sezione. Assegniamo alla sezione il diagramma di rottura bilanciato con k=x/d=0.259, cioè facciamo in modo che la rottura avvenga al limite fra i campi 2b e 3. Dall equilibrio alla rotazione attorno all armatura si ricava: M Sd = N d 0.4x C ( ) = 0.8 x f cd b ( d 0.4x) 12

13 imponendo x=0.259d si ricava: ricaviamo l altezza utile d: M Sd = f cd b d 2 ponendo: la relazione diventa: d = r = M Sd f cd b f cd (1) d = r M Sd b (2) Dall equilibrio alla rotazione rispetto alla risultante degli sforzi di compressione si ricava: M Sd = N S d 0.4x da cui si ricava: ( ) = A s f yd ( d 0.4x) = A s f yd ( d d) = A s f yd 0.9 d A s = M Sd 0.9 f yd d (3) 13

14 ESEMPIO N 2 Progettare la sezione rettangolare di una trave in c.a., di larghezza b=30 cm, da realizzare con calcestruzzo di classe C25/30 e armature metalliche del tipo B450C. Il momento flettente di progetto è pari a 160 knm. Caratteristiche dei materiali: o Calcestruzzo C25/30 Resistenza di progetto a compressione: Resistenza media a trazione: Deformazione ultima: o Acciaio B450C Tensione di progetto allo snervamento: Deformazione allo snervamento: Deformazione ultima: f cd = 0.85 f ck 1.50 = =14.11 MPa f ctm = = = 2.55 MPa ε cu = f 2 ck f yd = f yk 1.15 = 450 = MPa 1.15 ε yd = f yd = E s = ε su = 0.01 Applichiamo direttamente la relazione (1) per trovare l altezza utile d: d = = 45.11cm 14

15 Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=49.11 cm. Assumiamo pertanto h=50 cm. Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l armatura tesa: As= = 9.88cm2 Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 5Φ (=10.05 cm 2 ) Prof. Ing. Francesco Zanghì Controlli di normativa: 1. Armatura long. minima: 2. Armatura long. massima: A s,min A s,m = = 2.03 cm2 < A s =10.05cm 2 = = 60 max cm2 > A s =10.05cm 2 ok ok 15

16 ESEMPIO 3 Con riferimento alla carpenteria dell'esempio della dispensa "Cemento Armato 1", progettare la trave Caratteristiche dei materiali: o Calcestruzzo C25/30 o Acciaio B450C f cd = 0.85 f ck 1.50 = f yd = f yk 1.15 = 450 = MPa 1.15 =14.11 MPa Analisi dei carichi: Sulla trave 8-15 scaricano due solai contigui pertanto il carico ripartito a metro lineare di trave andrà valutato moltiplicando il carico a metro quadrato di solaio per la larghezza dell'area di influenza della trave stessa, che in questo caso possiamo assumere pari a 4.05 m. Solaio: kn/m 2 x 4.05 m = kn/m Peso proprio trave: 1.3 x (0.30 x 0.50 x 1.00 x 25) 4.90 kn/m TOTALE 47 kn/m 16

17 Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Calcolo sollecitazioni allo SLU: Il momento massimo di semincastro è: Prof. Ing. Francesco Zanghì M q l knm Progetto della sezione in c.a. Calcoliamo l'altezza utile: Tenendo conto di un copriferro pari a 4 cm si può assumere un'altezza di = cm ",- Calcolo dell'armatura:.../..- Dalla tabella dei tondini, disponiamo in zona tesa 5Φ14 (=7.70 cm 2 ). In zona compressa manteniamo 3Φ14 filanti; la differenza in zona tesa verrà compensata 2Φ14 spezzoni. Posizione dell asse neutro: x!." #! 3 Calcolo del momento resistente: M $ f 7 A %d&0.4 x' M $ %36& ' kncm97.74 knm Verifica a flessione retta: M $ knm+ M knm x 4.4../. 8.9 cm." /.,//. VERIFICA POSITIVA 17

18 Disegno delle armature: 18

19 Tabella tondini da Cemento Armato Diametro mm Numero barre sezione [cm²] 6 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83 3,39 8 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03 6, ,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85 9, ,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 11,31 13, ,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,32 13,85 15,39 18, ,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11 24, ,54 5,09 7,63 10,18 12,72 15,27 17,81 20,36 22,90 25,45 30, ,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42 37, ,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01 45, ,52 9,05 13,57 18,10 22,62 27,14 31,67 36,19 40,72 45,24 54, ,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09 58, ,31 10,62 15,93 21,24 26,55 31,86 37,17 42,47 47,78 53,09 63, ,16 12,32 18,47 24,63 30,79 36,95 43,10 49,26 55,42 61,58 73, ,07 14,14 21,21 28,27 35,34 42,41 49,48 56,55 63,62 70,69 84, ,04 16,08 21,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42 96,51 19

20 Sezione rettangolare ad armatura doppia L altezza utile d si ricava dalla seguente relazione, simile alla (2): d = r ' M Sd b (4) in cui il coefficiente r viene scelto dalla tabella sotto riportata (valida per calcestruzzo C25/30), in funzione della percentuale u di armatura compressa e del tipo di trave (emergente o a spessore): Coefficienti r per C25/30 r u TRAVE EMERGENTE c/d=0.1 TRAVE A SPESSORE c/d= n.b. per l uso dei coefficienti riportati in tabella esprimere le distanze in cm 20

21 ESEMPIO N 4 Con riferimento alla trave emergente dell esempio precedente, progettare la sezione ad armatura doppia. Imponiamo una percentuale di armatura compressa paria u=0.25. Dalla tabella dei coefficienti r si ricava, per trave emergente, r =1.71. Applichiamo la relazione (4) per trovare l altezza utile d: adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=43.50 cm. Assumiamo pertanto h=45 cm. Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l armatura tesa: Dalla tabella dei tondini scegliamo di armare la trave in zona tesa con 6Φ16 (=12.06 cm 2 ) Per l ipotesi fatta, l armatura compressa vale: A s=u As= = cm 2 corrispondenti a 2Φ14 (=3.08 cm 2 ) Controlli di normativa: d =1.71 As= = 39.5cm =11.08cm2 1. Armatura long. minima: A s,min = =1.82 cm2 < A s =12.06cm 2 ok 2. Armatura long. massima: A s,max = = 54 cm 2 > A s =12.06cm 2 ok 21

22 ESEMPIO N 5 Con riferimento alla carpenteria sotto riportata, progettare la trave 2-5 su cui grava il solaio di copertura praticabile di un info-point turistico. Assumere sul solaio un sovraccarico accidentale pari a 3.5 kn/mq. 22

23 Caratteristiche dei materiali: o Calcestruzzo C25/30 Resistenza di progetto a compressione: Resistenza media a trazione: Deformazione ultima: o Acciaio B450C Tensione di progetto allo snervamento: Deformazione allo snervamento: Deformazione ultima: f cd = 0.85 f ck 1.50 = =14.11 MPa f ctm = = = 2.55 MPa ε cu = f 2 ck f yd = f yk 1.15 = 450 = MPa 1.15 ε yd = f yd = E s = ε su = 0.01 Predimensionamento solaio: La luce del solaio (l=5.00 m) si incrementa del 5% per tenere conto del vincolo di semincastro, pertanto la luce di calcolo è l =1.05 l = 1.05 x 5.00 = 5.25 m. Lo spessore del solaio viene fissato maggiore di 1/30 della luce pertanto s,min=525/30=17.5 cm. Si adotterà un solaio in laterocemento a travetti prefabbricati dello spessore totale di 20 cm (16+4). Si riporta di seguito la scheda riepilogativa di analisi dei carichi. 23

24 Solaio in c.a e laterizi a travetti prefabbricati (16+4) 4.10 kn/m 2 Pignatte con travetti prefabbricati posti a i=50 cm (peso=0.075 kn/m 2 /cm) 16 x Soletta collaborante non armata (4 cm) 1.00 x 1.00 x 0.04 x 24 Intonaco soffitto in gesso (1.5 cm) 1.00 x 1.00 x x Massetto di pendenza in cls alleggerito (5 cm) 1.00 x 1.00 x 0.05 x Impermeabilizzazione Massetto in malta di cemento (2 cm) 1.00 x 1.00 x 0.02 x kn/m kn/m kn/m kn/m kn/m kn/m kn/m 2 Pavimento mattonelle di cotto 24

25 Analisi dei carichi: Per la valutazione del peso proprio della trave assumiamo una dimensione di tentativo pari a 30x50. I solai sono orditi in maniera tale da trasferire i carichi sulle travi di piano 1-4, 2-5 e 3-6. La trave 2-5 risulta maggiormente sollecitata. Poiché l analisi dei carichi effettuata si riferisce al carico agente su ogni mq di superficie, per valutare lo scarico per ogni metro lineare di trave è necessario moltiplicare il carico per la luce di influenza del solaio stesso, pari alla metà della luce di ogni solaio che scarica sulla trave di progetto. Peso proprio trave: (0.30 x 0.50 x 1.00) x 25 kn/mc = 3.75 kn/m Peso proprio solaio: 2x(4.10 kn/mq x 2.5 m) = 20.5 kn/m Totale G1 = kn/m Sovraccarico accidentale: 2x(3.5 kn/mq x 2.5 m) Q = 17.5 kn/m Calcolo sollecitazioni allo SLU: q sd = = kn m La luce di calcolo della trave, nell ipotesi di vincolo di semincastro è: l=6.00 x 1.05 = 6.30 m. Il momento massimo di semincastro è: M = q l = =195 knm

26 Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì Progetto della sezione in c.a. Imponiamo una percentuale di armatura compressa paria u= Dalla tabella dei coefficienti r si ricava, per trave emergente, r =1.71. Applichiamo la relazione (4) per trovare l altezza utile d: d = = 43.6cm adottando un copriferro c= 4 cm segue d+c=47,6 cm. Assumiamo h=50 cm. 26

27 Applichiamo direttamente la relazione (3) per trovare l armatura tesa: As= =12.04 cm2 Dalla tabella dei tondini, disponiamo 3Φ14 + 4Φ16 (=12.66 cm 2 ). Per l ipotesi fatta, l armatura compressa vale: A s=u As= = 3.16 cm 2 corrispondenti a 3Φ14 (=4.62 cm 2 ). Posizione dell asse neutro Ipotizziamo che l armatura compressa sia snervata: N s = f yd A s = = 495.4kN N c = f cd b 0.8 x ( ) = ( 0.8 x) = 34 x kn N' s = f yd A' s = =181kN Per l equilibrio alla traslazione orizzontale della sezione: N s N' s N c = 0; x = 0 ; x = = 9.24cm poiché: x = 9.24cm> 2.20 c = 8.80cm l armatura compressa è snervata e la posizione dell asse neutro trovata è corretta. Calcolo del momento resistente Per l equilibrio alla rotazione, ad esempio, rispetto al punto di applicazione di N c : ( ) + N' s ( 0.4x c) = 495.4( ) +181( ) = M rd = N s d 0.4x = kNcm= 210kNm> M sd =195kNm VERIFICA POSITIVA

28 Disegno delle armature 28

29 Fonti D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n Suppl. Ord.) Norme tecniche per le Costruzioni Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 Suppl. Ord.) Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio S.Catasta Materiale didattico Università degli Studi Roma Tre facoltà di Ingegneria: materiale didattico 29